题干

若xn>0，且xn+1xn>1−1n(n=1,2,...)，证明级数∑n=1∞xn发散若x_n>0，且\frac{x_{n+1}}{x_n}>1-\frac{1}{n}\,\,\left( n=1,2,... \right) ，证明级数\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}发散若xn>0，且xnxn+1>1−n1(n=1,2,...)，证明级数n=1∑∞xn发散

解答

∵xn+1xn>1−1n=n−1n\because \frac{x_{n+1}}{x_n}>1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n} ∵xnxn+1>1−n1=nn−1
∴x3x2>12,x4x3>23,...,xnxn−1>n−2n−1\therefore \frac{x_3}{x_2}>\frac{1}{2}\ ,\ \frac{x_4}{x_3}>\frac{2}{3}\ ,\ ...\ ,\ \frac{x_n}{x_{n-1}}>\frac{n-2}{n-1} ∴x2x3>21 , x3x4>32 , ... , xn−1xn>n−1n−2
∵xnxn−1⋅xn−1xn−2⋯x3x2>n−2n−1⋅n−3n−2⋯12\because \frac{x_n}{x_{n-1}}\cdot \frac{x_{n-1}}{x_{n-2}}\cdots \frac{x_3}{x_2}>\frac{n-2}{n-1}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2} ∵xn−1xn⋅xn−2xn−1⋯x2x3>n−1n−2⋅n−2n−3⋯21
∴xnx2>1n−1(n>3)\therefore \frac{x_n}{x_2}>\frac{1}{n-1}\ \left( n>3 \right) ∴x2xn>n−11 (n>3)
∴xn>x2⋅1n−1(n>3)\therefore x_n>x_2\cdot \frac{1}{n-1}\ \left( n>3 \right) ∴xn>x2⋅n−11 (n>3)
∴∑n=3∞xn>x2⋅∑n=2∞1n\therefore \sum_{n=3}^{\infty}{x_n}>x_2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}} ∴n=3∑∞xn>x2⋅n=2∑∞n1
由于∑n=2∞1n为调和级数，所以∑n=2∞1n发散\text{由于}\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}}\text{为调和级数，所以}\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}}\text{发散} 由于n=2∑∞n1为调和级数，所以n=2∑∞n1发散
调和级数也就是p=1p=1p=1时的p级数，证明见正项级数的积分审敛法，p级数的敛散性
∴∑n=3∞xn发散⇒∑n=1∞xn发散 \therefore \sum_{n=3}^{\infty}{x_n}\text{发散}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{x_n}\text{发散\ } ∴n=3∑∞xn发散⇒n=1∑∞xn发散

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