离散数学_一阶逻辑_部分习题

2024-06-12 18:13:33

2.3 在一阶逻辑中将下列命题符号化

(1)每个大学生不是文科生就是理科生

令F(x):xF(x):xF(x):x是大学生 G(x):xG(x):xG(x):x是文科生 H(x):xH(x):xH(x):x是理科生

命题符号化：∀x(F(x)→(G(x)∨H(x)))\forall x(F(x) \rightarrow (G(x) \vee H(x)))∀x(F(x)→(G(x)∨H(x)))

(3)没有不犯错误的人

令F(x):xF(x):xF(x):x是人，G(x):xG(x):xG(x):x犯错误

命题符号化：¬∃(F(x)∧¬G(x))\lnot \exist(F(x) \wedge \lnot G(x))¬∃(F(x)∧¬G(x))

2.6 设解释 RRR 和赋值σ\sigmaσ。如下：DRD_RDR 是实数集，a=0a=0a=0, 函数 f(x,y)=xーyf (x, y) =xーyf(x,y)=xーy，谓词F(x,y)F (x, y)F(x,y) 为x<yx <yx<y， σ:σ(x)=0\sigma : \sigma(x)=0σ:σ(x)=0, σ(y)=1\sigma (y) =1σ(y)=1, σ(z)=2\sigma (z) =2σ(z)=2. 在解释 RRR 和赋值 σ\sigmaσ下，下列哪些公式为真？哪些为假？

(2) ∀xF(f(x,y),x)→∃y¬F(x,f(y,z))\forall xF(f(x,y),x) \rightarrow \exists \;y\; \lnot F(x,f(y,z))∀xF(f(x,y),x)→∃y¬F(x,f(y,z))

∀x∀y(x−y⩾x)\forall x \forall y (x-y \geqslant x)∀x∀y(x−y⩾x)

假

(4) ∀x∃yF(x,f(f(x,y),y))\forall x \; \exists \; y \; F(x,f(f(x,y),y))∀x∃yF(x,f(f(x,y),y))

∀x∃y(x<x−2y)\forall x \exist y (x<x-2y)∀x∃y(x<x−2y)

真

2.12 设个体域D={a,b,c}D=\{a,b,c\}D={a,b,c}，消去下列公式中的量词

(2)∀x(F(x)∧∃yG(y))\forall x(F(x) \wedge \exists\; y \; G(y))∀x(F(x)∧∃yG(y))

∀xF(x)∧∃yG(y)\forall x F(x) \wedge \exists y G(y)∀xF(x)∧∃yG(y)

↔(F(a)∧F(b)∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨(c))\leftrightarrow (F(a) \wedge F(b) \wedge F(c) ) \wedge (G(a) \vee G(b) \vee (c))↔(F(a)∧F(b)∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨(c))

2.15 求下列各式的前束范式

(1)∀xF(x)∨∃yG(x,y)\forall xF(x) \vee \exists yG(x,y)∀xF(x)∨∃yG(x,y)

↔∀xF(x)∨∃yG(z,y)\leftrightarrow \forall xF(x) \vee \exist y G(z,y)↔∀xF(x)∨∃yG(z,y)

↔∀x∃y(F(x)∨G(z,y))\leftrightarrow \forall x \exists y ( F(x) \vee G(z,y))↔∀x∃y(F(x)∨G(z,y))

(2)∃x(F(x)∧∀yG(x,y,z))→∃zH(x,y,z)\exists x (F(x) \wedge \forall yG(x,y,z)) \rightarrow \exists zH(x,y,z)∃x(F(x)∧∀yG(x,y,z))→∃zH(x,y,z)

↔∃x(F(x)∧∀yG(x,y,u))→∃zH(x,ϖ,z)\leftrightarrow \exists x(F(x) \wedge \forall y G(x,y,u)) \rightarrow \exists z H(x,\varpi,z)↔∃x(F(x)∧∀yG(x,y,u))→∃zH(x,ϖ,z)

↔∃x∀y(F(x)∧G(x,y,u))→∃zH(x,ϖ,z)\leftrightarrow \exists x \forall y(F(x) \wedge G(x,y,u)) \rightarrow \exists z H(x,\varpi,z)↔∃x∀y(F(x)∧G(x,y,u))→∃zH(x,ϖ,z)

↔∃x∀y(F(x)∧G(x,y,u))→H(x,ϖ,z)\leftrightarrow \exists x \forall y(F(x) \wedge G(x,y,u)) \rightarrow H(x,\varpi,z)↔∃x∀y(F(x)∧G(x,y,u))→H(x,ϖ,z)

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