开始本文前，我已经有《视觉SLAM十四讲-高翔》前三章基础。

李群李代数基础

群

李群

李代数的引出

李群李代数基础

在前几章介绍了旋转矩阵和变换矩阵，当时，我们说三维旋转矩阵构成了特殊正交群SO(3)，而变换矩阵构成了特殊欧氏群 SE(3)。

这里可以引出，无论是旋转矩阵还是变换矩阵，他们对加法都是不封闭的。对于任意两个旋转矩阵R1，R2，他们按照矩阵加法的定义，和不再是一个旋转矩阵:

对于变换矩阵亦是如此。我们发现，这两种矩阵并没有良好定义的加法，相对的，它们只有一种较好的运算：乘法。SO(3) 和 SE(3) 关于乘法是封闭的:

两次旋转矩阵相乘表示做了两次旋转，对于这种只有一个运算的集合，我们叫它做群。

群

群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作 A，运算记作 ·，那么群可以记作 G = (A, ·)。群要求这个运算满足以下几个条件：

1.封闭性 2.结合律 3.幺元 4.逆

详见https://zhuanlan.zhihu.com/p/115658697

李群

李群是指具有连续（光滑）性质的群。像整数群 Z 那样离散的群没有连续性质，所以不是李群。而 SO(n) 和 SE(n)，它们在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群。

李代数的引出

对于任意的旋转矩阵R，满足

在实际中，用R表示相机或其他传感器的旋转，它会随时间t变化，即为时间的函数：R(t)，它仍是旋转矩阵，所以依旧满足上式，则有

对上式左右两边同时求导，可得

将式子移项，对转置外移，整理可以得到

这条等式就可以看出是一个反对称矩阵。

曾经叉积的学习中，引入了^符号，把一个向量变成了反对称矩阵。同理，对于任意反对称矩阵，我们亦能找到一个与之对应的向量。把这个运算用符号 ∨ 表示：

可以理解成是向量到矩阵的变换，是矩阵到向量的变换。

在上方已经得出是反对称矩阵，可以找一个三维向量与之对应，于是有：

等式两边同时R(t)，由于R为正交阵，有：

可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个矩阵即可。为方便讨论，我们设 t0 = 0，并设此时旋转矩阵为 R(0) = I。按照导数定义，可以把 R(t) 在 0 附近进行一阶泰勒展开：

我们看到 ϕ 反映了 R 的导数性质，故称它在 SO(3) 原点附近的正切空间 (Tangent Space) 上。同时在 t0 附近，设 ϕ 保持为常数 ϕ(t0) = ϕ0。则有：

上式是一个关于 R 的微分方程，而且我们知道初始值 R(0) = I，下面进行求解：

这里引出齐次一阶线性方程方便读者进行理解：

分离变量得到

两边同时积分，得到

也可以表示为

那么也就不难解出

由于做了一定的假设，所以它只在 t = 0 附近有效。

通过推导，我们知道了旋转矩阵 R 与另一个反对称矩阵通过指数关系发生了联系。也就是说，当我们知道某个时刻的 R 时，存在一个向量 ϕ，它们满足这个矩阵指数关系。

给定某时刻的 R，我们就能求得一个 ϕ，它描述了 R 在局部的导数关系。ϕ 正是对应到 SO(3) 上的李代数 so(3)。

矩阵指数事实上正是李群与李代数间的指数/对数映射。

下一篇会详细说明李代数。

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