算法导论之斐波那契堆

斐波那契堆，和二项堆类似，也是由一组最小堆有序的树构成。注意区别，不是二项树，是有根而无序的树。导论中，斐波那契堆只是具有理论上的意义，是以平摊分析为指导思想来设计的数据结构，主要是渐进时间界比二项堆有改善。斐波那契堆除去删除元素操作外，其他操作只有O(1)的平摊运行时间，而二项堆需要O(lgn)的最坏情况运行时间。但若要斐波那契堆能转化为实际应用，除要保证有相同平摊时间界限外，还需更简单的数据结构。导论中提到斐波那契堆应用于最小生成树和寻找单源最短路径，可重点理解。

总结来说，斐波那契堆，相对二项堆来说，在多数操作上改善渐进时间，但仅适用于删除操作动作较少的场景，且其结构复杂实用价值不大。下面看看斐波那契堆的结构及各操作的平摊分析势能方法。

斐波那契堆的结点，包含指向父结点的指针p[x]、指向任一子女的指针child[x]、左兄弟指针left[x]、右兄弟指针right[x]、结点子女个数degree[x]、标记是否失去子女mark[x]。值得一提的是，通过左右兄弟指针，子女结点被链接成一个环形双链表。

对给定的斐波那契堆H，通过指向包含最小关键字的树根的指向min[H]来访问，这个结点就是斐波那契堆中的最小结点。所有的树根通过left和right指针构成一个环形双链表，为堆的根表。指针min[H]指向根表中具有最小关键字的结点。H中所包含的结点个数为n[H]。斐波那契堆用势能方法分析其操作的平摊性能，对给定的斐波那契堆H，t(H)表示H根表中树的棵树，m(H)表示H中有标记结点的个数，势定义如下：

斐波那契堆的操作要分两类，一类是建堆、插入结点、合并堆和抽取堆最小值；另一类是关键字值减少和结点删除。

1）第一类操作斐波那契堆是一组无序的二项树，符合二项树的性质，性质四有所不同，描述为：无序二项树U_k，根的度数是k，大于任何其他结点的度数；根的子女按照某种顺序分别为U₀,U₁,…,U_k-1的根。n个结点的斐波那契堆由一组无序的二项树构成。基本操作的平摊性能都是O(1)，抽取最小值是O(lgn)。

2）第二类操作斐波那契堆是一组无序的树，即不保持二项树性质，操作的平摊性能是O(lgn)。

建堆、插入结点（直接作为一颗二项树放在斐波那契堆的根表，然后将最小关键字指针重新调整）、寻找最小结点（第一个结点就是）、合并两个斐波那契堆（简单将两个堆的根表合并即可），都是O(1)代价。重点要说明抽取最小结点的算法，和第二类中关键字值减小和删除结点操作，都是O(lgn)代价。

1）抽取最小结点

抽取最小结点的处理逻辑很直接：将最小结点的子女都成为一个根，然后删除最小结点，接着将度数相同的根链接起来，调整到每个度数只有一个根为止。具体算法如下：

Fun_Fib_Heap_Extract_Min(H){

z=min[H];

if z ≠ null

then for each child x of z

do add x to root list of H

p[x]=null

remove z from the root list of H //将最小结点的子女调整为根并删除最小结点

if z=right[z] then min[H]=null

else min[H] = right[z] //将右兄弟作为最小结点，就是堆的入口结点

consolidate(H) //调整堆

n[H]=n[H]-1 //堆结点数减1

returun z

}

重点是堆调整，使根结点的度数都是唯一的，且保持无序二项树性质。

Fun_ consolidate(H){

for i=0 to D(n[H]) //结点度数上界

do A[i]=null

for each node w in the root list of H

do x=w

d=degree[x]

while A[d] ≠ null

do y=A[d]

if key[x]<key[y] thenexchange(x,y)

remove y form the root list of H

make y a child of x,incrementingdegree[x]

mark[y]=false

A[d]=null

d=d+1

A[d]=x //对根表中的每一个根w进行处理，使每个度数下至多只有一个根（发现有相同度数，小值作为根，大值下沉为子女），且数组A指向每一个留下的根。用A数组作为辅助数组，将根表中每个结点的度数映射过去。要对y进行标记，是势函数计算依据。这种处理思路就使用利用结点度数0-n的最大值作为数组来存储根表中结点的度数，是一种很有用的常量映射办法。

min[H]=null

for i=0 to D(n[H])

do if A[i] ≠ null

then add A[i] to the root list of H

if min[H]=null orkey[A[i]]<key[min[H]]

then min[H]=A[i]

}

2）关键字值减小

斐波那契堆结点关键字值减小，主要是保持最小堆有序的性质，具体算法如下：

Fun_Fib_Heap_DecreaseKey(H,x,k){//x结点关键值减少为k

if k>key[x] then return;

key[x]=k

y=p[x]

if y ≠ null and key[x] <key[y]

then CUT(H,x,y)

Cascading-cut(H,y)

If key[x] <key[min[H]] then min[H]=x

}

如果x结点减小后的关键值小于父结点y，则要调整堆，具体算法如下：

Fun_CUT(H,x,y){

remove x from the child list ofy,decrementing degree[y]

add x to the root list of H

p[x] =null

mark[x]=false

}

将x链接到根表。

Fun_ Cascading-cut(H,y){

z=p[y]

if z ≠null

then if mark[y]=false //失去一个子结点

then mark[y]=true

else CUT(H,y,z)

Cascading-cut(H,z)

}

级联处理，保持最小堆性质。删除结点就可以通过减少结点关键值和抽取最小结点来完成，先把要删除的结点关键值减少为负无穷大，然后抽取最小值结点来作为堆入口。

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