微积分入门（持续更新）

0x00 前言

Wemustknow.Wewillknow.We\; must\; know.\; We\; will\; know.Wemustknow.Wewillknow.
——David Hilbert

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

1x01 微分（其一）一一瞬时变化率？极限的严格定义

想象一辆汽车，其所走过的路程 (s)(s)(s) 和时间 (t)(t)(t) 的关系为 s=t2s=t^2s=t2 ，现在要求速度 (v)(v)(v) 与时间的关系。

我们先把问题简化一下，我们现在只求汽车在第 555 秒时的瞬时速度。有头绪吗？

三——

二——

一——

好，揭晓答案。我们先把时间定位在 5−5.1s5-5.1s5−5.1s 之内。在这个区间内，它的平均速度为：
v=st=5.12−525.1−5=10.1.v=\dfrac s t=\dfrac{5.1^2-5^2}{5.1-5}=10.1. v=ts=5.1−55.12−52=10.1.
现在我们再把时间的范围缩小到 5−5.01s5-5.01s5−5.01s 之内。现在它的平均速度为：
v=st=5.012−525.01−5=10.01.v=\dfrac s t=\dfrac{5.01^2-5^2}{5.01-5}=10.01. v=ts=5.01−55.012−52=10.01.
Andsoon,And\; so\; on,Andsoon, 我们继续将时间范围缩小、缩小、再缩小，我们可以看到的是，平均速度逐步 “趋近” 555 。

但是我们需要一个严格的证明啊！！！

因此，我们定义，对于 ttt 的一个变化量，我们称之为 Δt\Delta tΔt 。那么我们将 5−5+Δt5-5+\Delta t5−5+Δt 这个时间段内的平均速度则可以表示为：
v=st=(5+Δt)2−52Δt=10+Δt.v=\dfrac s t=\dfrac{(5+\Delta t)^2-5^2}{\Delta t}=10+\Delta t. v=ts=Δt(5+Δt)2−52=10+Δt.
现在，我们让 Δt\Delta tΔt 变得很小，很小，非常小，小到几乎为 000 ，这时原式的值为 101010 。

现在我们用极限的记号来表示这个过程：
lim⁡Δt→0(5+Δt)2−52Δt=10\lim_{\Delta t\rightarrow0}\dfrac{(5+\Delta t)^2-5^2}{\Delta t}=10 Δt→0limΔt(5+Δt)2−52=10

我们也可以借此求出通用的公式：
v=2tv=2t v=2t
我们就把 v=2tv=2tv=2t 称为 s=t2s=t^2s=t2 的导函数，导函数在 nnn 处的值就是原函数在 nnn 处的导数。

Butnow,But\; now,Butnow, 问题来了，当 Δt\Delta tΔt 越来越小时，分母也越来越接近于 000 ，这该怎么办呢？这时候我们就要来看一下贝克莱怎么说：

. . . . . . 事实上我们必须意识到，牛顿使用 无穷小量 ，正如同使用建筑物的脚手架一样，一旦找到了和它们成比例的线元，便过河拆桥，将其抛弃不谈。然而这一有限的成分（当指 “线性主部” ）是借由 无穷小量 的帮助而得出的，故由此成分和比例得出的一切结论（包括微积分的一切定理与应用），都应归功于 无穷小量 ：那么这样一个概念必然是首先应该得到解释的。可是 无穷小量 是什么呢？是 “消散增量的速率” ？那这些 消散的增量 又是什么呢？它们既非 有限量 ，也不是 无限小 的量（即，比任何有限量都小的量），然而却又不是零。那么我们或许也只好称其为 “消逝量的幽灵” 了吧？
（注：贝克莱在原文中使用了 “Fluxions” 一词，历史上对应今天所言的 “导数” ；然而根据语境，当指用以作商的 微小增量 ，故译为 “无穷小量” ）

于是， 【第二次数学危机】 由此揭发。最后终于找到了一个令人比较满意的解答： ϵ−δ\epsilon-\deltaϵ−δ 语言。

ϵ−δ\epsilon-\deltaϵ−δ 语言指出，如果 ttt 和 Δt\Delta tΔt （ttt 指原时间）相差与 vvv 和 v+Δtv+\Delta tv+Δt 之差为等价无穷小，则称 v+Δtv+\Delta tv+Δt 为 vvv 的极限。

（像是优雅的废话）

通俗一点：

大家知道，我们投篮的时候，篮筐越大越容易进，最极端的情况就是篮筐和篮球一样大。现假设篮球在篮筐正中心时，与篮筐边缘的距离为 ϵ\epsilonϵ ，如下图所示：

若投篮者与篮筐正中心的距离为 AAA，投篮者的真实投篮距离为 f(x)f(x)f(x) ，如果想要将球投进，则需要满足 ∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|<\epsilon∣f(x)−A∣<ϵ，即投篮者的力度需要恰到好处，不能太多也不能太少，而力度所对应的便是投篮者的手部弯曲程度，只要弯曲程度在一定范围内（如下图红色范围），就可以将球投进，这个所谓的 “一定范围” ，便是去心领域, 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta0<∣x−x0∣<δ ，（如果这里 000 可以取等于，则为不去心邻域），即 x0−δ<x<x0+δx_0-\delta<x<x_0+\deltax0−δ<x<x0+δ ，如下图所示：

（啊这迷人的画风）

而函数有极限，就相当于投篮者拥有库里的投射能力，无论 ϵ\epsilonϵ 多么的小，即无论篮筐大小多么接近篮球大小，投篮者都可以找到一个精确的角度范围将球投进。由此，极限定义可通俗地写为：

对于任意大小的篮筐（无论其与篮球大小之差 ϵ\epsilonϵ 多么的小），拥有 神射能力的投篮者 （对应于拥有极限的函数）总能找到一个极小的精确的投篮角度范围 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta0<∣x−x0∣<δ ，将球投进，即投射距离 f(x)f(x)f(x) 与最佳距离 AAA 的差距小于 ϵ\epsilonϵ ，即 ∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|<\epsilon∣f(x)−A∣<ϵ .

