AMM算法简要理解（Adleman-Mander-Miller Method）

概念引入：

全称为Adleman-Mander-Miller Method。在1977年他们发表的论文里只涉及了开平方根的方法，开n次方根并没有很详细的介绍。《Adleman-Manders-Miller Root Extraction Method Revisited》里三位中国人补充了他们开n次方根的方法。

可参考论文：AMM算法论文原稿

算法思路：

一、平方根（ $x^{2}$ ≡ a mod p）

即是我们常说的二次剩余定理的求解，在AMM算法中求解思路如下：

求解步骤如下：

1、由二次剩余定理成立条件可知， $a^{\tfrac{p-1}{2}} = 1 \left ( mod p\right )$ ——（1）成立；

2、我们可以找到一个q值满足 $q^{\tfrac{p-1}{2}} = -1 \left ( mod p\right )$ ——（2）；

3、将（1）中表达式开方即可求得 $a^{\tfrac{p-1}{4}} = 1or-1 \left ( mod p\right )$ ——（3）

=>由a^2 = 1 mod p ==> a = 1or-1 mod p推导可得

4、判断 $a^{\tfrac{p-1}{4}} = 1or-1 \left ( mod p\right )$ 等于1还是-1：（且 $\tfrac{p-1}{4} \neq$ 奇数时）

当等于1时：不做任何多余操作；

但等于-1时：将（3）式和（2）式相乘成为新的（3）式；

5、将（3）进行重复上式中的3和4操作，直到我们推导得（ $\frac{p-1}{4} =$ 奇数时）

两边同乘（2）式，并开方即是我们所需的x值。

二、n次方根（ $x^{r} = a \left ( modp \right )$ ）

1、我们可知费马小定理： $x^{p-1}=1\left ( modp \right )$ ——（1）

=> $a^{\frac{p-1}{r}}=1\left ( modp \right )$ => 代入 $x^{e} = a \left ( modp \right )$ ，将a用 $x^{r}$ 替换即可代换为（1）式；

2、我们可知AMM算法求解的情况为 r | （p-1）的情况，所以我们可以写出以下条件：

p-1 = r^t * s

3、找到一个q值使其满足 $q^{\frac{p-1}{r}}\neq 1\left ( modp \right )$ ——（2）

4、找到一个 $\alpha$ 值，使其满足 s | (r* $\alpha$ -1)，可推导得： $(a^{r*\alpha -1})^{r^{t-1}}=1\left ( modp \right )$ ——（3）

分类讨论：

（1）t=1时：

直接两边同乘a值，再对两边同时开r次方导，带入（1）式，即可求得x的值；

（2）t>=2时：

=>取（2）式可推导得： $Ki=(q^{s})^{i*r^{t-1}} and\left (K=(K1,K2,K3......Kr-1)) \right )$

其中K是对（3）式开r次方所有可能解的集合

当我们算Ki^r时，通过欧拉定理，我们可知Ki^r == 1 mod p

=>Ki * Kr-i = $((q^{s})^{i*r^{t-1}})*((q^{s})^{(r-i))*r^{t-1}})=(q^{s})^{r^{t}}$ ,通过欧拉定理可得Ki*Kr-i == 1 mod p

接下来，开始像第一个中解平方根的思路开始求解第二种情况：

1、对（3）式开r次方，得到 $((a^{r*\alpha -1})^{r^{t-2}})^{r}=1\left ( modp \right )$

2、可得到 $(a^{r*\alpha -1})^{r^{t-2}}=Kr-j$

两边同时乘以Kj可得 $(a^{r*\alpha -1})^{r^{t-2}}*Kr-j=1 (modp)$

即是 $(a^{r*\alpha -1})^{r^{t-2}}*(p^{s})^{j*r^{t-1}}=1 (modp)$

判断r^(t-j)是否为r，重复进行上述的1和2操作

3、当结束后，我们可得以下等式:

