河南省多校联盟二-F 线段树+矩阵
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1284: SP教数学
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题目描述
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对于每组数据的2操作,输出一行对1e9 + 7取模的答案
样例输入
7 4 2 2 1 1 3 3 2 2 1 5 2 6 7 1 3 4 3 2 6 6
样例输出
6 3 2
提示
1 <= n ,m <=10^5
一道很有趣的ST的题目,有趣在维护节点时用到了矩阵运算,减少了计算量。
首先对于矩阵运算法则,百度百科:
基本性质
- 乘法结合律: (AB)C=A(BC).[2]
- 乘法左分配律:(A+B)C=AC+BC[2]
- 乘法右分配律:C(A+B)=CA+CB[2]
- 对数乘的结合性k(AB)=(kA)B=A(kB).
- 转置 (AB)T=BTAT.
- 矩阵乘法一般不满足交换律[3] 。
题目的重点是如何快速求出∑ri=l f(i) , 其中f(i)表示第i个斐波那契数,(f1=f2=1)
这里的i会更新,+x操作,那么如何快速的计算这个值呢,一项一项利用快速幂? len*log(n)的复杂度难免有些太高了。
我们可以利用当前已知的区间和和增量一次性计算得到新的区间和,这里用到一些公式。
假设当前区间有三个元素 [a,b,c] ,s1=fa+fb+fc 增量为x,
-->[a+x,b+x,c+x] , s2=f(a+x)+f(b+x),f(c+x);
由矩阵关于斐波那契的递推式有:(fn,fn-1)=(fn-1,fn-2)*(1 01 1) //请自行脑补对齐= =
-->(f(a+x),f(a+x-1))=(f(a),f(a-1))*(1 01 1)^x
(f(b+x),f(b+x-1))=(f(b),f(b-1))*(1 01 1)^x
(f(c+x),f(c+x-1))=(f(c),f(c-1))*(1 01 1)^x
将三个等式相加得到 (s2,f(a+x-1)+f(b+x-1)+f(c+x-1))=(s1,f(a-1)+f(b-1)+f(c-1))*(1 01 1)^x //由于矩阵运算满足单向的分配律
我们已经找到了s2和s1的关系了,在已知x和行矩阵的第二个元素的情况下,只需要对(1 01 1)进行一次矩阵幂便可得到s2.
由于计算时必须要知道行矩阵的第二项,我们不妨对于每个节点维护两个值,是Σri=l f(i) 和 Σri=l f(i-1),利用laz标记的x便可快速的完成释放操作。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define LL long long 4 LL MOD=1e9+7; 5 const LL MAXN=(100000<<2)+15; 6 struct Matrix 7 { 8 int r=2,w=2; 9 LL a[4][4]; 10 void init(){memset(a,0,sizeof(a));} 11 Matrix operator*(const Matrix &tmp){ 12 Matrix ans; 13 ans.r=r;ans.w=tmp.w; 14 ans.init(); 15 for(int i=1;i<=r;++i) 16 for(int k=1;k<=w;++k) 17 for(int j=1;j<=tmp.w;++j) 18 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*tmp.a[k][j])%MOD; 19 return ans; 20 } 21 Matrix operator+(const Matrix &tmp){ 22 Matrix ans; 23 ans.r=r;ans.w=w; 24 ans.init(); 25 for(int i=1;i<=r;++i) 26 for(int j=1;j<=w;++j) 27 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][j]+tmp.a[i][j])%MOD; 28 return ans; 29 } 30 }unit,Am; 31 void init() 32 { 33 unit.init();unit.r=unit.w=2; 34 for(int i=0;i<=3;++i) unit.a[i][i]=1; 35 Am.init(),Am.r=Am.w=2; 36 Am.a[1][1]=Am.a[1][2]=Am.a[2][1]=1; 37 } 38 Matrix qpow(Matrix A,LL n) 39 { 40 Matrix ans=unit; 41 ans.r=A.r; 42 ans.w=A.w; 43 while(n){ 44 if(n&1) ans=ans*A; 45 A=A*A; 46 n>>=1; 47 } 48 return ans; 49 } 50 struct node 51 { 