因此，数学家们解决了 “无穷小的悖论” 。那么下一节，我们来学习通用的求导方法。

1x02 微分（其二）——通用的求导方式&用图像求导

现在，我们来试求 y=x3y=x^3y=x3 的导数。

首先，我们令 xxx 的增量为 Δx\Delta xΔx ， yyy 的增量为 Δy\Delta yΔy ，可得：
y′=ΔyΔx=(x+Δx)3−x3Δx=x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3−x3Δxy^{'}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{(x+\Delta x)^3-x^3}{\Delta x}=\dfrac{x^3+3x^2\Delta x+3x{\Delta x}^2+{\Delta x}^3-x^3}{\Delta x} y′=ΔxΔy=Δx(x+Δx)3−x3=Δxx3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3−x3
化简得：
y′=3x2+3xΔx+Δx2y^{'}=3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2 y′=3x2+3xΔx+Δx2
现在，我们让 Δx\Delta xΔx 趋近于 000 ，可得：
y′=3x2.y^{'}=3x^2. y′=3x2.
你也可以试着求一下其它形如 y=xny=x^ny=xn 函数的导数，会发现结果都是 y′=nxn−1y^{'}=nx^{n-1}y′=nxn−1 .其实是因为在分解时，xnx^nxn 被削去了，剩下的部分只有 nxn−1Δxnx^{n-1}\Delta xnxn−1Δx 只包含一个 Δx\Delta xΔx ，因此不会被趋近于 000 ，其他的都可以忽略不计。

上面的是通用的求导方式，即：
f′(x)=ΔfΔx=f(x+Δx)−f(x)Δxf^{'}(x)=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f′(x)=ΔxΔf=Δxf(x+Δx)−f(x)
现在我们来试求 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 的导数。

你可以试着用代数方法求，我们这里试着用几何方法。

先看下面的图：

关注 sin⁡\sinsin 和 cos⁡\coscos 的部分。

现在我们来看下面的一个单位圆：

单位圆的半径为 r=1r=1r=1 。所以，竖直的橙色虚线的长度是 sin⁡α.\sin \alpha.sinα.
竖直的红色虚线的长度是 sin⁡(α+Δα).\sin (\alpha+\Delta \alpha).sin(α+Δα).

因此 d=D‾−D=sin⁡(α+Δα)−sin⁡α.d=\overline{D}-D=\sin (\alpha+\Delta \alpha)-\sin \alpha.d=D−D=sin(α+Δα)−sinα.

现在我们把单位圆放大：

可以看见，我们把弧长放的越大，那么他就越接近一条直线。

现在连接红点和橙点，如下图所示：

图片3中的青线是圆的一条割线，可以想象，当红色点 充分接近 橙色点时（即转动的角度 Δα\Delta \alphaΔα 充分小时），这条青色的割线将趋近于橙色点处的圆的切线。而我们知道， 连结圆心与切点的半径是垂直于切线的 （垂径定理）。所以，在转动的角度 Δα\Delta \alphaΔα 充分小时，可近似认为图片1中的橙色实线半径 垂直于 这条青色的割线。不仅如此，在转动的角度充分小时，这这条青色的割线还近似于弧 lll 。

那么就会出现两个相似三角形，我将它们分别用橙色和青色进行重新进行标识，如下图所示：

则由相似性可知，图片4中的青色三角形在红色点处的角度是 α\alphaα ：

则有 d=cos⁡α⋅Δa.d=\cos\alpha \cdot \Delta a.d=cosα⋅Δa.

又 ∵d=sin⁡(α+Δα)−sin⁡α\because d=\sin(\alpha+\Delta \alpha)-\sin \alpha∵d=sin(α+Δα)−sinα

∴Δsin⁡αΔα=sin⁡(α+Δα)−sin⁡αΔα=cos⁡α⋅ΔαΔα=cos⁡α\therefore \dfrac{\Delta\sin \alpha}{\Delta \alpha}=\dfrac{\sin(\alpha+\Delta \alpha)-\sin \alpha}{\Delta \alpha}=\dfrac{\cos \alpha\cdot \Delta \alpha}{\Delta \alpha}=\cos \alpha∴ΔαΔsinα=Δαsin(α+Δα)−sinα=Δαcosα⋅Δα=cosα.

因此，sin⁡′x=cos⁡x.\sin^{'} x=\cos x.sin′x=cosx.

同理可得，
cos⁡′x=−sin⁡x\cos^{'}x=-\sin x cos′x=−sinx
tan⁡′x=1cos⁡2x=sec⁡2x\tan^{'}x=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2x tan′x=cos2x1=sec2x
cot⁡′x=−1sin⁡2x=−csc⁡2x\cot^{'}x=-\dfrac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x cot′x=−sin2x1=−csc2x
sec⁡′x=sec⁡x⋅tan⁡x\sec^{'}x=\sec x\cdot \tan x sec′x=secx⋅tanx
csc⁡′x=−csc⁡x⋅cot⁡x\csc^{'}x=-\csc x\cdot\cot x csc′x=−cscx⋅cotx

1x03 微分（其三）——求导的几何意义：切线斜率

我们看一个函数 f(x)f(x)f(x) 的图像。

现在，我们关注 P,QP,QP,Q 两点。aaa 是经过这两点的割线。现在，我们将 PPP 越来越靠近 QQQ ， aaa 也逐渐下滑到 bbb 的位置。我们说 bbb 是函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 QQQ 点处的切线。当然，也可以说是在 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0) 处的切线。

你可能会说，我们为什么不把函数图像的切线直接定义成 经过且仅经过图像上一点的直线 呢？其实，很多函数的图像要么 不存在经过且仅经过图像上一点的直线 ，要么 存在很多条经过且仅经过图像上一点的直线 。而且，这样极限的定义还能够牵扯到一个重要的概念——导数。

