00 引言

地图投影和坐标参照系统是地图制图的数学基础，是GIS重要核心概念，是数据处理和空间分析的前提，也是比较难以理解的部分。

从本文开始，我将围绕地图投影和坐标系统分享系列文章，力图在不涉及复杂的数学公式前提下，用简洁的方式解析其中的概念和相互关系。

本系列文章拟包括如下内容：

地球的形状及模型——地球的形状和数学逼近，地球自然表面、大地水准面、地球椭球体、参考椭球体、基准面。
地图投影概述——地图投影的概念和分类。
几何投影——圆锥投影、圆柱投影、方位投影，及其应用场景。
数学解析投影——伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影，及其应用场景。
坐标参照系——地理坐标系、投影坐标系。
常用坐标系——CGCS2000、WGS84,、西安80坐标系、北京54坐标系等。
坐标变换——介绍基于文件的变换、基于方程的变换。
QGIS的地图投影与坐标系——项目坐标系、图层坐标系、图层重新投影、自定义地图投影、坐标参照系选择器（CRS Selector）的使用。

上述内容涉及到的概念比较多，相互关系图如下：

本文为系列文章第一篇——地球的形状及模型。

01 地球的形状

如何向别人描述你现在所处的位置？说明一个位置需要参照物，日常生活中的参照通常选择大家所熟知的地点，例如某某大厦旁，某某路交叉口。对于小范围区域，人们熟悉周围的环境，这种描述足够定位。但是，将地理区域扩大到全国、全世界，那么用标志建筑物或者道路描述位置就不足以定位了，需要另外寻找更加具有普适性的参考系。

为了进行定位、距离和面积计算等，需要对地球建立具有普适性的描述模型，数学家和测地学家首先想到了对地球进行数学建模。

数学建模的基础是正确认识地球的形状。

人类最早对地球的认识是“天圆地方”。早期人们误以为大地是平坦的，这是因为人们生活的范围不广，科学技术不发达，只能凭借着自己的眼睛所看到的来分析和判断地球的形状。但是，在长期的实践中，人们观察到有些现象无法用上述认知来解释，于是有的科学家提出地球是球形的猜想。公元前6世纪后半叶，古希腊科学家毕达哥拉斯最早提出大地是球形的，后来，哲学家亚里士多德在观察日食时，发现太阳光被地球遮挡后留在月亮上的地球影子是圆弧形，也得出地球是球形的结论。然而，他们都没有证据证实自己的猜想。

直到16世纪，麦哲伦用一次环球航行证明了地球是个球体。十八世纪，人们开始意识到地球并不是完美的球体，科学家开始使用旋转椭球体对地球拟合。

到如今，随着科技的发展，人们对地球的形状已经有了一个明确的认识：地球并不是一个正球体，而是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体。

从测量和地图制图的角度，地球的形状需要一个严谨、完整的数学定义。地球表面，有高山、盆地、河流、湖泊和海洋等，最高的喜马拉雅、最低的马里亚纳海沟之间差值为19.9km，对于整个地球半径而言，这些起伏变化是微小的，但是地球表面的高低不平导致无法用数学公式表达，也无法进行运算。于是科学家们提出大地水准面来替代地球的自然表面。

02 大地水准面（Geoid）

当海洋静止时，它的自由水面必定与面上各点的重力方向(铅垂线方向)成正交，我们把这个面叫做水准面，铅垂线和水准面是测量工作所依据的线和面。

随着高度的不同，水准面有无数个，其中与静止的平均海水面重合并向大陆、岛屿延伸而形成一个连续不断的，与地球比较接近的形体，其表面称为大地水准面。

更严谨的描述为：大地水准面是指地球重力场中，与处于自由静止状态的平均海水面相重合或最为接近的重力等位面。

这一概念最早由德国大地测量学家卡尔·弗里德里希·高斯在1828年提出。当时，高斯以“地球的数学表面”来指称与重力方向相垂直、且与静止的平均海水面相重合的几何表面，并提出将其作为高程系统的基准面。其后，高斯的学生利斯廷于1873年创造出了“Geoid”一词，用以描述高斯所提出的数学表面。因此大地水准面的单词Geoid实际上是德语。

由大地水准面所包围的地球形体叫做“大地体”，大地体常用于表达地球的物理形状。

大地水准面是对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当，是对地球表面的第一级逼近。

03 旋转椭球体（Ellipsoid）

大地水准面仍然不是一个规则的曲面。因为重力线方向并非恒指向地心，导致处处与重力线方向正交的大地水准面也不是一个规则的曲面。大地水准面实际上是一个起伏不平的重力等位面。

