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MATLAB符号计算

• 1 符号计算基础

  • 1.1符号运算

  • 1.2 符号对象

  • 1.3 符号表达式中变量的确定

• 2 符号导数及其应用

  • 2.1函数的极限

  • 2.2 符号函数求导及其应用

• 3 符号积分

• 4 级数符号求和

  • 4.1 级数的符号求和

  • 4.2 函数的泰勒级数

• 5 代数方程的符号求解

• 6 常微分方程(组)符号求解

• 往期精彩阅读

1 符号计算基础

1.1符号运算

• 与数值运算的区别
  • 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。
  • 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。
• 特点
  • 运算对象可以是没赋值的符号变量
  • 可以获得任意精度的解

1.2 符号对象

• 建立符号变量和符号常数
  • sym函数
    sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(‘a’)建立符号变量a，此后用户可在表达式中使用变量a进行各种运算。
  • syms函数
    syms函数调用格式为：syms  var1 var2 … varn 变量间用空格而不要用逗号分隔

例1 考察符号变量和数值变量的差别

a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');   %定义4个符号变量 w=10; x=5; y=-8; z=11;                      %定义4个数值变量 A=[a, b; c, d]                              %建立符号矩阵A B=[w, x; y, z]                             %建立数值矩阵B det(A)                                   %计算符号矩阵A的行列式 det(B)                                   %计算数值矩阵B的行列式a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');  %定义4个符号变量w=10; x=5; y=-8; z=11;                     %定义4个数值变量A=[a, b; c, d]                            %建立符号矩阵AB=[w, x; y, z]                           %建立数值矩阵Bdet(A)                                  %计算符号矩阵A的行列式det(B)                                  %计算数值矩阵B的行列式

例2 比较符号常数与数值在代数运算时的差别

pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3');    % 定义符号变量pi2=pi; r1=8; r2=2; r3=3;                         % 定义数值变量sin(pi1/3)                                    % 计算符号表达式值  sin(pi2/3)                                     % 计算数值表达式值sqrt(k1)                                        % 计算符号表达式值sqrt(r1)                                       % 计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2))                         % 计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2))                         % 计算数值表达式值

• 建立符号表达式
  • sym函数
  • syms函数
  • 利用单引号建立符号表达式

例3 利用3种方法建立符号表达式

U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6') %定义符号表达式Usyms x y;                                       %建立符号变量x、yV=3*x^2+5*y+2*x*y+6             %定义符号表达式V2*U-V+6                                       %求符号表达式的值W='3*x^2+5*y+2*x*y+6'           %定义符号表达式W

例4 建立x, y的一般二元函数

f = sym('f(x,y)');   f = ‘f(x,y)’;

• 基本的符号运算
  • 基本四则运算

例5 符号表达式的四则运算示例

syms x y z;    f=2*x+x^2*x-5*x+x^3   %符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x)                      %符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)                   %符号表达式的结果不是x^2-y^2，而是(x+y)*(x-y)

• 基本的符号运算
  • 因式分解与展开

1. factor(S)  对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵;

1. expand(S)  对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵;

1. collect(S)  对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵;

1. collect(S, v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。

例6  对符号矩阵A的每个元素分解因式

syms a b x y;A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];factor(A)              %对A的每个元素分解因式

例7  计算表达式S的值

syms x y;s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);expand(s)      %对s展开collect(s,x)     %对s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans)     % 对ans分解因式

• 基本的符号运算

  simplify(S)  应用函数规则对S进行化简

  • 表达式简化

例8 表达式化简举例

syms x y;s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;simplify(s)simple(s)      %MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果

• 符号运算

transpose(S)       返回S矩阵的转置矩阵

determ(S)           返回S矩阵的行列式值

colspace(S)        返回S矩阵列空间的基

[Q, D]=eigensys(S)     Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值

1.3 符号表达式中变量的确定

findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为：

findsym(S,n)

函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符'x'最近原则确定缺省变量。

2 符号导数及其应用

2.1函数的极限

limit函数的调用格式为：

limit(f,x,a)

limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：

limit(f,x,a,'right') 或 limit(f,x,a,'left')

例9

syms a m x; f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);limit(f, x, a)                   %求极限(1)f=(sin(a + x)-sin(a - x))/x;limit(f)                         %求极限(2)limit(f, inf)                   %求f函数在x→∞(包括+∞和-∞)处的极限limit(f, x, inf, 'left')      %求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a);limit(f, x, a, 'right')                 %求极限(4)

