Description

在平面上找 n 个点, 要求这 n 个点离原点的距离分别为 r 1 ,r 2 ,…,r n . 最大化这 n 个点构成的
凸包面积, 凸包上的点的顺序任意.不要求点全部在凸包上

Input

第一行一个整数 n.
接下来一行 n 个整数依次表示 r i

Output

输出一个实数表示答案, 要求绝对误差或相对误差 ≤ 10^−6 .

Sample Input

4
5
8
58
85

Sample Output

2970

Data Constraint

对于前 20% 的数据, n ≤ 3;
对于前 40% 的数据, n ≤ 4;
对于另 20% 的数据, r 1 = r 2 = … = r n ;
对于 100% 的数据, 1 ≤ n ≤ 8, 1 ≤ r i ≤ 1000.

Solution

考虑先暴力枚举 选几个点 和 点的相对顺序 。
之后我们要使 Ans=R1R2sin(θ1)+R2R3sin(θ2)+⋅⋅⋅+RnR1sin(θn)Ans=R_1R_2sin(θ_1)+R_2R_3sin(θ_2)+···+R_nR_1sin(θ_n) 最大。
其中 θθ 满足条件：θ1+θ2+⋅⋅⋅+θn=2πθ_1+θ_2+···+θ_n=2π 。
运用 拉格朗日乘数法，我们可以得出拉格朗日乘子

λ=R1R2cos(θ1)=R2R3cos(θ2)=⋅⋅⋅=RnR1cos(θn)

λ=R_1R_2cos(θ_1)=R_2R_3cos(θ_2)=···=R_nR_1cos(θ_n)
因为 θi∈(0,π)θ_i∈(0,π) （超过了必然不会更优），又 cos(θ)cos(θ) 在 [0,π][0,π] 上单调递减。
于是我们可以通过单调性二分出一个最小的 λλ 满足 θ1+θ2+⋅⋅⋅+θn=2πθ_1+θ_2+···+θ_n=2π 。
接着由 θi=arccos(λRiRi+1)θ_i=arccos(\frac{λ}{R_iR_{i+1}}) 就可以算出每个 θiθ_i 。
最后统计答案即可，时间复杂度 O(N!∗N∗logAns)O(N!*N*logAns) 。
附：拉格朗日乘数法的一般步骤如下（以此题为例）：
1. 设出目标函数 f(R1,⋅⋅⋅,Rn)=∑RiRi+1sin(θi)f(R_1,···,R_n)=\sum{R_iR_{i+1}sin(θ_i)}
2. 设出条件函数 g(R1,⋅⋅⋅,Rn)=∑Ri−2π=0g(R_1,···,R_n)=\sum{R_i}-2π=0
3. 再设出拉格朗日乘数函数 F(R1,⋅⋅⋅,Rn,λ)=f(R1,⋅⋅⋅,Rn)+λg(R1,⋅⋅⋅,Rn)F(R_1,···,R_n,λ)=f(R_1,···,R_n)+λg(R_1,···,R_n) 。
4. 之后就可以求出关于每个元的偏导数（其它元看做常数），联立即可求出各个元：
5. F′θi=RiRi+1cos(θi)+λ=0，F′λ=∑Ri−2π=0F_{θ_i}'=R_iR_{i+1}cos(θ_i)+λ=0 ，F_λ'=\sum{R_i}-2π=0
6. 使各个偏导数都等于 0 ，解出的解就是最值的解了。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cctype>
using namespace std;
const double Pi=acos(-1.0),eps=1e-7;
int n,a[10];
double t[10],ans;
inline int read()
{int X=0,w=0; char ch=0;while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X;
}
inline double check(double x)
{double sum=t[n]=acos(x/a[1]/a[n]);for(int i=1;i<n;i++) sum+=t[i]=acos(x/a[i]/a[i+1]);return sum;
}
int main()
{n=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();sort(a+1,a+1+n);while(n>=3){do{double l=-1.0*a[1]*a[2],r=-l;while(l+eps<r){double mid=(l+r)/2.0;if(check(mid)>=2*Pi) l=mid+eps; else r=mid-eps;}if(fabs(check(l)-2*Pi)<=eps){double num=sin(t[n])*a[1]*a[n];for(int i=1;i<n;i++) num+=sin(t[i])*a[i]*a[i+1];if(num>ans) ans=num;}}while(next_permutation(a+1,a+1+n));n--;for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i+1];}printf("%.7lf",ans/2.0);return 0;
}

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