作者：华校专

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华校专，曾任阿里巴巴资深算法工程师、智易科技首席算法研究员，现任腾讯高级研究员，《Python 大战机器学习》的作者。

1 贝叶斯定理

1.1 贝叶斯定理

1. 设 为试验 的样本空间； 为 的一组事件。若

   则称 为样本空间 的一个划分。

2. 如果 为样本空间 的一个划分，则对于每次试验，事件 中有且仅有一个事件发生。

3. 全概率公式 ：设试验 的样本空间为 ， 为 的事件， 为样本空间 的一个划分，且

   则有：

4. 贝叶斯定理 ：设试验 的的样本空间为 ， 为 的事件， 为样本空间 的一个划分，且

   则有：

1.2 先验概率、后验概率

1. 先验概率：根据以往经验和分析得到的概率。

   后验概率：根据已经发生的事件来分析得到的概率。

2. 例：假设山洞中有熊出现的事件为 ，山洞中传来一阵熊吼的事件为 。

• 山洞中有熊的概率为 。它是先验概率，根据以往的数据分析或者经验得到的概率。
• 听到熊吼之后认为山洞中有熊的概率为 。它是后验概率，得到本次试验的信息从而重新修正的概率。

2 朴素贝叶斯法

1. 朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。对给定的训练集：

• 首先基于特征条件独立假设学习输入、输出的联合概率分布。
• 然后基于此模型，对给定的输入 ，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出 。

朴素贝叶斯法不是贝叶斯估计，贝叶斯估计是最大后验估计。

2.1 原理

1. 设输入空间 为 维向量的集合 ，输出空间为类标记集合

   令 为定义在 上的随机向量， 为定义在 上的随机变量。令 为 和 的联合概率分布。假设训练数据集 由 独立同分布产生。朴素贝叶斯法通过训练数据集学习联合概率分布 。具体的学习下列概率分布：

• 先验概率分布：
• 条件概率分布：

朴素贝叶斯法对条件概率做了特征独立性假设：

• 这意味着在分类确定的条件下，用于分类的特征是条件独立的。
• 该假设使得朴素贝叶斯法变得简单，但是可能牺牲一定的分类准确率。

根据贝叶斯定理：

考虑分类特征的条件独立假设有：

则朴素贝叶斯分类器表示为：

由于上式的分母 与 的取值无关，则分类器重写为：

2.2 期望风险最小化

1. 朴素贝叶斯分类器是后验概率最大化，等价于期望风险最小化。

2. 令损失函数为：

3. 根据 有：

   为了使得期望风险最小化，只需要对 中的元素极小化。令 ，则有：

   即：期望风险最小化，等价于后验概率最大化。

2.3 算法

1. 在朴素贝叶斯法中，学习意味着估计概率： ， 。

2. 可以用极大似然估计相应概率。

   (1) 先验概率 的极大似然估计为：

   (2) 设第 个特征 可能的取值为 ，则条件概率 的极大似然估计为：

   其中： 为示性函数， 表示第 个样本的第 个特征。

3. 朴素贝叶斯算法 ：

• 输入 ：

  (1) 训练集

  ， 为第 个样本的第 个特征。其中 ， 为第 个特征可能取到的第 个值。

  (2) 实例 。

• 输出 ：实例 的分类

• 算法步骤：

  (1) 计算先验概率以及条件概率：

  (2) 对于给定的实例 ， ， ，计算：

  (3) 确定实例 的分类：

2.4 贝叶斯估计

1. 在估计概率 的过程中，分母 可能为 0 。这是由于训练样本太少才导致 的样本数为 0 。而真实的分布中， 的样本并不为 0 。解决的方案是采用贝叶斯估计(最大后验估计)。

2. 假设第 个特征 可能的取值为 ，贝叶斯估计假设在每个取值上都有一个先验的计数 。即：

   它等价于在 的各个取值的频数上赋予了一个正数 。若 的样本数为0，则它假设特征 每个取值的概率为 ，即等可能的。

3. 采用贝叶斯估计后， 的贝叶斯估计调整为:

• 当 时，为极大似然估计当 时，为拉普拉斯平滑
• 若 的样本数为 0，则假设赋予它一个非零的概率 。

3 半朴素贝叶斯分类器

1. 朴素贝叶斯法对条件概率做了特征的独立性假设：

   但是现实任务中这个假设有时候很难成立。若对特征独立性假设进行一定程度上的放松，这就是半朴素贝叶斯分类器 semi-naive Bayes classifiers 。

2. 半朴素贝叶斯分类器原理：适当考虑一部分特征之间的相互依赖信息，从而既不需要进行完全联合概率计算，又不至于彻底忽略了比较强的特征依赖关系。

3.1 独依赖估计 OED

1. 独依赖估计One-Dependent Estimator:OED是半朴素贝叶斯分类器最常用的一种策略。它假设每个特征在类别之外最多依赖于一个其他特征，即：

   其中 为特征 所依赖的特征，称作的 父特征。

2. 如果父属性已知，那么可以用贝叶斯估计来估计概率值 。现在的问题是：如何确定每个特征的父特征？

不同的做法产生不同的独依赖分类器。

3.1.1 SPODE

1. 最简单的做法是：假设所有的特征都依赖于同一个特征，该特征称作超父。然后通过交叉验证等模型选择方法来确定超父特征。这就是 SPODE:Super-Parent ODE 方法。

   假设节点  代表输出变量 ，节点 代表属性 。下图给出了超父特征为 时的 SPODE。

3.1.2 TAN

1. TAN:Tree Augmented naive Bayes 是在最大带权生成树算法基础上，通过下列步骤将特征之间依赖关系简化为如下图所示的树型结构：

   (1) 计算任意两个特征之间的条件互信息。记第 个特征 代表的结点为 ，标记代表的节点为 则有:

   如果两个特征 相互条件独立，则

   则有条件互信息 则在图中这两个特征代表的结点没有边相连。

   (2) 以特征为结点构建完全图，任意两个结点之间边的权重设为条件互信息 。

   (3) 构建此完全图的最大带权生成树，挑选根结点(下图中根节点为节点 ，将边置为有向边。

   (4) 加入类别结点 ，增加 到每个特征的有向边。因为所有的条件概率都是以 为条件的。

   

4 其它讨论

1. 朴素贝叶斯分类器的优点：

• 性能相当好，它速度快，可以避免维度灾难。
• 支持大规模数据的并行学习，且天然的支持增量学习。

朴素贝叶斯分类器的缺点：

• 无法给出分类概率，因此难以应用于需要分类概率的场景。