2.2 符号函数求导及其应用

求导函数为：

diff(f, x, n)

diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1;

例10 求函数的导数

syms a b t x y z;    f=sqrt(1+exp(x));diff(f)                  %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2)               %求(2)。求f对x的二阶导数diff(f,x,3)               %求(2)。求f对x的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)           %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数f=x*exp(y)/y^2;diff(f,x)                 %求(4)。z对x的偏导数diff(f,y)                 %求(4)。z对y的偏导数f=x^2+y^2+z^2-a^2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)      %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)      %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数

例11 在曲线 上哪一点的切线与直线 平行。

x=sym('x');   y=x^3+3*x-2;         %定义曲线函数f=diff(y);                %对曲线求导数g=f-4;solve(g)                 %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4

3 符号积分

求不定积分和定积分的函数是int，其调用格式为

int(f)       求f对默认自变量的不定积分；

int(f, x)           求f对自变量t的不定积分；

int(f, a, b)       求f对默认自变量的定积分，积分区间为[a,b]；

int(f, x, a, b)   求f对自变量x的定积分，积分区间为[a,b]

参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同

例12 求不定积分

x=sym('x');f=(3-x^2)^3;int(f)                       %求不定积分(1)f=sqrt(x^3+x^4);int(f)                        %求不定积分(2)g=simple(ans)         %调用simple函数对结果化简

例13 求定积分

x=sym(‘x’);t=sym(‘t’); nt(abs(1-x),1,2) %求定积分f=1/(1+x^2);  int(f, -inf, inf)    %求定积分int(4*t*x,x,2,sin(t))                %求定积分f=x^3/(x-1)^100;I=int(f, 2, 3)          %用符号积分的方法求定积分double(I)               %将上述符号结果转换为数值

例14 轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是 千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。

%(1)符号积分syms x;  f=6+0.3*x;   m=int(f,0,10)

%(2)数值积分%先建立一个函数文件fx.m：function fx=fx(x)fx=6+0.3*x;%输入命令：m=quad('fx',0,10,1e-6)

4 级数符号求和

4.1 级数的符号求和

级数符号求和函数symsum，调用格式为：

symsum(a,n,n0,nn)

例15 求级数之和

n=sym('n');s1=symsum(1/n^2,n,1,inf)        s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf)%未指定求和变量，缺省为ns3=symsum(n*x^n,n,1,inf)   %此处的求和变量n不能省略。s4=symsum(n^2,1,100)              %计算有限级数的和

4.2 函数的泰勒级数

函数taylor调用格式为：

taylor(f, v, n, a)

例16 求函数在指定点的泰勒展开式。

x=sym('x');f1=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);f2=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3);taylor(f1,x,5)                %展开到x的4次幂时应选择n=5taylor(f2,6)        

5 代数方程的符号求解

线性代数方程组求解函数linsolve，其调用格式：

linsolve(A,b)

一般代数方程(组)求解函数是solve，其调用格式：

solve(f)                  —— 求一个方程的解

solve(f1,f2, …fn)    —— 求n个方程的解

solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN')

例17 求线性方程组AX=b的解

%解方程组(1)的命令如下：A=[34, 8, 4; 3, 34, 3; 3, 6, 8]; b=[4; 6; 2];X=linsolve(A,b)   

%调用linsolve函数求(1)的解A\b          %用另一种方法求(1)的解

%解方程组(2)的命令如下：syms a11 a12 a13 a21 syms a22 a23 a31 a32 syms a33 b1 b2 b3;A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]; b=[b1;b2;b3];X=linsolve(A,b)                %调用linsolve函数求(2)的解

XX=A\b                              %用左除运算求(2)的解

6 常微分方程(组)符号求解

常微分方程符号求解函数dsolve，其调用格式为：

dsolve('eqn1','condition','var')

求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解，若没有给出初值条件，求方程的通解

dsolve('eqn1','eqn2',…,'eqnN','condition1',…,'conditionN','var1',…,'varN')

求解微分方程组eqn1、…、eqnN在初值条件conditoion1、…、conditionN下的解，若没有给出初值条件，求方程组的通解

或 y的一阶导数——Dy

或 y的二阶导数——D2y

或 y的n阶导数——Dny

例18 求下列方程的解

y=dsolve('D2y+2*Dy+2*y=0','y(0)=1','Dy(0)=0')ezplot(y) % 方程解y(t)的时间曲线图

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