Easy Finding

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Given a M×N matrix A. A_ij ∈ {0, 1} (0 ≤ i < M, 0 ≤ j < N), could you find some rows that let every cloumn contains and only contains one 1.

There are multiple cases ended by EOF. Test case up to 500.The first line of input is M, N (M ≤ 16, N ≤ 300). The next M lines every line contains N integers separated by space.

For each test case, if you could find it output "Yes, I found it", otherwise output "It is impossible" per line.

3 3
0 1 0
0 0 1
1 0 0
4 4
0 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 1
0 1 0 0

Yes, I found it
It is impossible

POJ Monthly Contest - 2009.08.23, MasterLuo

Dancing Links用的数据结构是交叉十字循环双向链

而Dancing Links中的每个元素不仅是横向循环双向链中的一份子，又是纵向循环双向链的一份子。

因为精确覆盖问题的矩阵往往是稀疏矩阵（矩阵中，0的个数多于1），Dancing Links仅仅记录矩阵中值是1的元素。

对我们所举的例子，矩阵M的初始状态为

1  2   3   4  5  6  7

A  1   0   0  1  0  0  1

B  1   0   0  1  0  0  0

C  0   0   0  1 1  0   1

D  0   0   1  0 1  1   0

E  0   1   1  0  0  1  1

F  0   1    0  0  0  0  1

1、找出含1个数最少的列，即找出在子集中出现次数最少的那个元素。显然，元素1、2、3、5、6的总出现次数都为2，而我们是从左到右遍历的，故这一步的选择列号为1.

2、找出所有含有元素1的子集，即A和B，也就是第一行和第二行。现在S={}

3、我们先考虑子集A、先尝试将子集A加入到解集S中。现在S={A},

4、现在将所有和A有交集的子集从矩阵中删除。具体做法是，子集A对应3个列1,4,7。那么从矩阵中把所有在这3列中含1的行删掉。

比如对第1列，含1的行有A,B；对第4列，含1的行有A,B,C；对第7列，含1的行有A,C,E,F。 因此删除的就是A 、B、 C、 E 、F等5行

5、删除所有和A有交集的列，即第1、4、7列。

现在矩阵的状态为

2 3 5 6

D  0  1 1 1

6、由于现在的矩阵只剩下1行，且第2列为0，这意味着，当前解S={A,D}的并集中肯定不含元素2，

所以S={A,D}不是一个可行解，因此要回退到第2步的状态，然后从子集B开始求解

7、回退到步骤2将子集B加入到S中,S={B}

8、将所有和B有交集的行和列从矩阵中删除。即删除行A,B,C和列1,4，删除之后，矩阵M的新状态为

2  3 5 6  7

D  0  1 1 1  0

E 1   1  0 1 1

F  1  0  0  0 1

9、找出目前M中含1最少的列，显然这一步得到的列号为5.

