（一）、树的概念与应用

1.树的概念

2.树的应用

（二）、树的性质

（三）、树的中心与形心

1.树的中心的概念与性质

2.树的形心的概念与性质

（一）、树的概念与应用

1.树的概念

不含圈的图称为无圈图，树是连通的无圈图。树的度为1的顶点称为树叶。

定义：称无圈图G为森林。

即无圈图G就是森林，森林可以是不连通的，若森林连通，则该森林为树。即森林可以包含很多树，每个树都是该森林的连通分量。

注意：树与森林都是简单图；

两个顶点及以上的树与森林都是偶图；

树与森林都没有重边和自环，所以是简单图。又因为一个图为偶图的充要条件是该图不包含奇圈，这里圈都没有，所以更没有奇圈，所以树与森林都是偶图。

例题：这里按树中最长路进行枚举。即若最长路为3时，我们先画出4个顶点依次排开相连，然后再考虑剩下的顶点的连接方式。

2.树的应用

略

（二）、树的性质

定理1：每棵非平凡树至少有两片树叶。

注意：发现了一个问题，图论中很多证明都是证明一条路v1v2....vk是最长路。

定理2：图G是树当且仅当图G中任意两点都被唯一的路连接。

由定理3可得，对于一棵树来说，边数一定等于顶点数减1。

例题：

推论1：具有k个分支的森林具有n-k条边。

定理4：每个n阶连通图的边数至少为n-1

树的边数为n-1,所以树也被称为最小连通图。

定理5：任意树T的两个不邻接顶点之间添加一条边，可以得到唯一圈。

因为树中任意两个不邻接顶点都有一条唯一的路连接，所以如果在这两个顶点之间加一条边，就可以得到唯一圈。

例题：

注：因为一棵树的边数是m=n-1，所以一棵树的度数之和一定是2（n-1）

（三）、树的中心与形心

1.树的中心的概念与性质

（1）图的顶点的离心率

每一个顶点都有离心率这个概念，顶点v的离心率指的是图中距离v最远的点与v之间的那个最远距离。

（2）图的半径

图中所有顶点中对应最小的那个离心率就是图的半径。

（3）图的直径

最大离心率

（4）图的中心点

离心率等于半径的点，所以图的中心点可能有多个吧。

（5）图的中心

中心点的集合。图的中心是一个集合，中心点的集合。

定理7：一颗树的中心由一个点或两个相邻点组成。

2.树的形心的概念与性质

略

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