关于瑕点型反常积分的收敛性判别

关于暇点型反常积分的收敛性判别

@(微积分)

积分上下限确定的积分，在上下限范围内存在着暇点，此时应该怎么做比较容易分析出积分是否收敛是个很有意思的问题。
不加证明的总结一个有效的解决思路：假设在(a,b)上，f(a)趋向于无穷大。则积分∫baf(x)dx\int_a^bf(x)dx是否收敛。

方法是：

判定limx→a+f(x)(x−a)δ是否存在，其中δ∈(0,1)

判定\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)(x-a)^\delta 是否存在，其中\delta \in(0,1)

比如：

(10-3)m,n是正整数，反常积分：

∫10ln2(1−x)√mx√ndx\int_0^1\frac{\sqrt[m]{ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}dx的收敛性（D）
A.仅与m有关
B.仅与n有关
C.与m,n的取值都有关
D.与m,n的取值都无关

分析：如果直接给出比较的对象，就像很多解析说的那样，一定会让人觉得不可思议，如何想的到的。

这里被积函数恰好在两个边界均为无界。

而如果按照上面的思路来，问题即为：

判断：

limx→0+ln2(1−x)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√mx√n(x−0)δ,δ∈(0,1)=limx→0+xδln2m(1−x)x1n=0

\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sqrt[m]{ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}(x-0)^\delta ,\delta \in(0,1)\\ = \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^\delta {ln^{\frac{2}{m}}(1-x)}}{{x^{\frac{1}{n}}}}\\ = 0
极限存在。

同理，判定：

limx→1−ln2(1−x)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√mx√n(x−1)δ,δ∈(0,1)=limx→1−(1−x)δln2m(1−x)x1n=0

\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt[m]{ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}(x-1)^\delta ,\delta \in(0,1)\\ = \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{(1-x)^\delta {ln^{\frac{2}{m}}(1-x)}}{{x^{\frac{1}{n}}}}\\ = 0

由此可知，无论m,n的取值如何，极限均存在，则可判定该反常积分的收敛性与m,n取值无关。

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