10、和第5列有交集的行（即含元素5的子集）只有D。

11、将D加入到解集中，现在S={B,D}

12、删除所有和D相交的行和列，于是删除了列3,5,6和行D、E，现在矩阵的状态为

2  7

F  1  1

13、由于现在剩下的是全1行，因此把F加入到解集中，S={B,D,F}，现在，容易验证这是一个可行解，算法结束

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MAXR = 20;
const int MAXC = 310;
const int MAXN = MAXR * MAXC + MAXC;
const int INF = MAXR * 10;int n, m;
int L[MAXN], R[MAXN], U[MAXN], D[MAXN];
int C[MAXN], O[MAXN], S[MAXN], H[MAXR];
int nodeNumber;void init()
{for(int i=0;i<=m;++i){L[i] = i - 1;R[i] = i + 1;U[i] = i;D[i] = i;C[i] = i;O[i] = 0;S[i] = 0;}L[0] = m;R[m] = 0;nodeNumber = m + 1;memset(H, 0, sizeof(H));
}void insert(int i, int j)
{if(H[i])   //判断这一行中有没有节点
    {L[nodeNumber] = L[H[i]];    //如果有节点了，就添加一个节点，并把左指针指向第一个节点的未被更新的左指针,也就是新节点的左指针 R[nodeNumber] = H[i];       //右指针指向该行第一个节点 L[R[nodeNumber]] = nodeNumber;    //更新第一个节点的左指针 R[L[nodeNumber]] = nodeNumber;    //更新前一个节点的右指针
    }else{L[nodeNumber] = nodeNumber;    //如果没有节点就添加一个节点，并把左右指针指向自己 R[nodeNumber] = nodeNumber;H[i] = nodeNumber;             //标记为该行第一个节点
    }U[nodeNumber] = U[j];  //节点的上指针指向上面一个节点 D[nodeNumber] = j;     //节点的下指针指向对应的列表头 U[D[nodeNumber]] = nodeNumber;  //更新列表头的上指针指向当前节点 D[U[nodeNumber]] = nodeNumber;  //更新上一个节点的下指针指向当前节点
    C[nodeNumber] = j;  //记录列号 O[nodeNumber] = i;  //记录行号++ S[j];         //S当中记录着每列节点的个数 ++ nodeNumber;   //新建一个节点
}void remove(int c)
{L[R[c]] = L[c];  //右节点的左指针指向原节点的左节点 R[L[c]] = R[c];  //左节点的右指针指向原节点的右节点 for(int i=D[c];i!=c;i=D[i])     //从该列往下第一个节点开始往下遍历
    {for(int j=R[i];j!=i;j=R[j]) //从当前行的第二个节点往右遍历，因为列已经被删除，所以第一个节点不用管
        {U[D[j]] = U[j];   //把前面删除的列上符合要求的行也删除 D[U[j]] = D[j];-- S[C[j]];       //把相应列上对应的节点数也减少1个
        }}
}void resume(int c)
{for(int i=U[c];i!=c;i=U[i])  //从该列最后一个节点往上遍历，不遍历列表头节点
    {for(int j=L[i];j!=i;j=L[j]) //从该行最后一个节点往左遍历，不遍历第一个节点
        {++ S[C[j]];    //列上面恢复一个节点，节点数也+1 D[U[j]] = j;   //恢复行 U[D[j]] = j;}}R[L[c]] = c;  //最后恢复列 L[R[c]] = c;
}bool dfs(int k)
{if(!R[0])  //如果列表头上第一个节点的右指针为0，即所有列都被删除，则搜索完成
    {return true;}//因为要输出最优秀（最少的行）的答案，每次都要优先搜索列节点最少的列 int count = INF, c;for(int i=R[0];i;i=R[i])  //从第一个列开始，直到右指针指向列头，即逐列遍历
    {if(S[i] < count)   //找到节点最少的列
        {count = S[i];  //count里面放最少的节点数 c = i;         //把该列做标记 ，选择了该列if(1 == count) //该列节点，为最少允许的情况直接算是找到了，跳出
            {break;}}}remove(c);    //先将这一列中有1的格子所在的行全部删除for(int i=D[c];i!=c;i=D[i])  //对这一列上有1的每一行进行枚举
    {for(int j=R[i];j!=i;j=R[j]) //枚举到第i行时，将改行上所有有1的列j全部删除
        {remove(C[j]);  //如果行上有符合要求的列，删了。因为精确覆盖不能重复，不能选它们了
        }if(dfs(k+1)) //递归层数+1，深度搜索
        {return true;}for(int j=L[i];j!=i;j=L[j]) //从该行最后一个节点往左遍历，第一个节点不遍历
        {resume(C[j]);  //恢复之前删除的*行*
        }}resume(c); //递归跳出，恢复之前删除的列 return false;
}int main()
{int t;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){init();/*printf("L\tR\tU\tD\tC\tO\n");for(int i=0;i<=m;i++){printf("%d\t",L[i]);printf("%d\t",R[i]);printf("%d\t",U[i]);printf("%d\t",D[i]);printf("%d\t",C[i]);printf("%d\t\n",O[i]);}      */for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=m;++j){scanf("%d", &t);if(t){insert(i, j);   //建立抽象十字链表
                }}}bool flag = true;for(int i=1;i<=m;++i){if(S[i] == 0)  //如果有一列没有一个节点，直接失败
            {flag = false;break;}}if(flag && dfs(0))    //进入深度搜索
        {printf("Yes, I found it\n");}else{printf("It is impossible\n");}}return 0;
}
/*
6 7
0 0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1
*/