傅里叶变换光谱仪（FTS）中的相干性和能量关系

【1】

在量子力学层面上，最小光谱间隔取决于原子光谱自然线宽（不考虑Doppler展宽、压力展宽、仪器展宽等效应），更本质上又取决于能量-时间不确定性原理，没有一个仪器能够分辨比自然线宽更窄的谱线。因此一般自然辐射光谱对仪器而言可视为一连续信号，其光谱间隔极其狭窄近似趋近于零，从而使信号Fourier变换谱的Nyquist本征频带趋于无穷大，这个量名义上称为频率是从Fourier频谱分析角度而言的，其实际对应物理量是时间长度[s]或空间长度[m]。在FTS将入射光谱辐射调制为干涉图过程中，由于自然线宽趋于零，对应时间域/空间域的Nyquist本征频带趋于无穷大。设光谱自然线宽为Δf [Hz]，则对应Nyquist本征带宽为τ=1/Δf [s]，这个τ又称为相干时间，进一步称L=c×τ为相干长度，二者分别对应于上述光谱在时间域/空间域调制信号（干涉图）的延展长度，亦即极限光程差LPD。对于Michelson干涉仪，其测量的双边干涉图最大光程差总长不超过相干长度L，而实际仪器设计的±MPD光程差范围也只是LPD内的一段距离。例如，对某一单色激光，假设其线宽为Δf=10kHz，对应相干时间为τ=0.1ms，相干长度L≈30000m，这是实际仪器干涉臂所远远达不到的，所以实际仪器设计也无需担心光谱线宽极限对光程差设计的限制。

然而，在计算机FTS模拟器中，入射光谱不可能为连续信号，而是以dwavnum极密间隔取样的离散光谱信号（近似视为连续光谱），于是便引入了一个有限大小的Nyquist本征频带SPCFs=1/dwavnum，它规定了干涉图的极限光程差LPD=SPCFs。因此，在模拟干涉图采样过程中，设计的仪器（单边）最大光程差MPD不得超过LPD/2。实际上，在“输入光谱-调制干涉图”模拟过程中，由于Fourier变换的周期性，调制干涉图会以LPD为周期进行长程周期延拓，并且在±LPD/2附近产生较强的混叠效应，因此±MPD设计值应尽可能地远离±LPD/2。例如，在计算机模拟中，假设细密光谱间隔dwavnum=1cm^-1，则LPD=1cm，最大光程差±MPD设计极限为±0.5cm，实际设计为±0.4cm为宜（对应标称光谱分辨率为1.25 cm^-1）；若随意增加MPD（比如2cm），干涉图会以LPD=1cm为周期重复出现，而光谱分辨率并不会同步增加（至0.25 cm^-1），最高只能为1cm^-1，实验显示确实如此。

【2】

在Michelson干涉仪将入射光谱辐射调制成干涉条纹过程中，时变均匀的入射光束转变为时变非均匀的相干光束。其能量分配关系为：对入射辐亮度光谱L_in(v) [W·m^-2·sr^-1·(cm^-1)^-1]按光谱积分得到单位面积单位立体角内的辐射光功率P_in [W·m^-2]，即干涉仪入瞳接收的光功率，在每个动镜移动位置（或每个光程差观测时间）对应这样一份入射光功率。然而，由于干涉仪调制的干涉光是时间分布非均匀（对应相干时间）或空间分布非均匀的（对应相干长度或光程差），亦即由分束器分出的两路子光束在两干涉臂的行程不同，使得随后在分束器处再次叠加的两路子光束并非来自同一份入射光，而是分别来自时间相继的两份入射光，这一时间差（光程差）反映Michelson干涉仪这类仪器具有时间调制性质（Michelson干涉仪属于时间调制干涉仪），于是在某一时刻或某一位置测量的相干光功率并不一定等于入射光功率。而零光程差是一个特殊位置，此时两路子光束在各自干涉臂的行程相同，在分束器处再次叠加时仍属于同一份入射光，进一步测量的相干光功率也就等于入射光功率（实际上，零光程差反映了双光束干涉的同时性）。为了通过干涉图间接测量入射光功率，可以对（相干时间内一段时间生成的）干涉图I_igm[W·m^-2]沿光程差积分，得到的即是这段时间内相干光束的总能量Eng_igm [(W·m^-2)·cm]，亦是均匀入射光束对应的总能量Eng_in，将总能量在总光程差上平均，得到的即是这段时间内相干光束的平均功率，亦即均匀入射光功率P_in。由这段分析不难发现，Michelson干涉仪光程差虽然是一长度量[cm]，但却具有时间意义，沿光程差积分是一种时间积分。

此外，由于Michelson干涉仪分束器的半透半反性质，只有一半入射光功率参与相干叠加并被探测器探测，另一半虽然也参与相干叠加，但却沿原光路反向传播而不能被探测器探测，所以相干光平均功率等于入射光功率的一半。

延伸思考：所谓测量功率实质是一统计量，假若能精细控制入射光源，使光子一个接一个地进入干涉仪，且每一测量过程中只有一个光子在干涉仪内，那么随着动镜移动会有干涉条纹出现吗？对于Michelson干涉仪这种所谓“分振幅”干涉装置，单个光子如何相干？

【3】

FTS调制的干涉光束入射到光电探测器上，由于探测器平方律响应特性（光电效应），一份光能量（功率单位）转化为电子量（电流/电压单位）。因此，对电学干涉图通过Fourier变换计算的光谱是为幅度谱S(v)，虽然它具有电压/电流单位[Elc.V/cm^-1]，但却与光学功率谱等价( )，于是对幅度谱按光谱的积分量∑[S(v)]等于相干光平均功率，等于电学干涉图零光程差幅度值I_igm-peak，等于干涉仪入射均匀光功率的一半P_in/2，这即是仪器输出电信号与待测光谱辐射之间的线性关系，也即是光谱辐射定标的物理基础。另一方面，单纯就电信号而言，电学干涉图总能量或平均功率（电压信号平方和∑[I_igm²(cm)]）与电学能谱总能量或平均功率（幅度谱平方和∑[S²(v)]）相同（Parseval定理），反映的是电信号在Fourier变换前后的能量守恒。

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