52 LL x,y; 53 }; 54 struct Segtree 55 { 56 #define M ((L+R)>>1) 57 #define lc (id<<1) 58 #define rc (id<<1|1) 59 LL laz[MAXN]; 60 node sum[MAXN]; 61 void init() 62 { 63 memset(laz,0,sizeof(laz)); 64 memset(sum,0,sizeof(sum)); 65 } 66 void build(int L,int R,int id) 67 { 68 if(L==R){ 69 LL x; scanf("%lld",&x); 70 if(x==1){sum[id].x=1;} 71 else if(x==2) {sum[id].x=sum[id].y=1;} 72 else{ 73 Matrix t=qpow(Am,x-2); 74 sum[id].x=(t.a[1][1]+t.a[1][2])%MOD; 75 sum[id].y=(t.a[1][2]+t.a[2][2])%MOD; 76 // cout<<sum[id].x<<" "<<sum[id].y<<endl; 77 } 78 return; 79 } 80 build(L,M,lc); 81 build(M+1,R,rc); 82 pushup(L,R,id); 83 } 84 void pushdown(int L,int R,int id) 85 { 86 if(!laz[id]) return; 87 laz[lc]+=laz[id]; 88 laz[rc]+=laz[id]; 89 Matrix t=qpow(Am,laz[id]); 90 LL x1=sum[lc].x,y1=sum[lc].y; 91 sum[lc].x=(x1*t.a[1][1]%MOD+y1*t.a[2][1]%MOD)%MOD; 92 sum[lc].y=(x1*t.a[1][2]%MOD+y1*t.a[2][2]%MOD)%MOD; 93 x1=sum[rc].x,y1=sum[rc].y; 94 sum[rc].x=(x1*t.a[1][1]%MOD+y1*t.a[2][1]%MOD)%MOD; 95 sum[rc].y=(x1*t.a[1][2]%MOD+y1*t.a[2][2]%MOD)%MOD; 96 laz[id]=0; 97 } 98 void pushup(int L,int R,int id) 99 { 100 sum[id].x=(sum[lc].x+sum[rc].x)%MOD; 101 sum[id].y=(sum[lc].y+sum[rc].y)%MOD; 102 } 103 void update(int L,int R,int id,int l,int r,LL v) 104 { 105 if(L>=l&&R<=r){ 106 laz[id]+=v; 107 Matrix t=qpow(Am,v); 108 LL x1=sum[id].x,y1=sum[id].y; 109 sum[id].x=(x1*t.a[1][1]%MOD+y1*t.a[2][1]%MOD)%MOD; 110 sum[id].y=(x1*t.a[1][2]%MOD+y1*t.a[2][2]%MOD)%MOD; 111 return; 112 } 113 pushdown(L,R,id); 114 if(l<=M) update(L,M,lc,l,r,v); 115 if(r>M) update(M+1,R,rc,l,r,v); 116 pushup(L,R,id); 117 } 118 LL ask(int L,int R,int id,int l,int r) 119 { 120 if(L>=l&&R<=r) return sum[id].x%MOD; 121 pushdown(L,R,id); 122 LL s=0; 123 if(l<=M) s=(s+ask(L,M,lc,l,r))%MOD; 124 if(r>M) s=(s+ask(M+1,R,rc,l,r))%MOD; 125 pushup(L,R,id); 126 return s; 127 } 128 }seg; 129 int main() 130 { 131 init(); 132 LL n,m,x,a; 133 int i,opt,j,l,r,k; 134 while(cin>>n>>m){ 135 seg.init(); 136 seg.build(1,n,1); 137 for(i=1;i<=m;++i){ 138 cin>>opt; 139 LL v; 140 if(opt==1){ 141 cin>>l>>r>>v; 142 seg.update(1,n,1,l,r,v); 143 } 144 else{ 145 cin>>l>>r; 146 cout<<seg.ask(1,n,1,l,r)<<endl; 147 } 148 } 149 } 150 return 0; 151 } 152
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