算法（5）动态规划法

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题，在这类问题中，可能会有许多可行解，每一个可行解都对应一个值，我们希望找到具有最优值的解。

1 基本思想

动态规划算法的实质是分治思想和解决冗余，因此它与分治法和贪心法类似，它们都是将待求解问题分解为更小的、相同的子问题，然后对子问题进行求解，最终产生一个整体最优解。

贪心法的当前选择可能要依赖于已经做出的选择，但不依赖于还未做出的选择和子问题，因此它的特征是自顶向下，一步一步地做出贪心选择，但如果当前选择可能要依赖子问题的解时，则难以通过局部的贪心策略达到整体最优解。

分治法中的各个子问题是独立的（即不包含公共的子问题），因此一旦递归地求出各子问题的解后，便可自下而上地将子问题的解合并成原问题的解。但如果各个子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，即重复地解公共的子问题，对时间的消耗太大。

适合采用动态规划法求解的问题，经分解得到的各个子问题往往不是相互独立的。在求解过程中，将已解决的子问题的解进行保存，在需要时可以轻松找出。这样就避免了大量的无意义的重复计算，从而降低算法的时间复杂性。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

与贪心法的异同：

相同：都是用于求解最优化问题；都采用分步决策，计算出每一步的最优解。
不同：贪心法的每一步决策依赖于最优量度标准，不依赖于子问题的解和尚未作出的选择；动态规划法每一步决策依赖于子问题的解，无需最优量度标准。

与分治法的异同：

相同：都将问题话分成若干个规模较小的同类型子问题。
不同：分治法会有重叠子问题的现象，对于一些子问题会重复计算，而动态规划法能避免重叠子问题现象。

设n=4，则F(4)的求解过程可表示为一棵二叉树，如图所示。同种阴影表示相同的子问题，即说明F(4)划分的两个子问题F(3)和F(2)不是相互独立的。若采用自顶向下的递归求解， F(2)子问题重复计算。如果n=5，则F(3)和F(2)两个子问题会重复计算。以此类推，n越大，重复计算现象越严重，影响求解效率。

动态规划在求解过程中采用一维数组a存放各个子问题的解。首先，将F(0)和F(1)的解存于a[0]、a[1]中，然后在求解F(2)时，由于F(2)=F(1)+F(0)，因此只需直接从数组a中取出F(1)和F(0)的值计算即可，并将F(2)的值存人a[2]中；接下来求解F(3)时，只需从数组a中取出F(2)和F(1)的值直接对F(3)进行求解，并将求得的值存人a[3]中；最后，在求解F(4)时，从数组a中取出F(3)和F(2)的值直接对F(4)进行求解，并将求得的值存入α[4]中。

由此可见，动态规划的关键在于解决冗余，将原来具有指数级复杂性的搜索算法改进成具有多项式时间的算法，这是动态规划算法的根本目的。其实，动态规划是对贪心算法和分治法的一种折中，它所解决的问题往往不具有可爱的贪心实质，但是各个子问题又不是完全零散的。在实现的过程中，动态规划方法需要存储各种状态，所以它的空间复杂性要大于其他的算法，这是一种以空间换取时间的技术。

注：参考书本《算法设计与分析》（由王秋芬、吕聪颖、周春光编著）

算法（5）动态规划法相关推荐

五大经常使用算法之动态规划法
一.基本概念动态规划过程是:每次决策依赖于当前状态.又随即引起状态的转移. 一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,所以,这样的多阶段最优化决策解决这个问题的过程就称为动态规划. 动态规划是运筹学 ...
【算法】动态规划法——最长公共子序列（LCS）
前言这篇是大三算法分析与设计课程的第一篇博客,写他是因为上课学到了,并且也算是留作记忆,以后学习时方便使用. 这篇博客主要想讲讲动态规划法,然后以LCS问题为例展开来说一下怎么利用动态规划法求解它, ...
算法设计与分析—— 动态规划法
原博客地址: https://www.cnblogs.com/brucemengbm/p/6875340.html 五大经常使用算法之动态规划法一.基本概念动态规划过程是:每次决策依赖于当前状 ...
算法导论之动态规划(最长公共子序列和最优二叉查找树)
动态规划师通过组合子问题的解而解决整个问题,将问题划分成子问题,递归地求解各子问题,然后合并子问题的解而得到原问题的解.和分治算法思想一致,不同的是分治算法适合独立的子问题,而对于非独立的子问题,即各 ...
python距离向量路由算法_python算法练习——动态规划与字符串的编辑距离
动态规划与字符串的编辑距离动态规划动态规划(dynamic programming)是解决多阶段决策问题常用的最优化理论,该理论由美国数学家Bellman等人在1957年提出,用于研究多阶段决策过 ...
【0-1背包】二进制灰狼算法解决0-1背包问题【Matlab】
提示:文章写完后,目录可以自动生成,如何生成可参考右边的帮助文档文章目录一.0-1背包问题 1.问题描述 2.数学模型二 .二进制灰狼算法 1.引言 2.算法改进 3.数学模型 4.算法流程三 ...
动态规划 --- 算法思想介绍
一.动态规划的基本概念动态规划在五种算法设计方法中难度最大,它建立在最优原则的基础上.采用动态规划方法,可以高效地解决许多用贪婪算法或分治法无法解决的问题.动态规划(dynamic programm ...
蚁群算法（ACO）学习笔记
蚁群算法笔记最近阅读论文,提到几种常见的搜索算法,于是对比学习一下.本文转载数据之巅大神文章对蚁群算法进行简单介绍,并用C++语言编码实现蚁群算法来解决旅行商(TSP)问题. 1 蚁群算法基本原理 ...
【路径规划】基于蚁群算法实现多式联运路径规划问题matlab源码
2.蚁群算法基本原理 2.1 算法综述对于VRP问题,求解算法大致可分为精确算法和人工智能算法两大类.精确性算法基于严格的数学手段,在可以求解的情况下,解的质量较好.但是由于算法严格,运算量大,特别 ...
浅谈动态规划，贪婪，回溯算法联系
那么看到这三种算法,你应该有所出现: 贪心法是动态规划法的特例,如0-1背包,最小代价生成树(prim算法和cruskal算法),huffman算法,以及地杰斯特拉算法. 动态规划法是一种方法,注意和 ...

算法（5）动态规划法

1 基本思想

算法（5）动态规划法相关推荐

最新文章

热门文章