为了测量成果的计算和制图工作的需要，选用一个同大地体相近的，可以用数学方法来表达的旋转椭球体来代替大地水准面。这个旋转椭球是一个椭圆绕其短轴旋转而成，其表面称为旋转椭球面。

旋转椭球体又叫做地球椭球体，是地球的数学表面，是对地球形体的二级逼近。

旋转椭球体是规则的，可以用数学公式表达。

椭圆形状由两个半径定义。较长的半径称为长半轴（用a表示），而较短的半径称为短半轴（用b表示）。

旋转椭球体由长半轴 a 和短半轴 b 定义，或者由 a 和扁率定义。扁率是两个轴长度的差异，以分数或小数表示。扁率 f 的计算公式如下：

f = (a - b) / a

扁率是一个较小的值，因而通常采用的是量 1/f。例如，1984 世界坐标系（WGS 1984 或 WGS84）的旋转椭球体参数：

a = 6378137.0 米

b = 6356752.31424 米

1/f = 298.257223563

扁率取值范围为 0 到 1。扁率值 0 表示两个轴相等，即球体。地球扁率约为 0.003353。

有时为了制图需要，在制作某些比例尺地图时，将地球看作一个正球体，即扁率为0。

04 参考椭球体

地球椭球体通过测定长轴a、短轴b和扁率f确定其形状后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系，即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体，叫参考椭球体。

通过数学方法将地球椭球体摆到与局部地区大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点的垂直偏差，这项工作又叫做参考椭球体定位，是数学上对地球形体的三级逼近。

目前世界上最常用的参考椭球体，是美国国防部制图局（DMA）在1984年构建的WGS84。

自建国以来，中国的椭球体经过四次变迁：

中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体；
1953-1980年采用克拉索夫斯基椭球体，坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台；
自1980年开始采用国际大地测量与地球物理学联合会IUGG 1975年推荐的GRS 1975参考椭球体，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点；
为了适应中国经济、社会和科学技术发展需求，自2008年7月1日起，我国开始启用新一代的地心三维大地坐标系统，以CGCS2000椭球体为参考椭球体。

常见的椭球体参数如下表：

注：CGCS2000与WGS 1984椭球体的扁率从第6位开始有差异。

05 大地基准面（Datum）

特定地区的参考椭球体与该地区的局部水准面是相对吻合的，因此，我们把这个与局部水准面吻合的参考椭球体所在的面称之为大地基准面。

把参考椭球体和基准面结合起来看，如果把地球比做是“马铃薯”，表面凸凹不平，而参考椭球体就好比一个“鸭蛋”，那么按照前面的定义，基准面就定义了怎样拿这个“鸭蛋”去逼近“马铃薯”某一个区域的表面，X、Y、Z轴进行一定的偏移，并各自旋转一定的角度，大小不适当的时候就缩放一下“鸭蛋”，通过如上的处理必定可以达到很好的逼近地球某一区域的表面。

大地基准面是建立国家大地坐标系统和推算国家大地控制网中各点大地坐标的基本依据，它包括一组大地测量参数和一组起算数据，其中，大地测量参数主要包括作为建立大地坐标系依据的参考椭球体的四个常数，即椭球赤道半径，地心引力常数GM，带球谐系数J2（由此导出椭球扁率f）和地球自转角度w，以及用以确定大地坐标系统和大地控制网长度基准的真空光速c；而一组起算数据是指国家大地控制网起算点（大地原点）的大地经度、大地纬度、大地高程和三个坐标轴的指向、尺度。

每个国家或地区均有各自的基准面，通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。

06 写在最后

关于地球的形状与数学模拟就分享到这里，文中大多数内容为参考了各方教材、文献、网络资料整理而来，难免有疏漏之处，如有发现理解不到位的地方，欢迎后台留言指正。

参考资料：

[1] 现代地图学教程，袁勘省，ISBN 987-7-03-020125-6。

[2] 地图学原理与方法，王家耀，孙群等，ISBN 7-03-016498-9。

[3] 维基百科-大地水准面：https://zh.wikipedia.org/wiki/大地水准面。

[4] 维基百科-参考椭球体：https://zh.wikipedia.org/wiki/参考椭球体。

[5] https://3nice.cc/2018/11/12/GISyulu181112/ 。

[6] https://blog.csdn.net/baidu_26646129/article/details/102912662 。

[7] https://www.bilibili.com/read/cv3653293 。

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