【省选模拟】西行（FWT）

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看完题立马联想到黎明前的巧克力
暴力的做法是对每一行做一遍 FWTFWTFWT，这样子是 O(n2mm)O(n2^mm)O(n2mm) 的
发现每个位置的贡献要么是 −ai-a_i−ai 要么是 aia_iai，那么我们可以合起来做 FWTFWTFWT
只需要知道这 2k2^k2k 种正负组合出现多少次就可以了
问题就是出现了多少次，考场始终觉得方程不够，结果发现自己 sb 了
黎明前的巧克力还记得一个位置要么是a1+a2a_1+a_2a1+a2，要么是 a1−a2a_1-a_2a1−a2，因为 a1a_1a1 在位置 0 上
于是我们把每一行的 pi,0p_{i,0}pi,0 变成 0，其它的全部异或上 pi,0p_{i,0}pi,0 就可以了
假设现在有四种系数 a0+a1+a2,a0+a1−a2,a0−a1+a2,a0−a1−a2a_0+a_1+a_2,a_0+a_1-a_2,a_0-a_1+a_2,a_0-a_1-a_2a0+a1+a2,a0+a1−a2,a0−a1+a2,a0−a1−a2，个数为 a,b,c,da,b,c,da,b,c,d
我们在 a1a_1a1 的位置上 +1 做 fwtfwtfwt，就可以得到 a+b−c−da+b-c-da+b−c−d 的值
在 a2a_2a2 的位置上 +1 就可以得到 a−b+c−da-b+c-da−b+c−d 的值
发挥人类智慧在 a1⊗a2a_1\otimes a_2a1⊗a2 的位置 +1 就可以得到两个符号的异或，也就是这个式子：
f^s=∑T(−1)∣S∩T∣fT\hat f_s=\sum_{T}(-1)^{|S\cap T|}f_Tf^s=∑T(−1)∣S∩T∣fT, (−1)∣S∩(a1⊗a2)∣=(−1)∣S∩a1∣(−1)∣S∩a2∣(-1)^{|S\cap (a_1\otimes a_2)|}=(-1)^{|S\cap a_1|}(-1)^{|S\cap a_2|}(−1)∣S∩(a1⊗a2)∣=(−1)∣S∩a1∣(−1)∣S∩a2∣
那么我们得到了 a−b−c+da-b-c+da−b−c+d 的值
还有一个 a+b+c+d=na+b+c+d=na+b+c+d=n 即可以解出，不能暴力解，巧妙的发现
a+b+c+d=na+b+c+d=na+b+c+d=n
a−b+c−d=Aa-b+c-d=Aa−b+c−d=A
a+b−c−d=Ba+b-c-d=Ba+b−c−d=B
a−b−c+d=Ca-b-c+d=Ca−b−c+d=C
把得到的 ifwtifwtifwt 回去就可以得到原来的
那么复杂度就是 O(kn+2k+m(k+m))O(kn+2^{k+m}(k+m))O(kn+2k+m(k+m))

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
typedef long long ll;
int read(){ll cnt = 0, f = 1; char ch = 0;while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();return cnt * f;
}
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int ksm(int a, int b){ int ans = 1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans = mul(ans, a); return ans; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a, b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a, b); }
cs int N = 1e6 + 50, K = 10, M = 1 << 9;
int n, m, k, Sm, Sk, a[K], p[N][K];
#define poly vector<int>
poly vl[M];
void FWT(poly &a, int S, int typ){for(int i = 1; i < S; i <<= 1)for(int j = 0; j < S; j += (i<<1))for(int k = 0; k < i; k++){int x = a[k + j], y = a[k + j + i];a[k + j] = add(x, y); a[k + j + i] = dec(x, y);}if(typ == -1)for(int i = 0, iv = ksm(S,Mod-2); i < S; i++) Mul(a[i], iv);
}
int main(){n = read(), m = read(), k = read();Sm = 1 << m;Sk = 1 << k - 1;for(int i = 0; i < k; i++) a[i] = read();int tag = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){p[i][0] = read(); tag ^= p[i][0];for(int j = 1; j < k; j++) p[i][j] = read(), p[i][j] ^= p[i][0];}for(int S = 0; S < Sk; S++){vl[S].resize(n + 1);vl[S][0] = 1; vl[S][1] = a[0];for(int j = 1; j < k; j++) (S >> (j - 1) & 1) ? Dec(vl[S][1], a[j]) : Add(vl[S][1], a[j]);for(int j = 2; j <= n; j++) vl[S][j] = mul(vl[S][1],vl[S][j-1]);}static poly f[M];for(int S = 0; S < Sk; S++){f[S].resize(Sm);for(int i = 1; i <= n; i++){int x = 0;for(int j = 1; j < k; j++) if(S >> (j - 1) & 1) x ^= p[i][j];++f[S][x];} FWT(f[S], Sm, 1);}poly F(Sm, 1);for(int i = 0; i < Sm; i++){poly G(Sk, 0);for(int j = 0; j < Sk; j++) G[j] = f[j][i];FWT(G, Sk, -1);for(int j = 0; j < Sk; j++) Mul(F[i], vl[j][G[j]]);}FWT(F, Sm, -1);for(int i = 0; i < Sm; i++) cout << F[i ^ tag] << " ";return 0;
}

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