控制算法简析8——被控系统的稳定性分析

概述

本系列前几篇文章前面说了这么多关于控制工程的东西，还引入了ACC的被控系统分析，接下来想要针对得到的被控系统，分析一个很重要的问题：如何判定该被控系统是否稳定？该系统是发散还是收敛？

什么叫稳定性

稳定性是系统在收到扰动后回到正常状态的能力，这里扰动和响应都是有界的，因此也被称作 Bounded-input-bounded-output stability。稳定具体可分为三类：稳定，临界稳定和不稳定。下图就很好的解释了稳定、临界稳定和不稳定系统的区别。

实际上，稳定是针对整个系统而言的，我们可以加入控制器，通过设计恰当的控制器，原本不稳定的系统会变的稳定。自动控制理论就是想设计合理的控制器，使得系统最终可控（able to track reference）和稳定（stability）。这也是我们设计PID、MPC的意义所在。

判断稳定性

学习过控制理论的人都知道结论：传递函数极点在复平面左半平面系统稳定，在虚轴上临界稳定，在右半平面不稳定。这句话背后的含义是什么呢？

以下图传递函数G(s)为例说明：

传递函数已知时，输出Y(s)=U(s)∗G(s)Y(s)=U(s)*G(s)Y(s)=U(s)∗G(s)。设输入是单位冲击响应（这里用冲击响应的原因是：线性时不变系统满足叠加定理，任意输入都可以看成无数冲击响应的叠加），若冲击响应造成的扰动最后归于0时，其它bounded distrubance造成的扰动响应也会归于0，系统稳定。单位冲击响应的拉普拉斯变换为1，这样输出就等于传递函数，对其进行拉普拉斯反变换后得到时域输出。
可以看出，两个极点的根—— -1和-2，出现在时域响应e的指数部分，当实数部分小于0时，随着t的增长，这个数会逐渐趋于0，因此系统稳定。

实际上，极点的实部和虚部，分别对应着时域响应的幅值部分和三角函数部分。对于虚部，根据欧拉公式， eite^{it}eit 在时域下就是关于 ttt 三角函数。对于实部，如果小于0，则幅值会指数衰减，最终稳定；如果等于0，则幅值不变（即震荡）； ttt 大于零则幅值指数增大，发散不稳定。（这里可以查一下拉氏变换相关内容）

总结下极点的位置和稳定（响应）的关系如下图：

至此，我们知道通过传递函数的极点可以判断系统稳定性。控制工程师通过设计合理的控制器，改变系统整体的传递函数，达到好的控制效果，但反复求解极点是一件麻烦的事情。因此，聪明的前辈提出了很多方法来辅助判断稳定性，比如劳斯判据，根轨迹，奈奎斯特稳定判据等，这些都是围绕极点展开的方法。

这种思想一直延申到了现代控制领域，现代控制中系统的状态空间方程是：dot x = Ax+Bu，矩阵A的特征值正对应着传递函数的极点，特征根小于0则系统稳定，最后殊途同归。