其实，我们这条切线的方程可以表示为 y=ax+by=ax+by=ax+b ，其中 aaa 就是切线的斜率。通过第二节的证明，我们知道，当取的范围足够小（这里为 PQPQPQ ），直线就越接近曲线的极限。此时，直线的斜率就是 竖轴增加的步长比上横轴增加的步长 ，也即 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy ，yyy 的导数。

现在，我们就可以求出函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0 处的切线方程了。下面给出一个例子：

已知函数 f(x)=x2+5f(x)=x^2+5f(x)=x2+5 ，求出函数 f(x)f(x)f(x) 的图像在 x=−5x=-5x=−5 处的切线方程。

首先，我们求出 f(x)f(x)f(x) 的导函数：
f′(x)=ΔfΔx=[(x+Δx)2+5]−(x2+5)Δx=2xf^{'}(x)=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{[(x+\Delta x)^2+5]-(x^2+5)}{\Delta x}=2x f′(x)=ΔxΔf=Δx[(x+Δx)2+5]−(x2+5)=2x
当 x=−5x=-5x=−5 时，f′(−5)=−10f^{'}(-5)=-10f′(−5)=−10 .

所以 x=−5x=-5x=−5 处的切线的方程为 y=−10x+by=-10x+by=−10x+b ，现在我们要求出常数项。

将 x=−5x=-5x=−5 带入原方程，得到 y=50+by=50+by=50+b ，此时 y=25y=25y=25 ，因此 25=50+b25=50+b25=50+b ，解得 b=−25b=-25b=−25 。

所以，函数 f(x)f(x)f(x) 的图像在 x=−5x=-5x=−5 处的切线方程为 y=−10x−25y=-10x-25y=−10x−25 。

同样也很容易得出，函数 f(x)f(x)f(x) 的图像在 x=x0x=x_0x=x0 处的切线方程为 y=2x0x−x02y=2x_0x-x_0^2y=2x0x−x02 .

1x04 微分（其四）——导数的计算法则，加法、乘法&链式法则

导数的加法法则为：
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)(f(x)+g(x))^{'}=f^{'}(x)+g^{'}(x) (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)
这灰常的显而易见：
(f(x)+g(x))′=Δf+ΔgΔx=ΔfΔx+ΔgΔx=f′(x)+g′(x)(f(x)+g(x))^{'}=\dfrac{\Delta f+\Delta g}{\Delta x}=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}+\dfrac{\Delta g}{\Delta x}=f^{'}(x)+g^{'}(x) (f(x)+g(x))′=ΔxΔf+Δg=ΔxΔf+ΔxΔg=f′(x)+g′(x)
（不要怕对无穷小量进行运算，之后会讲到什么时候不适合直接计算洛不达，洛必错）

比如说，(x2+3x)′=(x2)′+3x′=2x+3(x^2+3x)^{'}=(x^2)^{'}+3x^{'}=2x+3(x2+3x)′=(x2)′+3x′=2x+3.

导数的乘法法则为：
(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)(f(x)\cdot g(x))^{'}=f^{'}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x) (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)
证明如下：
Δ(fg)=f(x+Δx)⋅g(x+Δx)−f(x)⋅g(x)\Delta(fg)=f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x) Δ(fg)=f(x+Δx)⋅g(x+Δx)−f(x)⋅g(x)
我们都知道，ab−cd=b(a−c)+c(b−d)ab-cd=b(a-c)+c(b-d)ab−cd=b(a−c)+c(b−d).
=[f(x+Δx)−f(x)]⋅g(x+Δx)+f(x)⋅[g(x+Δx)−g(x)]=[f(x+Δx)−f(x)]\cdot g(x+Δx)+f(x)\cdot[g(x+Δx)−g(x)] =[f(x+Δx)−f(x)]⋅g(x+Δx)+f(x)⋅[g(x+Δx)−g(x)]
=Δf⋅g(x+Δx)+f(x)⋅Δg=\Delta f\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot \Delta g =Δf⋅g(x+Δx)+f(x)⋅Δg
两边同时除以 Δx\Delta xΔx ：
Δ(fg)Δx=ΔfΔx⋅g(x+Δx)+f(x)⋅ΔgΔx\dfrac{\Delta (fg)}{\Delta x}=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot \dfrac{\Delta g}{\Delta x} ΔxΔ(fg)=ΔxΔf⋅g(x+Δx)+f(x)⋅ΔxΔg
∵Δx→0.\because \Delta x \rightarrow 0. ∵Δx→0.
∴g(x+Δx)→0.\therefore g(x+\Delta x)\rightarrow0. ∴g(x+Δx)→0.
∴(f(x)⋅g(x))′=Δ(fg)Δx=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).\therefore (f(x)\cdot g(x))^{'}=\dfrac{\Delta (fg)}{\Delta x}=f^{'}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x). ∴(f(x)⋅g(x))′=ΔxΔ(fg)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
证明完毕，我们来看一个例子：

已知
f(x)=sin⁡x⋅cos⁡xf(x)=\sin x\cdot\cos x f(x)=sinx⋅cosx
求 f′(x)f^{'}(x)f′(x) .

首先，根据乘法法则，我们知道
f′(x)=sin⁡′x⋅cos⁡x+sin⁡x⋅cos⁡′xf^{'}(x)=\sin^{'}x\cdot\cos x+\sin x\cdot\cos^{'}x f′(x)=sin′x⋅cosx+sinx⋅cos′x
又因为
sin⁡′x=cos⁡x,cos⁡′x=−sin⁡x\sin^{'}x=\cos x,\cos^{'}x=-\sin x sin′x=cosx,cos′x=−sinx
所以
f′(x)=cos⁡2x−sin⁡2x.f^{'}(x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x. f′(x)=cos2x−sin2x.
导数的链式法则为：
g(f(x))′=g′(f(x))⋅f′(x)g(f(x))^{'}=g^{'}(f(x))\cdot f^{'}(x) g(f(x))′=g′(f(x))⋅f′(x)
具体的证明这里不细讲，详细的请见这条知乎。

