拓扑空间、距离空间、向量空间和内积空间

拓扑空间是最基本的，是集合+开集构成，这个空间里没有距离。就像人群+关系=社会一样。距离空间=拓扑空间+距离。这个距离的来源主要是定义出来的。距离空间是拓扑空间的一个子集，也可以理解为是一个子概念。同理向量空间又是距离空间的一个子集，子概念。

对拓扑向量空间来说，它是一个度量空间当且仅当其有可数局部拓扑基（见Rudin的泛函分析，对一般拓扑空间来说的充要条件还要多一个，这就是NS度量化定理，见Munkres的拓扑学）。

一个简单的例子，如果这个拓扑向量空间是局部有界的，那它有可数局部基。
拓扑向量空间是一个范赋空间当且仅当它是局部有界的和局部凸的，那么由上面的例子知道，因为范赋空间都是局部有界的，它自然是可度量化的。
一个内积空间必然是有范数的，只要把对自己的内积当做范数即可，反过来，一个范赋空间如果范数满足平行四边形法则，就能够定义内积。
总结下来，关系就是
内积空间有范数所以是范赋空间，范赋空间局部有界因此有局部基所以可度量化。
度量空间如果局部有界且局部凸则可成为范赋空间，范赋空间如果满足平行四边形法则则为内积空间。

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