中虚数怎么表示_虚数是负数的平方根,为什么在三次方程中才出现的呢?|高中篇3...
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弘毅:虚数是负数的平方根,为什么在三次方程中才出现的呢?
我:这是一个很有深度的问题,跟数学史有一定关系。
我们先来说下为啥在解二次方程时,很难让我们对虚数产生念头。
0. 在解二次方程时对虚数的忽视
回顾我们的二次方程:
就是通过配方将问题转为一个简单二次方程和一个一般一次方程:
即我们的:
这就是我们要凑出一个完全平方的目的,因为这样可以将问题转化为已知的问题。
但是在实数范围内,我们找不到一个数的平方是负数的情况。
因此当
方程无解,然后就不会去想太多了。
1. 虚数在三次方程求解中的关键作用
(实系数)三次方程的一般形式如下:
其实在三次方程的求解过程中,也是通过将问题转化为
一个简单三次方程和一个一般二次方程:
来求解的。
我们简单回顾下文艺复兴时期卡尔达诺在其著作《大术》(Arsmagna)中发表的内容,加上一点点复数的基本知识,这样就很容易理解整个思路框架,不至于迷失在繁杂的计算中而忘了自己的目标。
卡尔达诺是在与尼科洛.塔尔塔利亚的通信中,从一首尼科洛的藏头诗中学会的。
两人恩怨极深!
Step1-归结为缺二次项的三次方程
首先方程两边同时除以首次项系数,便得到:
令
Step2-归结为解二次方程
这一步就比较巧妙了。
通过多元来降低次数。
令
展开上述左边,化为如下:
观察上述式子,我们想,要是
因为此时我们将
于是我们联想起二次方程的根与系数关系,很快就看到希望的曙光了。
将上述想法实现,便有如下式子。
由于
令
于是得到二次方程的解,
由于v由
令
这也是为什么在文艺复兴时期,尼科洛只能解系数p大于0的情况。
但是当delta小于0时,由于u没有实数解,我们容易臆想原三次方程没有实数解。
这是错误的。
Step3-归结为解三次方程
为了解释清楚delta小于0的情况,我们不得不采用复数的指数形式。
这样做还有另外一个好处,就是对于上述不管delta是否小于0的所有情况,我们都能找到统一的答案。
对任何一个非0复数,我们都能找到统一的唯一表达:三角形式或者说指数形式
上式中的r,theta分别称为复数z的模长和幅角。
由于u,v的对称性,于是我们将关于u的三次方的二次方程重新写成如下形式:
于是u的三个根分别为
由于v由
1). delta小于0时
在二次方程
的
我们可以很容易的计算得到
此时,方程的三个根都有统一的表达式:
因此当delta小于0时,原三次方程不是没有实数根,反而是有三个不同的实数根,因为上述括号里面的两个复数是共轭的,共轭复数相加就成了实数。
正是在这个三次方程的求解过程中,发现虚数对其实数根的帮助之大,而且还很关键。
这才真正重视这件事情。
也就是说,不考虑虚数,我们的二次方程的实数根不会受影响,该是几个就是几个,该是什么值就是什么值。
但是在一个有三个不同实数根的三次方程中,如果不考虑虚数,
你极有可能一个实数根都找不到,而考虑虚数你却能找到全部实数根。
不要说有三个实根的情况了,就算只有一个实根的时候,一般情况下你也很难找出这个实根。
比如直接从方程
出发,你是很难通过运气来凑出其实数解的。因为
就是其唯一的实数解,这显然是无理数。即便是今天,多项式方程手工能凑出来的解依然只有有理数解。
事实上,它的另外两个根是虚数.
这点就可以看出复数的威力了:
即使是为实数服务,有了复数也能让事情更加高效,圆满!
更加详细的有关解三次方程的知识和历史,
详见专栏文章:
温欣提市:解方程系列1|如何解三次方程?zhuanlan.zhihu.com
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