下面列出更多的一些计算法则：

除法法则：
(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^{'}=\dfrac{f^{'}(x)g(x)-f(x)g^{'}(x)}{g^2(x)} (g(x)f(x))′=g2(x)f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
反函数法则：
f−′(x)=1f′(x){f^-}^{'}(x)=\dfrac{1}{f^{'}(x)} f−′(x)=f′(x)1

1x05 微分（其五）——指数、对数&反三角函数の导数

我们现在来求一下指数函数 y=axy=a^xy=ax 的导数。

首先，我们求下极限：
y′=lim⁡Δx→0ax+Δx−axΔxy^{'}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x} y′=Δx→0limΔxax+Δx−ax
=lim⁡Δx→0axaΔx−1Δx=\lim_{\Delta x\rightarrow0}a^x\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} =Δx→0limaxΔxaΔx−1
现在，我们进行换元： z=ax−1z=a^x-1z=ax−1.
y′=axlim⁡z→0zlog⁡a(z+1)y^{'}=a^x\lim_{z\rightarrow0}\dfrac{z}{\log_a(z+1)} y′=axz→0limloga(z+1)z
=axlim⁡z→01log⁡a(z+1)1z=a^x\lim_{z\rightarrow0}\dfrac{1}{\log_a(z+1)^{\frac{1}{z}}} =axz→0limloga(z+1)z11

现在我们求极限 lim⁡x→01log⁡a(x+1)1x\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{\log_a(x+1)^{\frac{1}{x}}}limx→0loga(x+1)x11 .

lim⁡z→01log⁡a(z+1)1z=lim⁡x→0eln⁡(x+1)1x\lim_{z\rightarrow0}\dfrac{1}{\log_a(z+1)^{\frac{1}{z}}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\ln(x+1)^{\frac{1}{x}}} z→0limloga(z+1)z11=x→0limeln(x+1)x1
=elim⁡x→0ln⁡(x+1)x=e^{\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}} =elimx→0xln(x+1)
=elim⁡x→01x+11=e^{\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\frac{1}{x+1}}{1}} =elimx→01x+11
=e1=e^1 =e1
=e=e =e
具体细节我们之后再来讲。那指数函数的导数就可以简化表示：
y′=ax1log⁡aey^{'}=a^x\dfrac{1}{\log_ae} y′=axlogae1
=ax1ln⁡eln⁡a=a^x\dfrac{1}{\frac{\ln e}{\ln a}} =axlnalne1
=axln⁡a.=a^x\ln a. =axlna.
因此，ax′=axln⁡a.{a^x}^{'}=a^x\ln a.ax′=axlna.

对数函数 y=log⁡axy=\log_axy=logax 是指数函数 y=axy=a^xy=ax 的反函数，因此：
(log⁡ax)′=1ax′=1axln⁡a.(\log_ax)^{'}=\dfrac{1}{{a^x}^{'}}=\dfrac{1}{a^x\ln a}. (logax)′=ax′1=axlna1.
你也可以试着推导一下反三角函数的导数公式，下面仅列出 arcsin⁡x\arcsin xarcsinx 的求导过程：
arcsin⁡′x=1sin⁡′y\arcsin^{'} x=\dfrac{1}{\sin^{'} y} arcsin′x=sin′y1
=1cos⁡y=\dfrac{1}{\cos y} =cosy1
由诱导公式得：
=11−sin⁡2y=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}} =1−sin2y1
=11−sin⁡2arcsin⁡x=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2{\arcsin x}}} =1−sin2arcsinx1
=11−x2=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} =1−x21
所有反三角函数的导数如下表：
arcsin⁡′x=11−x2\arcsin^{'}x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} arcsin′x=1−x21
arccos⁡′x=−11−x2\arccos^{'}x=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} arccos′x=−1−x21
arctan⁡′x=11+x2\arctan^{'}x=\dfrac{1}{1+x^2} arctan′x=1+x21
arccot′x=−11+x2\text{arccot}^{'}x=-\dfrac{1}{1+x^2} arccot′x=−1+x21
arcsec′x=1∣x∣x2−1\text{arcsec}^{'}x=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} arcsec′x=∣x∣x2−11
arccsc′x=−1∣x∣x2−1\text{arccsc}^{'}x=-\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} arccsc′x=−∣x∣x2−11
博主博主，你后面三个反函数是怎么打出来的啊

直接用 \text{} 就好了啊

1x06 微分（六）——洛必达法则&应用

在我们求 y=axy=a^xy=ax 的导数的时候，我们用到了洛必达法则，因此有必要说一下。

洛必达法则如下：
lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x)
其中 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 要满足如下条件：

(1)(1)(1)
lim⁡x→af(x)=0/∞\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0/∞ x→alimf(x)=0/∞
lim⁡x→ag(x)=0/∞\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0/∞ x→alimg(x)=0/∞
(2)(2)(2)
在 aaa 的去心邻域（去心邻域是啥？回到 1x01 看看）内，两者皆可导，且 g′(x)≠0g^{'}(x)≠0g′(x)=0.

(3)(3)(3)
lim⁡x→af′(x)g′(x)=A(A∈(R∪±∞))\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}=A\quad(A\in\mathbb{(R\cup ±∞})\,) x→alimg′(x)f′(x)=A(A∈(R∪±∞))

下面我们来证明一下：（用到了柯西中值定理，可以自己去查一下）

由于函数在 aaa 点的 去心邻域可导 ，也就是说函数在这个 aaa 的去心邻域内连续。那么我们套用 柯西中值定理 ，在 xxx 趋向于 aaa 时，可以得到在区间 (a,x)(a,x)(a,x) 内找到一个点 ξ\xiξ ，使得：
f(x)−f(ξ)g(x)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ)\dfrac{f(x)-f(\xi)}{g(x)-g(\xi)}=\dfrac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)} g(x)−g(ξ)f(x)−f(ξ)=g′(ξ)f′(ξ)
我们将这两个函数做差可得：
lim⁡x→af(x)−f(a)g(x)−g(a)−f(x)g(x)\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}-\dfrac{f(x)}{g(x)} x→alimg(x)−g(a)f(x)−f(a)−g(x)f(x)
=lim⁡x→af(x)g(a)−f(a)g(x)=0=\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(a)-f(a)g(x)=0 =x→alimf(x)g(a)−f(a)g(x)=0
∴f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)=f(x)g(x)\therefore\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}=\dfrac{f(x)}{g(x)} ∴g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)=g(x)f(x)
因为 xxx 趋近于 aaa 时， ξ\xiξ 也趋近于 aaa ，因此：
lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x)
得证。

