从集合角度看二项式系数之和的计算

2024-04-04 22:54:39

从集合角度看二项式系数之和的计算

前言

我们经常看到的二项式定理如下：
(x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn−1y1+(n2)xn−2y2+⋯+(nn−1)x1yn−1+(nn)x0yn(x+y)^{n}=\left(\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) x^{n} y^{0}+\left(\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right) x^{n-1} y^{1}+\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) x^{n-2} y^{2}+\cdots+\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right) x^{1} y^{n-1}+\left(\begin{array}{l} n \\ n \end{array}\right) x^{0} y^{n} (x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn−1y1+(n2)xn−2y2+⋯+(nn−1)x1yn−1+(nn)x0yn
其中
(nk)=n!k!(n−k)!\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) =\frac{n !}{k !(n-k) !} (nk)=k!(n−k)!n!
称为二项式系数。

问题

计算二项式系数之和，即
(n0)+(n1)+(n2)+⋯+(nn−1)+(nn)\left(\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) +\cdots+\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{l} n \\ n \end{array}\right) (n0)+(n1)+(n2)+⋯+(nn−1)+(nn)

思路

一、特值

令x=y=1，即可得
∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) = 2 ^ n k=0∑n(nk)=2n

二、集合

先来看
(nk)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) (nk)
在集合里面所代表的意思：从一个元素数为n的集合里，取出k个元素的方法数有多少种？

换句话说：对于一个元素数为n的集合，其元素数为k的子集有多少个？

也就是说：
(n0)\left(\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}\right) (n0)
代表着元素数为0的子集个数；
(n1)\left(\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}\right) (n1)
代表元素数为1的子集个数；

。。。
(nn)\left(\begin{array}{l} n \\ n \end{array}\right) (nn)
代表元素数为n的子集个数。

也就是说，
∑k=0n(nk)\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) k=0∑n(nk)
从集合角度的含义是：元素数为n的集合的子集个数，即2的n次方。

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