convexity and concavity（凸面和凹面）

2024-04-24 10:35:23

1，convex function and concave function

凸面函数是指仅有一个极值，且极值为极小值的函数，像可以装水的桶；
凹面函数正好相反，像小山峰一样。

由定义知，凸面函数导数为0的点就是函数的最小值点。对于有多个极值的函数，可以定义它在某个区间内为凸面函数或凹面函数。

2，convex set

假设A⊂R，∀x,y∈A和λ∈[0,1],点λx+(1−λ)y也在A中，则A为凸面集。假设A\subset R，\forall x,y \in A和 \lambda \in [0,1], 点\lambda x+(1-\lambda)y也在A中，则A为凸面集。假设A⊂R，∀x,y∈A和λ∈[0,1],点λx+(1−λ)y也在A中，则A为凸面集。

In general, all open and closed intervals of the real line are convex.

3，Multidimensional Convexity

多维空间的凸面的定义方法和凸面集一样，只不过将实数集R换成了D维的欧式空间RDR^DRD，A换成了D维的向量集，定义如下：
假设A⊂RD，∀x⃗,y⃗∈A和λ∈[0,1],点λx⃗+(1−λ)y⃗也在A中，则A为多维空间的凸面。假设A\subset R^D，\forall \vec{x},\vec{y} \in A和 \lambda \in [0,1], 点\lambda \vec{x}+(1-\lambda)\vec{y}也在A中，则A为多维空间的凸面。假设A⊂RD，∀x,y∈A和λ∈[0,1],点λx+(1−λ)y也在A中，则A为多维空间的凸面。

凸面集像球，非凸面集像马铃薯（或者其它一些凹凸不平的东西）。

仿射函数

仿射函数即由 1 阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量，b 是一个 m 向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。
设 f 是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中 Ai可以是标量，也可以是矩阵，则称 f 是仿射函数。其中的特例是，标性（值）函数 f(x)=ax+b ，其中 a、x、b 都是标量。此时严格讲，只有 b=0 时，仿射函数才可以叫“线性函数”（“正比例”关系）。

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