现在我们来运用一下洛必达法则，计算 sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}xsinx 在 x→0x\rightarrow 0x→0 时的极限。

运用洛必达法则：
lim⁡x→0sin⁡xx=lim⁡x→0sin⁡′xx′=lim⁡x→0cos⁡x=1\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin^{'} x}{x^{'}}=\lim_{x\rightarrow 0}\cos x=1 x→0limxsinx=x→0limx′sin′x=x→0limcosx=1
因此
lim⁡x→0sin⁡xx=1.\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1. x→0limxsinx=1.
我们将在 x→0x \rightarrow 0x→0 时， sin⁡x\sin xsinx 和 xxx 称为等价无穷小，记作 sin⁡x∼x\sin x \sim xsinx∼x 。

2x01 积分（一）——积分的定义&牛顿—莱布尼茨公式

我们还是从小汽车的例子开始，只不过这一次我们知道了 vvv 和 ttt 的关系，要求 sss 与 ttt 的关系。我们将 sss 称为 vvv 对 ttt 的积分，简称为 vvv 的积分，记作：
∫vdt=s\int vdt=s ∫vdt=s
这里的 dtdtdt 和 Δt\Delta tΔt 是一个意思。

我们通常将 f(x)f(x)f(x) 的积分称为 f(x)f(x)f(x) 的原函数，记作 F(x)F(x)F(x) 。

显而易见的是，积分和微分互为逆运算，即：
∫f′(x)dx=f(x)\int f^{'}(x)dx=f(x) ∫f′(x)dx=f(x)
哒卡，上面的式子是错误的！因为在进行微分的过程中我们消掉了常数项，因此我们需要再把常数项加上，即：
∫f′(x)dx=f(x)+C\int f^{'}(x)dx=f(x)+C ∫f′(x)dx=f(x)+C

大概很多人分不清 微分和求导的区别 。求导出来的是 一个函数 ，比如 x2x^2x2 的导数是 2x2x2x 。但是微分求出来是一个 无穷小量 （原谅我用了这个词），比如 x2x^2x2 的微分是 2dx2dx2dx 。我们称微分后 dxdxdx 的次数相等的函数称为等价无穷小函数，例如 sin⁡x\sin xsinx 的微分为 dxcos⁡xdx\cos xdxcosx ， xxx 的微分为 dxdxdx ，因为两者都有一个 dxdxdx ，因此它们两个是等价无穷小函数。
而关于为什么 ∫\int∫ 后面有个 dxdxdx ，是因为 积分是微分的逆运算 ，因此需要在后面加上 微分算子 ，求出来才是一个函数，而非什么奇怪的无穷量。

既然如此，我们可以很容易就得出以下积分公式：
∫Cdx=Cx+C1\int Cdx=Cx+C_1 ∫Cdx=Cx+C1
∫xadx=xa+1a+1+C\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C ∫xadx=a+1xa+1+C
∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \dfrac1xdx=\ln|x|+C ∫x1dx=ln∣x∣+C
∫axdx=axln⁡x+C\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\ln x}+C ∫axdx=lnxax+C
∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx=-\cos x+C ∫sinxdx=−cosx+C
∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx=\sin x+C ∫cosxdx=sinx+C
…

更多的积分公式详见这条知乎。

现在，我们要求当 v=2tv=2tv=2t 时，小车在第 555 秒到第 101010 秒走过的路程。怎么求呢？这时候我们就要用到大名鼎鼎的 牛顿—莱布尼茨公式 。

牛顿—莱布尼茨公式如下：
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)∣ab\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)∣ab
其中
∫abf(x)dx\int^b_af(x)dx ∫abf(x)dx
表示函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 内的定积分，在这里对应 [a,b][a,b][a,b] 秒所行过的路程，等价于 F(x)∣abF(x)|^b_aF(x)∣ab 。因为：
s=∫vdt=t2s=\int vdt=t^2 s=∫vdt=t2
因此小车在第 555 秒到第 101010 秒走过的路程为
s∣510=102−52=75s|^{10}_5=10^2-5^2=75 s∣510=102−52=75
这就是定积分的计算方式。

2x02 积分（二）——积分的几何意义&积分法则

如下图所示：

我们说函数 f(x)f(x)f(x) 与 xxx 轴在 [a,b][a,b][a,b] 这个区间内围成的面积为
∫abf(x)dx\int^b_af(x)dx ∫abf(x)dx
为什么呢？

我们知道，要想求出曲边梯形 x=ax=ax=a 、 x=bx=bx=b ， f(x)f(x)f(x) 和 xxx 轴所围成面积，首先对曲边梯形均等分割成 nnn 个曲边梯形，如图：

