【转】矩阵分解

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【转载【https://blog.csdn.net/u011412768/article/details/52972081#commentBox】因为要用到基于SVD的推荐作为baseline，所以最近学习了一下SVD这个算法，感觉理解了好长时间。首先看的两篇是实验室师兄科学网上翻译的两篇介绍SVD的文章，阅读量很大，翻译得很好。后面在网上又找到一篇专门接受SVD应用到推荐系统的文章，感觉博主写得很不错，感谢两位前辈的知识，让我可以好好学习SVD。

SVD介绍博文两篇：

地址1：奇异值分解(SVD) — 线性变换几何意义

地址2：奇异值分解(SVD) — 几何意义

下面是博主“不是我干的”总结的“SVD在推荐系统中的应用”:

原文地址：SVD在推荐系统中的应用（CSDN上也有博主这篇文章）

下面是第二位博主的正文部分，保存着共自己学习：

作者：不是我干的

参考自：http://www.igvita.com/2007/01/15/svd-recommendation-system-in-ruby/
其实说参考也不准确，准确地说应该是半翻译半学习笔记。
仔细整理一遍，感觉还是收获很大的。

线性代数相关知识：
任意一个M*N的矩阵A（M行*N列，M>N），可以被写成三个矩阵的乘积：
1. U：（M行M列的列正交矩阵）
2. S：（M*N的对角线矩阵，矩阵元素非负）
3. V：（N*N的正交矩阵的倒置）
即 A=U*S*V’（注意矩阵V需要倒置）

直观地说：

假设我们有一个矩阵，该矩阵每一列代表一个user，每一行代表一个item。

如上图，ben,tom….代表user，season n代表item。

矩阵值代表评分（0代表未评分）：

如 ben对season1评分为5，tom对season1 评分为5，tom对season2未评分。

机器学习和信息检索：

机器学习的一个最根本也是最有趣的特性是数据压缩概念的相关性。

如果我们能够从数据中抽取某些有意义的感念，则我们能用更少的比特位来表述这个数据。

从信息论的角度则是数据之间存在相关性，则有可压缩性。

SVD就是用来将一个大的矩阵以降低维数的方式进行有损地压缩。

降维：（相对于机器学习中的PCA）

下面我们将用一个具体的例子展示svd的具体过程。

首先是A矩阵。

A =
5 5 0 5
5 0 3 4
3 4 0 3
0 0 5 3
5 4 4 5
5 4 5 5

（代表上图的评分矩阵）

使用matlab调用svd函数：

[U,S,Vtranspose]=svd(A)
U =
-0.4472 -0.5373 -0.0064 -0.5037 -0.3857 -0.3298
-0.3586 0.2461 0.8622 -0.1458 0.0780 0.2002
-0.2925 -0.4033 -0.2275 -0.1038 0.4360 0.7065
-0.2078 0.6700 -0.3951 -0.5888 0.0260 0.0667
-0.5099 0.0597 -0.1097 0.2869 0.5946 -0.5371
-0.5316 0.1887 -0.1914 0.5341 -0.5485 0.2429
S =
17.7139 0 0 0
0 6.3917 0 0
0 0 3.0980 0
0 0 0 1.3290
0 0 0 0
0 0 0 0
Vtranspose =
-0.5710 -0.2228 0.6749 0.4109
-0.4275 -0.5172 -0.6929 0.2637
-0.3846 0.8246 -0.2532 0.3286
-0.5859 0.0532 0.0140 -0.8085

分解矩阵之后我们首先需要明白S的意义。

可以看到S很特别，是个对角线矩阵。

每个元素非负，而且依次减小，从几何意义上来说，此值和特征向量中的特征值的权重有关。

所以可以取S对角线上前k个元素。

当k=2时候即将S(6*4)降维成S(2*2)，

同时U(6*6),Vtranspose(4*4)相应地变为 U(6*2),V(4*2)（这里V.transpose应该为2*4）

如下图（图片里的usv矩阵元素值和我自己matlab算出的usv矩阵元素值有些正负不一致，但是本质是相同的）：

此时我们用降维后的U，S，V来相乘得到A2

A2=U(1:6,1:2)*S(1:2,1:2)*(V(1:4,1:2))' //matlab语句

A2 =
5.2885 5.1627 0.2149 4.4591
3.2768 1.9021 3.7400 3.8058
3.5324 3.5479 -0.1332 2.8984
1.1475 -0.6417 4.9472 2.3846
5.0727 3.6640 3.7887 5.3130
5.1086 3.4019 4.6166 5.5822

此时我们可以很直观地看出，A2和A很接近，这就是之前说的降维可以看成一种数据的有损压缩。

接下来我们开始分析该矩阵中数据的相关性

我们将u的第一列当成x值，第二列当成y值（即u的每一行用一个二维向量表示）

同理，v的每一行也用一个二维向量表示。

如下图：

从图中可以看出:

Season5，Season6特别靠近。Ben和Fred也特别靠近。

同时我们仔细看一下A矩阵可以发现，A矩阵的第5行向量和第6行向量特别相似，Ben所在的列向量和Fred所在的列向量也特别相似。

所以，从直观上我们发现，U矩阵和V矩阵可以近似来代表A矩阵，换据话说就是将A矩阵压缩成U矩阵和V矩阵，至于压缩比例得看当时对S矩阵取前k个数的k值是多少。

到这里，我们已经完成了一半。

寻找相似用户

我们假设，现在有个名字叫Bob的新用户，并且已知这个用户对season n的评分向量为：[5 5 0 0 0 5]。（此向量为行向量）

我们的任务是要对他做出个性化的推荐。

我们的思路首先是利用新用户的评分向量找出该用户的相似用户。

对图中公式不做证明，只需要知道结论：得到一个Bob的二维向量，即知道Bob的坐标。（本质上是特征的降维转换）

将Bob坐标添加进原来的图中：

然后从图中找出和Bob最相似的用户。

注意，最相似并不是距离最近的用户，这里的相似用余弦相似度计算，即夹角与Bob最小的用户坐标，可以计算出最相似的用户是ben。

接下来的推荐策略就完全取决于个人选择了。

这里介绍一个非常简单的推荐策略：

找出最相似的用户，即ben。

观察ben的评分向量为：【5 5 3 0 5 5】。

对比Bob的评分向量：【5 5 0 0 0 5】。

然后找出ben评分过而Bob未评分的item并排序，即【season 5：5，season 3：3】。

即推荐给Bob的item依次为 season5 和 season3。

最后还有一些关于整个推荐思路的可改进的地方：

1.svd本身就是时间复杂度高的计算过程，如果数据量大的情况恐怕时间消耗无法忍受。不过可以使用梯度下降等机器学习的相关方法来进行近似计算，以减少时间消耗。

2.相似度计算方法的选择，有多种相似度计算方法，每种都有对应优缺点，对针对不同场景使用最适合的相似度计算方法。

3.推荐策略：首先是相似用户可以多个，每个由相似度作为权重来共同影响推荐的item的评分。

最后附上一些其他博主的博文，可以加深理解：

（1）机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用

（2）[机器学习笔记]奇异值分解SVD简介及其在推荐系统中的简单应用

（3）矩阵特征值分解与奇异值分解含义解析及应用

感谢前辈们提供的知识~

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