【直线分平面问题】

问题：n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。

解：当有n-1条直线时，平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线段。而每条射线和线段将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。

如图：第四条红色的线与其他3条线生成了3个交点，生成了两条射线两条线段，这两条射线两条线段将下面的区域被分成了四份，即多出了四个区域。

故：f(n)=f(n-1)+n

=f(n-2)+(n-1)+n
……
=f(1)+1+2+……+n

=n(n+1)/2+1

递推公式：f(n)=n(n+1)/2+1

【折线分平面问题】

问题：n条折线，最多可以把平面分为多少个区域。

解：根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

如图，红色的折线代表新画的折线，由于这是第二条折线，那么原来就有（2-1）2条线段，红色的折线应和这（2-1）2条折线都相交，生成的是4（2-1）个交点，其中，两条射线，4（2-1）条线段，多出来的区域便为4（2-1）+2，其中折线本身相邻的两线段只能增加一个区域，故还应该减去一。

故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

=f(n-1)+4(n-1)+1

=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

……

=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)

=2n^2-n+1

递推公式：f(n)=2n^2-n+1

【封闭曲线分平面问题】

问题：n条封闭曲线，任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

解：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。

如图：红色的圆是第三个圆，在此之前有两个，和之前那两个生成的交点有2×2个，多出来的区域就也为2×2个。

故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)

=f(n-2)+2(n-2)+2(n-1)

......

=f(1)+2+4+……+2(n-1)

=n^2-n+2

递推公式：f(n)=n^2-n+2

【平面分割空间问题】

问题：n个平面，最多可以把空间分为多少个区域。

解：由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关？当有n-1个平面时，分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。（g(n)为n条直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g(n-1)个空间。

故：f(n)=f(n-1)+g(n-1)

=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

……

=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

=(n^3+5n)/6+1

PS：g(n)=n(n+1)/2+1

递推公式：f(n)=(n^3+5n)/6+1

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