当 nnn 足够大时，每个小曲边梯形就近似于矩形，即每个小曲边梯形的面积可以用矩形的面积来近似。

因此，令每个小长方形的面积为 sis_isi ，则
S=∑i=1nsiS=\sum_{i=1}^n s_i S=i=1∑nsi
=f(a)Δx+f(a+Δx)Δx+f(a+2Δx)Δx+...+f(a+(n−1)Δx)Δx=f(a)\Delta x+f(a+\Delta x)\Delta x+f(a+2\Delta x)\Delta x+...+f(a+(n-1)\Delta x)\Delta x =f(a)Δx+f(a+Δx)Δx+f(a+2Δx)Δx+...+f(a+(n−1)Δx)Δx
=∑j=0n−1f(a+jΔx)Δx=\sum_{j=0}^{n-1}f(a+j\Delta x)\Delta x =j=0∑n−1f(a+jΔx)Δx
∵lim⁡Δx→0,n→∞\because\lim_{\Delta x\rightarrow0},n\rightarrow∞ ∵Δx→0lim,n→∞
∴lim⁡Δx→0∑j=0n−1f(a+jΔx)Δx=lim⁡Δx→0[F(a+nΔx)−F(a)]=F(b)−F(a)\therefore\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{j=0}^{n-1}f(a+j\Delta x)\Delta x=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}[F(a+n\Delta x)-F(a)]=F(b)-F(a) ∴Δx→0limj=0∑n−1f(a+jΔx)Δx=Δx→0lim[F(a+nΔx)−F(a)]=F(b)−F(a)
∵F(b)−F(a)=F(x)∣ab=∫abf(x)dx\because F(b)-F(a)=F(x)|^b_a=\int^b_af(x)dx ∵F(b)−F(a)=F(x)∣ab=∫abf(x)dx
∴S=∫abf(x)dx\therefore S=\int^b_af(x)dx ∴S=∫abf(x)dx
详细的证明可以看这条知乎。反正我看不懂

积分的加法法则如下：
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
非常的显然，将两个面积叠加起来不就是它们面积的和嘛。

顺带一提，我们通常用 uuu 和 vvv 来代替函数。那么，积分的加法法则就可以表示成：
∫(u+v)dx=∫udx+∫vdx\int (u+v)dx=\int udx+\int vdx ∫(u+v)dx=∫udx+∫vdx
积分的数乘法则如下：
∫Cf(x)dx=C∫f(x)dx\int Cf(x)dx=C\int f(x)dx ∫Cf(x)dx=C∫f(x)dx
这和加法法则是对应的。

很遗憾的是，积分并没有乘法法则和链式法则。我们继续往下看。

积分的分部积分法是指：
∫(uv)dx=u∫vdx−∫u′(∫vdx)dx\int (uv)dx=u\int vdx-\int u^{'}(\int vdx)dx ∫(uv)dx=u∫vdx−∫u′(∫vdx)dx
也可以写作：
∫(uv)dx=uV−∫u′Vdx\int (uv)dx=uV-\int u^{'}Vdx ∫(uv)dx=uV−∫u′Vdx
这是怎么来的？

分部积分法是基于 导数的乘法法则 ：
(uv)′=uv′+u′v(uv)^{'}=uv^{'}+u^{'}v (uv)′=uv′+u′v
求每边的积分，然后重排：
∫(uv)′dx=∫(uv′)dx+∫(u′v)dx\int (uv)^{'}dx=\int (uv^{'})dx+\int(u^{'}v)dx ∫(uv)′dx=∫(uv′)dx+∫(u′v)dx
uv=∫(uv′)dx+∫(u′v)uv=\int (uv^{'})dx+\int(u^{'}v) uv=∫(uv′)dx+∫(u′v)
∫(uv′)dx=uv−∫(u′v)dx\int (uv^{'})dx=uv-\int(u^{'}v)dx ∫(uv′)dx=uv−∫(u′v)dx
再对 vvv 求积分：
∫(uv)dx=u∫vdx−∫u′(∫vdx)dx\int (uv)dx=u\int vdx-\int u^{'}(\int vdx)dx ∫(uv)dx=u∫vdx−∫u′(∫vdx)dx
也可以写作：
∫(uv)dx=uV−∫u′Vdx\int(uv)dx=uV-\int u^{'}Vdx ∫(uv)dx=uV−∫u′Vdx
我们来看一个例子：
求
∫xcos⁡xdx\int x\cos xdx ∫xcosxdx
令 u=xu=xu=x ， v=cos⁡xv=\cos xv=cosx ：
u′=x′=1,∫vdx=∫cos⁡xdx=sin⁡xu^{'}=x^{'}=1,\int vdx=\int\cos xdx=\sin x u′=x′=1,∫vdx=∫cosxdx=sinx
∴∫xcos⁡xdx=xsin⁡x−∫sin⁡xdx\therefore \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx ∴∫xcosxdx=xsinx−∫sinxdx
=xsin⁡x+cos⁡x+C=x\sin x+\cos x+C =xsinx+cosx+C
再来看一个例子：求
∫ln⁡xdx\int\ln xdx ∫lnxdx
只有一个函数，我们就令 v=1v=1v=1 ，求得：
∫ln⁡xdx=xln⁡x−∫x⋅1xdx=xln⁡x−x+C\int\ln xdx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac 1xdx=x\ln x-x+C ∫lnxdx=xlnx−∫x⋅x1dx=xlnx−x+C
换元积分法是指将一个函数换元之后简化原式的一种求法。例如：
∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du\int f(g(x))g^{'}(x)dx=\int f(u)du ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du
接着我们可以求 f(u)f(u)f(u) 的积分，然后把 g(x)g(x)g(x) 代回去 uuu 里。

像这样：
求
∫2xcos⁡x2dx\int2x\cos x^2 dx ∫2xcosx2dx
因为 x2′=2x{x^2}^{'}=2xx2′=2x ，因此我们可以使用换元法：
∫cos⁡udu\int\cos udu ∫cosudu
求积分得：
∫cos⁡udu=sin⁡u+C\int\cos udu=\sin u+C ∫cosudu=sinu+C
再将 u=x2u=x^2u=x2 带入得：
∫2xcos⁡x2dx=sin⁡x2+C\int2x\cos x^2dx=\sin x^2+C ∫2xcosx2dx=sinx2+C
我们再来看一个比较复杂的例子：
求
∫xx2+1dx\int \dfrac{x}{x^2+1}dx ∫x2+1xdx
因为 (x2+1)′=2x(x^2+1)^{'}=2x(x2+1)′=2x ，因此我们需要重排一下式子：
12∫2xx2+1dx\dfrac12\int \dfrac{2x}{x^2+1}dx 21∫x2+12xdx
令 u=x2+1u=x^2+1u=x2+1 ，得：
12∫1udu=12ln⁡u+C\dfrac12\int\dfrac1udu=\dfrac12\ln u+C 21∫u1du=21lnu+C
将 u=x2+1u=x^2+1u=x2+1 带入上式得：
∫xx2+1dx=12ln⁡(x2+1)+C\int \dfrac{x}{x^2+1}dx=\dfrac12\ln(x^2+1)+C ∫x2+1xdx=21ln(x2+1)+C

