VISUAL GROUP THEORY

一、群是什么

群不是关于数字的，而是关于模式的。群论研究的是关于旋转模式的对称。

群的法则：

存在一个预先定义的、不会改变的作用列表。
每个作用都是可逆的。
每个作用都是确定性的。
任何连续作用的序列仍是一个作用。

二、群看起来像什么

群的操作是群的生成元。

凯莱图（状态为节点，生成元为边）：群的可视化工具。通过凯莱图，可以看出抽象群的结构。

Group Explorer

三、为什么学习群

任何群都可以看作是由一些事物重新排列的方式组成的。群之所以和对称有关，是由于一个物体的对称可以描述为其组成部分的重新排列。

一维重复模式：饰带模式。任何饰带模式的对称都可以由七个不同的无限群中的一个来描述。

群论的起源：多项式的解之间彼此存在着某种联系。这些联系构成一个群。

群的应用：

群论和线性代数描述空间变换。
群论和拓扑学对空间与形状进行分类。
子集和陪集用来设计纠错码，用来减少信息传递过程中的错误。

四、群的代数定义

作用的乘法表：揭示了作用在群中组合的模式。

群的非标准定义	群的标准定义
作用	元素
两个作用组合成一个新作用	二元运算

群的经典定义：

群的经典定义	群的非标准定义
有一个二元运算	作用的组合
运算满足结合律	作用的组合允许加括号，括号既不是必须的，也不会改变运算的意义
存在单位元	无作用
存在逆元	逆作用

对于代数群来说，作用既不是数字也不是运算，而是数字加运算。例如：+2，x3，其中 +0 和 x1 为单位元。

五、五个群族

循环群：Cn，仅有旋转对称

轨道：从单位元出发，沿着某个作用的轨迹进行状态转换。对于循环群来说，所有的轨道都是圈。

阿贝尔群：An，作用的先后顺序是可以调换的，所有的循环群都是阿贝尔群
二面体群：Dn，同时具有旋转对称和轴对称

二面体群包含旋转，旋转将凯莱图分成内环和外环，各为一个循环群。

置换：对一系列物体进行重新洗牌

对称群：Sn，表示由 n 个物体的所有置换组成的群
交错群：An，选取 Sn 中的一半置换，即可构成一个群

凯莱定理：每个群都同构与一个置换群。（对一个群的乘法表的每一列构造一个置换，然后观察这些置换作用在群的单位元上的结果。就会发现两个群是同构的）

六、子群

子群：一个群完全包含在另一个群众（凯莱图上的包含）

陪集：和子群类似，但不包含单位元的群副本，不构成子群，构成陪集

所有的陪集构成了群的一个分划。

左陪集：如果从元素a开始沿着生成元H进行勘察，形成 aH

右陪集：作用的顺序相反，形成 Ha

因为在凯莱图中，作用箭头表示右乘，所以左陪集的元素是集中的，右陪集的元素是分散的

正规子群：如果左陪集和右陪集相同。

拉格朗日定理：由于子群及其陪集构成了群的一个分划，所以子群的阶必整除群的阶，即不整除的阶肯定不构成子群

七、积与商

直积：将一个群的元素用另一个群来替代，即为两个群的直积，直积都是可交换的

在直积群中，其因子群为正规子群

直积用简单的过程展示了如何由小群构造大群

直积群的乘法表表现为因子群的乘法表矩阵的直积

直积群的乘法表具有独立性：即一个作用完全可以拆分成两个因子群中的作用（正规子群或许和正交有关系）

半直积：将一个群的元素用另一个群的重布线来替代（重布线即改变作用箭头的方向，但是节点不变）

商群：将群的每个陪集看成一个结点，如果得到的新凯莱图是一个群，那么就为正规子群的商群，否则不能整除

只有商运算成功时，子群才是正规的

正规化子：衡量一个子群的正规程度，大群去掉多少个元素后，才能拥有正规子群。

共轭：对正规子群，gH = Hg，即 gHg^-1 = H，即 g 和 h 共轭

每个正规子群都是由若干个共轭类组成的，我们可以通过合并共轭类来寻找正规子群。

八、同态的力量

子群和商群中，都会遇见同态的概念

群中的每个元素和作用，映射到一个新的元素和作用，映射到的群即为陪域，映射到的元素即为像（Img），这样的一个函数映射就是同态。

同态把定义域中的结点映射到陪域中的结点，把定义域中的路径映射到陪域中的路径

上述同态在乘法表中的表示是一个群的乘法表嵌入到另一个群的乘法表中

如果一个嵌入的像是整个陪域，就是同态，即两个群具有完全相同的结果

商映射：把多个定义域元素映射到同一个陪域元素，即非嵌入的同态称为商映射

核（Ker）：定义域到陪域的元素映射，对于商映射为多个元素，嵌入只有单位元

同态包含两种类型：嵌入和商映射。

同态基本定理：若 G 和 H 关于函数 φ 同态，则 Img（φ）和 G/Ker（φ）是同构的，

整数无限循环群可以看做只有一个生成元，那就是 1

循环群 Cn X Cm（直积）和 Cnm 同构当且仅当 n，m 互素

阿贝尔群基本定理：每个有限阿贝尔群都同构于循环群的直积。其表现就是，阿贝尔群的凯莱图是网格状的，有一维网格，二维网格，三维网格等，这些网格即为循环群子群，同时揭示了阿贝尔群的直积结构

每个群的重布线都是到自身的同构，所以半直积是将一个群的元素用另一个群的自同构群来替代

九、西罗定理

每个群都同构于置换群的一个子群。每个群都能嵌入到某个 Sn。

十、伽罗瓦理论

算数方程：只用到算数运算、有理数和一个表示未知量的变量。

算数方程都能化简成一边是多项式另一边是零的形式。

如果 r 是多项式的根，那么 r 的共轭也是多项式的根。

通过证明某个群的共轭类，以说明它没有正规子群，得到一个不可解群。如果一个五次多项式，其根的伽罗群包含这个不可解群，那么这个多项式就是无解的。**e.g. x^5+10·x4-2

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