$(a^{r*\alpha -1})*(p^{s})^{j1*r^{1}+j2*r^{2}+j3*r^{3}+......+jt-1*r^{t-1}}=1 (modp)$

4、两边同时乘以a值，可得 $(a^{r*\alpha })*(p^{s})^{j1*r^{1}+j2*r^{2}+j3*r^{3}+......+jt-1*r^{t-1}}=a (modp)$

带入（1）式，对两边同时开r次方，我们可以求得我们所需的x值：

$x=(a^{\alpha })*(p^{s})^{j1*r^{1}+j2*r^{2}+j3*r^{3}+......+jt-1*r^{t-1}}(modp)$ 得证

AMM算法简要理解（Adleman-Mander-Miller Method）相关推荐

深度学习中端到端（end-to-end）简要理解
端到端(end-to-end)简要理解端到端好处不同领域的端到端目标检测非end-to-end方法 end-to-end方法 CV计算机视觉语音识别非端到端端到端参考端到端端到端 ...
Levenberg-Marquardt(LM算法)的理解
Levenberg-Marquardt LM算法的理解 1. convex optimization 1.1 convex set 1.2 convex function 1.3 optimizat ...
Berlekamp–Massey算法简要介绍
这是一篇翻译向的文章,笔者整理了一些有关Berlekamp–Massey算法的笔记,还增加了一些自己的理解. 下面列出了笔者写此文时所参考的一些资料: wikipedia fjzzq2002 别人的博 ...
viterbi算法通俗理解
文章目录 viterbi算法是什么手动理解缺点分析算法详解算法推论 viterbi与隐马尔可夫隐马尔科夫链的三个基本问题隐马尔科夫链的五元组更详细的解释代码实现实现测试参考 vi ...
脱离公式谈谈对反向传播算法的理解
机器学习的训练过程可看作是最优化问题的求解过程. 根据原理对于函数f(x),如果f(x)在点xt附近是连续可微的,那么f(x)下降最快的方向是f(x)在xt点的梯度的反方向得到最简单最常用的优化算 ...
matlab温度数据怎么滤波_卡尔曼滤波算法思想理解 Kalman filter 第一篇
卡尔曼滤波算法思想理解 Kalman filter 第一篇最近在初步的理解目标跟踪的领域, 其中一个非常经典的算法卡尔曼滤波Kalman filter是需要有很好的理解才行, 由于已经脱离了学校,懂 ...
Interview：算法岗位面试—11.15下午上海某航天***公司(国企)技术面之工业机器视觉认知、计算机视觉算法的理解、目标检测相关项目案例
ML岗位面试:11.15下午上海某航天***公司(国企)技术面之工业机器视觉认知.计算机视觉算法的理解.目标检测相关项目案例 Interview:算法岗位面试-11.15下午上海某航天***公司(国企 ...
深度学习算法简要综述(下)
点击上方"算法猿的成长",关注公众号,选择加"星标"或"置顶" 总第 124 篇文章,本文大约 3731 字,阅读大约需要 10 分钟原文 ...
React中diff算法的理解
React中diff算法的理解 diff算法用来计算出Virtual DOM中改变的部分,然后针对该部分进行DOM操作,而不用重新渲染整个页面,渲染整个DOM结构的过程中开销是很大的,需要浏览器对DO ...

AMM算法简要理解（Adleman-Mander-Miller Method）

概念引入：

算法思路：

一、平方根（ $x^{2}$ ≡ a mod p）

二、n次方根（ $x^{r} = a \left ( modp \right )$ ）

AMM算法简要理解（Adleman-Mander-Miller Method）相关推荐

最新文章

热门文章

AMM算法简要理解（Adleman-Mander-Miller Method）

概念引入：

算法思路：

一、平方根（≡ a mod p）

二、n次方根（）

AMM算法简要理解（Adleman-Mander-Miller Method）相关推荐

最新文章

热门文章

一、平方根（ $x^{2}$ ≡ a mod p）

二、n次方根（ $x^{r} = a \left ( modp \right )$ ）