2x03 积分（三）——柯西主值&Gamma函数

想象一个函数 f(x)=1ln⁡xf(x)=\dfrac{1}{\ln x}f(x)=lnx1 。这个函数有一个无穷点 x=1x=1x=1 ，我们称为奇点。

（If you can）

它的积分
∫0t1ln⁡xdx\int_{0}^{t} \dfrac{1}{\ln x}dx ∫0tlnx1dx
通常记作 lit\text{li}\,tlit 。

等等等等，当 x=1x=1x=1 时，函数值不存在，那怎么能积分呢？我们先来看看它的图像：

更离谱了，函数不仅不连续，还有 222 个无穷点， 111 个断点。

因此，我们要使用 柯西主值 来定义它。柯西主值是在微积分中，实数线上的某类 瑕积分 ，为纪念柯西而得此名。

相信你已经糊涂了。瑕积分是啥？

瑕积分，就是对于一个函数，在存在奇点的区间内进行积分。为了过滤掉这个奇点，我们要使得一个无穷小量 δ→0+\delta\rightarrow0^+δ→0+ （ 0+0^+0+ 的意思是从大于 000 的位置趋近），使其能够表示 奇点附近的去心邻域 。（又提到了去心邻域）

我们假设这个奇点是 ccc ，我们可得：
∫abf(x)dx=lim⁡δ→0+(∫ac−δf(x)dx+∫c+δbf(x)dx)\int^b_af(x)dx=\lim_{\delta \rightarrow0^+}\left(\int_a^{c-\delta}f(x)dx+\int_{c+\delta}^bf(x)dx\right) ∫abf(x)dx=δ→0+lim(∫ac−δf(x)dx+∫c+δbf(x)dx)
锵锵，我们这样就把 ccc 这个点去掉啦！

如果有多个奇点，我们也可以类似操作，只不过要分成更多的部分。

现在，我们就可以定义 lit\text{li}\,tlit 了：
lit=lim⁡δ→0+(∫01−δ1ln⁡xdx+∫1+δt1ln⁡xdx)\text{li}\,t=\lim_{\delta \rightarrow0^+}\left(\int_0^{1-\delta}\dfrac{1}{\ln x}dx+\int_{1+\delta}^t\dfrac{1}{\ln x}dx\right) lit=δ→0+lim(∫01−δlnx1dx+∫1+δtlnx1dx)

由于这个积分在 xxx 趋近于 000 时，值会趋近于 −∞-∞−∞ ，有些数学家为了避免麻烦，常会选择另外一个相似的定义， 欧拉对数积分定义为 ：
Lit=lit−li2\text{Li}\,t=\text{li}\,t-\text{li}\,2 Lit=lit−li2
等价于
Lit=∫2t1ln⁡xdx\text{Li}\,t=\int_2^t\dfrac{1}{\ln x}dx Lit=∫2tlnx1dx
当 x→+∞x\rightarrow +∞x→+∞ 时，函数的渐进表现如下：
lix=O(xln⁡x)\text{li}\,x=O(\dfrac{x}{\ln x}) lix=O(lnxx)
（什么复杂度，竞赛生狂喜）

在数论中这个函数也十分重要。高斯素数定理指出：
π(x)∼lix\pi(x)\sim\text{li}\,x π(x)∼lix
我愿称之为我学数论以来见过的最精简、最美丽、最奇特的定理公式，将离散和连续联系了起来。

是不是很好奇 lix\text{li} \,xlix 的积分？很遗憾，它并不能表示成基本函数的公式组合。它的积分如下：
∫lixdx=xlix−Ei(2ln⁡x)+C\int\text{li}\,xdx=x\,\text{li}\,x-\text{Ei}\,(2\ln x)+C ∫lixdx=xlix−Ei(2lnx)+C
其中 Ei\text{Ei}Ei 是指数反积分函数，
Eix=∫x∞e−ttdt\text{Ei}\,x=\int_x^∞\dfrac{e^{-t}}{t}dt Eix=∫x∞te−tdt
这一函数可用来计算无限片状分布声源的辐射噪声场。具体的一些概念涉及到了复变函数和泛函分析。除此以外还有 Si\text{Si}Si 、 Ci\text{Ci}Ci 等。详见这里。

它们有如下关系：
Eiln⁡x=Lix\text{Ei}\,\ln x=\text{Li}\,x Eilnx=Lix
Γ\GammaΓ 函数的定义如下：
Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt(x>0)\Gamma(x)=\int_0^{+∞}t^{x-1}e^{-t}dt\quad(x>0) Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt(x>0)
在复数域上伽玛函数定义为：
Γ(z)=∫0+∞tz−1e−tdt(Re(x)>0)\Gamma(z)=\int_0^{+∞}t^{z-1}e^{-t}dt\quad(\text{Re}\,(x)>0) Γ(z)=∫0+∞tz−1e−tdt(Re(x)>0)
伽马函数还有一种定义（欧拉无穷乘积定义）：
Γ(z)=1z∏n=1∞[(1+zn)−1(1+1n)z]\Gamma(z)=\dfrac1z\prod^∞_{n=1}\left[\left(1+\dfrac zn\right)^{-1}\left(1+\dfrac 1n\right)^z\right] Γ(z)=z1n=1∏∞[(1+nz)−1(1+n1)z]
通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：
Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x)
于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓。对于正整数n，具有如下性质：
Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n)=(n-1)! Γ(n)=(n−1)!
对于 x∈(0,1)x\in(0,1)x∈(0,1) ，有：
Γ(1−x)⋅Γ(x)=πsin⁡πx\Gamma(1-x)\cdot\Gamma(x)=\dfrac{\pi}{\sin \pi x} Γ(1−x)⋅Γ(x)=sinπxπ
这个公式被称为 余元公式 。

