什么是导数

　　导数是高数中的重要概念，被应用于多种学科。

　　从物理意义上讲，导数就是求解变化率的问题；从几何意义上讲，导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。

　　我们熟知的速度公式：v = s/t，这求解的是平均速度，实际上往往需要知道瞬时速度：

　　当t趋近于t0，即t-t0趋近于0时，得到的就是顺时速度。设Δt=t-t0，s是t的函数s=f(t)，瞬时速度用数学表示就是：

　　从几何意义上讲，导数是函数在某一点处的切线的斜率：

　　直线a与曲线相切于点Q，直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率是k=(y-y0)/(x-x0)，当b以Q为轴心沿着曲线旋转时，铉长|PQ|趋近于0，即x→x0时，极限存在：

　　由上述两个问题可以看出，变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式：

　　令Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0)，上面的公式可以写成：

　　由此得出导数的概念，设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx，且x0+Δx仍在该邻域内时，y取得增量Δy；如果Δy与Δx之比在Δx→0时存在极限，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f’(x0) ：

　　也记作：

　　简写为：

1/x求导

　　根据导数公式，代入f(x) = 1/x

　　这就OK了，所以说导数很简单，因为它仅有一个公式。但没完，因为上式没有任何意义，仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式，对于所有求导，当Δx→0时，分母都为0，所以必须将导数进一步简化。

　　 “求f(x)的导数”或“对f(x)求导”有两种解释，一种是求f(x)的导函数，此时的结果是一个函数；另一种是求f(x)在定义域某一点的导数，此时的结果是将该点的值代入导函数，最终得到一个具体的数值。究竟是哪种解释需要根据上下文判断，通常都很直白，不必太过纠结。

求切线所在三角形的面积

　　直线MN是曲线1/x的切线，切点是(x0,y0)，求S△MON

　　S△MON = 1/2(OM × ON)，已知条件是切点(x0,y0)，需要求解的未知条件是OM和ON。

　　直线MN的函数是y=kx+b，1/x在（x0,y0）的导数是MN的斜率，即k = -1/x02：

　　设M点的坐标是(x,0)，代入y=kx+b：

　　同理，ON=2y0

sin和cos求导

　　先来看两个函数的曲线：

　　sin0°= 0，sin90°= sin(π/2) = 1

　　求导时需要用到几个公式：

　　1、2不解释，3、4后面会给出证明。

sin' x = ?

cos' x = ?

为什么会有公式3、4

　　公式3需要从几何意义上证明。

　　上图是一个单位圆，将Δx用θ替换。由于单位圆的特性使半径r=1，弧长MN=θ。

　　公式3：

　　当θ趋近于0时，PN比弧长MN更快地趋近于0，所以公式3成立。

　　公式4的道理与公式3类似。sinθ=MP/OM=MP，当θ趋近于0时，MP越来越趋近于MN（二者越来越相等）。

幂函数求导

　　总是用极限的方式求导太过麻烦，幸而人们总结出了一系列求导公式。其中幂函数求导就可以直接使用公式：

函数可导的条件

　　如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。

　　简单来说，可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

　　下面是两个不可导的例子：

f(x)=x1/3

　　f(x)=x1/3，f’(x)=x-2/3/3在x=0处分母为0，所以在x=0处不可导。实际上该函数在x=0处的切线是y轴，导数趋近于无穷，不符合导数的定义，导数代表变化率，变化率一定是定值，不会有趋于无穷的变化率。

　　再来看另一个：

f(x)=|x|

　　几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。f(x)=|x|在x=0点时，曲线没有唯一方向，即在x=0点没有切线，所以该函数在x=0点不可导。

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