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10 OAPS Working Paper Series Paper No. 2013-012
Website: http://www.oaps.hk/
醉汉随机行走问题的统计学模型
作者 (詹其秦)
指导老师(袁晓忠高景)
学院(机械与动力工程学院)
School (School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University)
摘要
物理学发展历史上，布朗运动是分子运动论的重要证明，反映了分子无规则的热运动；麦克斯
韦运用统计原理得到了平衡态气体无规则热运动的规律，奠定了统计力学的基础；而本文提出的醉
汉随机行走模型，旨在运用统计思想简化对布朗运动的研究。本文解决了醉汉随机行走模型的分布
律问题，并且通过 MATLAB 进行醉汉随机行走问题的仿真实验，成功地研究了醉汉随机行走问题
的运动规律，进而推知了花粉的扩散现象。
关键词：位移分布函数，位移值分布函数，位移平方平均值
1 引言
在布朗运动中，由于水分子运动的无规则性，花粉在与水分子碰撞过程中受到涨
1
落不定的净作用力而不停地进行无规则运动，其运动有以下两个特点：○花粉之间的
2
影响很小；○花粉以非常高的频率改变着它的运动方向[1]。实际上，花粉的轨迹由大
量无规则可循的折线组成，它是一种具有自相似性的无规分形曲线，但这种自相似性
具有统计性质。建立在这个基础上，我们提出醉汉随机行走问题的统计学模型以简化
布朗运动的研究。
在醉汉随机行走问题的统计学模型中，设想有N 位醉汉 (N 足够大)喝醉酒之后从
1
原点步行出发，对任一醉汉其行走过程满足假设：○彼此行走互相独立，不会遇到障
2 3
碍物；○行走的速率始终相同；○每一步行走方向与 轴正向的夹角在 之间均匀
x (0, 2π)
4
分布；○每一步行走的路程在一个确定的区间(0, a) 内服从均匀分布(醉汉每一步行走的
3 4
路程不超过 )。醉汉随机行走也具有自相似性，其中假设○○正反映了醉汉行走的随
a
机性与无序性。花粉轨迹具有自相似性是从不同空间尺度下观察的结果，现设定可观
察到花粉运动轨迹的最小空间尺度为醉汉随机行走模型中醉汉所有所行步数中路程的
最小值。在最小空间尺度下观察到花粉运动方向改变一次，就认为花粉运动状态改变
了一次，对于小于最小空间尺度状态的改变认为无法观测花粉运动状态的改变。
醉汉随机行走模型与花粉的布朗运动具有相通之处，醉汉随机行走模型中的醉汉
人数对应了布朗运动中花粉数量。显然经过一段时间行走，二者都会在平面上显示出
一定的分布图像。尽管醉汉每一步行走的路程是随机的，但在后文将证明在统计规律
下经过一段相同的时间后，每一位醉汉行走的步数是相同的。即在一定的空间尺度下
上海交通大学 SJTU 1
詹其秦 机械与动力工程学院
可以认为，不同花粉在一段相同时间之内改变的运动状态次数相同，因此醉汉行走步
数对应了花粉扩散时间。
醉汉随机行走模型的求解与麦克斯韦解决平衡态气体分布律的方法是类似的。
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