关系数据库之关系代数

文章目录

1 传统的关系运算
- 1.1 并 union
- 1.2 交 intersection
- 1.3 差 except
- 1.4 笛卡尔积 cartesian product
- 1.5 传统关系运算举例
2 专用的关系运算
- 2.1 选择 selection
- 2.2 投影 projection
- 2.3 连接 join
- 2.4 除 division
- 2.5 专用关系运算举例

关系数据库的关系代数运算符有8种，分为两大类，如下表所示：

分类	运算符	含义
传统关系运算符	∪∪∪	并
	−−−	差
	∩∩∩	交
	×××	笛卡尔积
专用关系运算符	σ	选择
	∏	投影
	⋈	连接
	÷	除

1 传统的关系运算

传统的集合运算是二元运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。设有两关系R、S。

1.1 并 union

关系R与关系S的并记作：R∪S={t∣t∈R∨t∈S}R\cup S=\{t\ |\ t\in R \lor t\in S\}R∪S={t ∣ t∈R∨t∈S}即合并R和S所有元组

1.2 交 intersection

关系R与关系S的交记作：R∩S={t∣t∈R∧t∈S}R\cap S=\{t\ |\ t\in R \land t\in S\}R∩S={t ∣ t∈R∧t∈S}关系的交也可用差来表示：R∩S=R−(R−S)R\cap S=R-(R-S)R∩S=R−(R−S)即取出R与S中共有的元组

1.3 差 except

关系R与关系S的差记作：R−S={t∣t∈R∧t∉S}R- S=\{t\ |\ t\in R \land t\notin S\}R−S={t ∣ t∈R∧t∈/S}即去掉R中属于S的元素

1.4 笛卡尔积 cartesian product

关系R与关系S的并记作：R×S={tRtS⌢∣tR∈R∧tS∈S}R\times S=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S}\ |\ t_R\in R \land t_S\in S\}R×S={tRtS⌢ ∣ tR∈R∧tS∈S}这里的笛卡尔积指的是广义笛卡尔积，对元组进行笛卡尔积有点类似于小学数学课上学过的握手游戏。

对于R×SR\times SR×S来说，表示每个R中的元组都要与S中的元组连接一次

1.5 传统关系运算举例

设RRR:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	10
蓝	B	5

SSS:

color	pattern	size
红	B	10
红	C	10
蓝	B	5

则有：

RRR与SSS的并R∪SR\cup SR∪S:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	10
蓝	B	5
红	C	10

RRR与SSS的交R∩SR\cap SR∩S:

color	pattern	size
红	B	10
蓝	B	5

RRR与SSS的差R−SR- SR−S:

color	pattern	size
红	A	5

RRR与SSS的笛卡尔积R×SR\times SR×S：

R.color	R.pattern	R.size	S.color	S.pattern	S.size
红	A	5	红	B	10
红	A	5	红	C	10
红	A	5	蓝	B	5
红	B	10	红	B	10
红	B	10	红	C	10
红	B	10	蓝	B	5
蓝	B	5	红	B	10
蓝	B	5	红	C	10
蓝	B	5	蓝	B	5

2 专用的关系运算

专用的关系运算符包括选择、投影、连接、除运算

在具体介绍运算符之前为了方便表达，先引入几个符号：

RRR：关系。R={r1,r2,...,rn}R=\{r_1,r_2,...,r_n\}R={r1,r2,...,rn}，其中rir_iri表示RRR中的列。类似的，SSS等符号也代表一个关系
ttt：元组。ttt代表RRR的某一行，称ttt为元组。
t[ri]t[r_i]t[ri]：分量。t[ri]t[r_i]t[ri]表示ttt行中rir_iri列的值，称t[ri]t[r_i]t[ri]为分量。
Zt[ri]Z_{t[r_i]}Zt[ri]：象集。Zt[ri]Z_{t[r_i]}Zt[ri]表示ttt行中除rir_iri列外其他列的值，称Zt[ri]Z_{t[r_i]}Zt[ri]为象集。
θ\thetaθ：比较运算符。比较运算符有6种，分别是===、>>>、≥\geq≥、<<<、≤\leq≤、<><><>

2.1 选择 selection

选择关系运算记作：σriθt[ri](R)={t∣t∈R∧riθt[ri]=true}\sigma_{r_i\theta t[r_i]}(R)=\{\ t\ |\ t\in R\land r_i\theta t[r_i]=true\}σriθt[ri](R)={ t ∣ t∈R∧riθt[ri]=true}即取出RRR表中rir_iri列的值与t[ri]t[r_i]t[ri]具有θ\thetaθ关系的行
例如：
σSage<20(Student)\sigma_{Sage<20}(Student)σSage<20(Student)表示取出StudentStudentStudent表中SageSageSage列值小于数值20的行
σSname=′李勇′(Student)\sigma_{Sname='李勇'}(Student)σSname=′李勇′(Student)表示取出StudentStudentStudent表中SnameSnameSname列值等于字符串李勇的行

2.2 投影 projection

投影关系运算记作：∏ri(R)={t[ri]∣t∈R}\prod\ _{r_i}(R)=\{t[r_i]\ |\ t\in R\}∏ ri(R)={t[ri] ∣ t∈R}即取出RRR表中的rir_iri列
例如：
∏Sage(Student)\prod\ _{Sage}(Student)∏ Sage(Student)表示从表StudentStudentStudent取出SageSageSage列形成新的关系
∏Sage,Sname(Student)\prod\ _{Sage,Sname}(Student)∏ Sage,Sname(Student)表示从表StudentStudentStudent取出SageSageSage和SnameSnameSname列形成新的关系

2.3 连接 join

连接关系运算记作：riθrjR⋈S={tRtS∣tR∈R∧tS∈R∧tR[ri]θtS[rj]⌢}\overset{R\Join S}{_{r_{i}\theta r_{j}}}=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S\ |t_R\in R \land t_S\in R\land t_R[r_i]\theta t_S[r_j]\ }\}riθrjR⋈S={tRtS ∣tR∈R∧tS∈R∧tR[ri]θtS[rj] ⌢}即选取RRR与SSS的笛卡尔积中tR[ri]t_R[r_i]tR[ri]与tS[rj]t_S[r_j]tS[rj]满足关系θ\thetaθ的行

连接有四种特殊形式：

非等值连接。就是指θ\thetaθ不为等号的连接，例如ri<rjR⋈S\overset{R\Join S}{_{r_{i}< r_{j}}}ri<rjR⋈S表示连接满足R.ri<S.rjR.r_i<S.r_jR.ri<S.rj关系的RRR与SSS中的元组
等值连接。就是指θ\thetaθ为等号的连接，例如ri=rjR⋈S\overset{R\Join S}{_{r_{i}=r_{j}}}ri=rjR⋈S表示连接满足R.ri=S.rjR.r_i=S.r_jR.ri=S.rj关系的RRR与SSS中的元组
自然连接。自然连接是一种特殊的等值连接，就是rir_iri与rjr_jrj的属性名一致且值相等的等值连接，并在连接结果中去掉重复列，而在一般的等值连接中只需要满足rir_iri与rjr_jrj的值相等即可，记作R⋈SR\Join SR⋈S。
外连接。外连接是一种特殊的自然连接，在自然连接的过程中，若连接后元组里的某个属性出现Null值就会舍去该元组，而外连接则会保留该元组。外连接分为三种：
1、外连接。保留两边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作R:⋈:SR:\Join: SR:⋈:S
2、左外连接。保留左边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作R:⋈SR:\Join SR:⋈S
3、右外连接。保留右边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作R⋈:SR\Join: SR⋈:S

2.4 除 division

除关系运算记作：R÷S={tR[ri]∣tR∈R∧∏rj(S)⊆rjtR[ri]}R\div S=\{\ t_R[r_i]\ |\ t_R\in R\land\prod\ _{r_j}(S)\subseteq r_{j\ t_R[r_i]}\ \}R÷S={ tR[ri] ∣ tR∈R∧∏ rj(S)⊆rj tR[ri] }即取出RRR中使R.rjR.r_jR.rj完全等于S.rjS.r_jS.rj的R.riR.r_iR.ri元组
例如：
∏Sname,Sage(R)÷∏SageS\prod\ _{Sname,Sage}(R)\div \prod\ _{Sage}S∏ Sname,Sage(R)÷∏ SageS表示取RRR投影中使R.SageR.SageR.Sage完全等于S.ageS.ageS.age的R.nameR.nameR.name元组，形成新的关系

2.5 专用关系运算举例

设RRR:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	6
蓝	C	8
蓝	D	12

SSS:

pattern	weight
A	3
B	7
C	10
C	2
E	2

RRR的选择，σcolor=′红′(R)\sigma_{color='红'}(R)σcolor=′红′(R)，取出RRR表中colorcolorcolor列值为字符串’红’的行形成新的关系：

color	pattern	size
红	A	5
红	B	6

RRR的投影，∏color,size(R)\prod\ _{color,size}(R)∏ color,size(R)，从表RRR取出color,sizecolor,sizecolor,size列形成新的关系:

color	size
红	5
红	6
蓝	8
蓝	12

RRR与SSS的连接

非等值连接，size<weightR⋈S\overset{R\Join S}{_{size< weight}}size<weightR⋈S，连接满足size<weightsize< weightsize<weight关系的RRR与SSS中的元组

color	R.pattern	size	S.pattern	weight
红	A	5	B	7
红	A	5	C	10
红	B	6	B	7
红	B	6	C	10
蓝	C	8	C	10

等值连接，R.pattern=S.patternR⋈S\overset{R\Join S}{_{R.pattern= S.pattern}}R.pattern=S.patternR⋈S，连接满足R.pattern=S.patternR.pattern= S.patternR.pattern=S.pattern关系的RRR与SSS中的元组

color	R.pattern	size	S.pattern	weight
红	A	5	A	3
红	B	6	B	7
蓝	C	8	C	10
蓝	C	8	C	2

自然连接，R⋈SR\Join SR⋈S，连接RRR与SSS中同名属性值相等的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2

外连接，R:⋈:SR:\Join: SR:⋈:S，保留两边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
蓝	D	12	null
null	E	null	2

左外连接，R:⋈SR:\Join SR:⋈S，保留左边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
蓝	D	12	null

右外连接，R⋈:SR\Join: SR⋈:S，保留右边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
null	E	null	2

RRR的除运算
设有除关系KKK

color	size
红	5
红	6

则R÷KR\div KR÷K表示取出RRR中使R.colorR.colorR.color完全等于S.colorS.colorS.color、R.sizeR.sizeR.size完全等于S.sizeS.sizeS.size的R.parttenR.parttenR.partten元组

partten
A