由此可以推出以下重要的概率公式：

Γ(12)=π\Gamma(\dfrac12)=\sqrt\pi Γ(21)=π

其对数的导数称为 Digamma 函数，即
ψ(x)=ln⁡Γ(x)′=Γ′(x)Γ(x)\psi(x)=\ln\Gamma(x)^{'}=\dfrac{\Gamma^{'}(x)}{\Gamma(x)} ψ(x)=lnΓ(x)′=Γ(x)Γ′(x)
Digamma 函数又与调和级数相关，即
ψ(n+1)=Hn+γ\psi(n+1)=H_n+\gamma ψ(n+1)=Hn+γ
其中 γ\gammaγ 是欧拉常数。

而对于任意 xxx 有：
ψ(x+1)=ψ(x)+1x\psi (x+1)=\psi(x)+\dfrac1x ψ(x+1)=ψ(x)+x1
黎曼 ζ\zetaζ 函数也与其紧密相关。 ζ\zetaζ 函数的定义如下：
ζ(s)=∑n=1∞n−s\zeta(s)=\sum_{n=1}^∞n^{-s} ζ(s)=n=1∑∞n−s

2x04 积分（四）——含 2a+b2a+b2a+b 的积分公式推导（可跳过）

一、求
∫1ax+bdx\int\dfrac{1}{ax+b}dx ∫ax+b1dx
令 t=ax+bt=ax+bt=ax+b ，则 dt=adxdt=adxdt=adx 。
∴dx=1adt\therefore dx=\dfrac1adt ∴dx=a1dt
∴∫1ax+bdx=1a∫1tdt=1a⋅ln⁡∣t∣+C\therefore \int\dfrac{1}{ax+b}dx=\dfrac1a\int\dfrac1tdt=\dfrac1a\cdot\ln|t|+C ∴∫ax+b1dx=a1∫t1dt=a1⋅ln∣t∣+C
将 t=ax+bt=ax+bt=ax+b 带入上式得：
∫1ax+b=1a⋅ln⁡∣ax+b∣+C\int\dfrac{1}{ax+b}=\dfrac1a\cdot\ln|ax+b|+C ∫ax+b1=a1⋅ln∣ax+b∣+C
二、求
∫(ax+b)μdx\int(ax+b)^\mu dx ∫(ax+b)μdx
令 t=ax+bt=ax+bt=ax+b ，则 dt=adxdt=adxdt=adx 。
∴dx=1adt\therefore dx=\dfrac1adt ∴dx=a1dt
∴∫(ax+b)μdx=1a∫tμdt=1a⋅tμ+1μ+1+C\therefore \int(ax+b)^\mu dx=\dfrac1a\int t^\mu dt=\dfrac1a\cdot\dfrac{t^{\mu+1}}{\mu+1}+C ∴∫(ax+b)μdx=a1∫tμdt=a1⋅μ+1tμ+1+C
将 t=ax+bt=ax+bt=ax+b 代入上式得：
∫(ax+b)μdx=1a⋅(ax+b)μ+1μ+1+C\int(ax+b)^\mu dx=\dfrac1a\cdot\dfrac{(ax+b)^{\mu+1}}{\mu+1}+C ∫(ax+b)μdx=a1⋅μ+1(ax+b)μ+1+C
三、求
∫xax+bdx\int\dfrac{x}{ax+b}dx ∫ax+bxdx
令 t=ax+bt=ax+bt=ax+b ，则 dt=adxdt=adxdt=adx 。
∴dx=1adt,x=1a(t−b)\therefore dx=\dfrac1adt,x=\dfrac1a(t-b) ∴dx=a1dt,x=a1(t−b)
∴∫xax+bdx=1a2∫(1−bt)dt\therefore \int\dfrac{x}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a^2}\int\left(1-\dfrac bt\right)dt ∴∫ax+bxdx=a21∫(1−tb)dt
化简得
1a2∫(1−bt)dt=1a2(t−b⋅ln⁡∣t∣)+C\dfrac{1}{a^2}\int\left(1-\dfrac bt\right)dt=\dfrac{1}{a^2}(t-b\cdot\ln|t|)+C a21∫(1−tb)dt=a21(t−b⋅ln∣t∣)+C
将 t=ax+bt=ax+bt=ax+b 代入上式得：
∫xax+bdx=1a2(ax+b−b⋅ln⁡∣ax+b∣)+C\int\dfrac{x}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a^2}(ax+b-b\cdot\ln|ax+b|)+C ∫ax+bxdx=a21(ax+b−b⋅ln∣ax+b∣)+C
四、求
∫1x(ax+b)dx\int\dfrac{1}{x(ax+b)}dx ∫x(ax+b)1dx
设
1x(ax+b)=Ax+Bax+b\dfrac{1}{x(ax+b)}=\dfrac Ax+\dfrac{B}{ax+b} x(ax+b)1=xA+ax+bB
可得
{A=1bB=−ab\begin{cases} A=\dfrac1b\\ \\ B=-\dfrac ab \end{cases} ⎩⎨⎧A=b1B=−ba
因此
∫1x(ax+b)dx=∫[1bx−ab(ax+b)]dx\int\dfrac{1}{x(ax+b)}dx=\int[\dfrac{1}{bx}-\dfrac{a}{b(ax+b)}]dx ∫x(ax+b)1dx=∫[bx1−b(ax+b)a]dx
=1b∫1xdx−ab∫1ax+bdx=\dfrac1b\int\dfrac1xdx-\dfrac ab\int\dfrac{1}{ax+b}dx =b1∫x1dx−ba∫ax+b1dx
=1b∫1xdx−1b∫1ax+bd(ax+b)=\dfrac1b\int\dfrac1xdx-\dfrac1b\int\dfrac{1}{ax+b}d(ax+b) =b1∫x1dx−b1∫ax+b1d(ax+b)
=1b⋅ln⁡∣x∣−1b⋅ln⁡∣ax+b∣+C=\dfrac 1b\cdot \ln|x|-\dfrac 1b\cdot \ln|ax+b|+C =b1⋅ln∣x∣−b1⋅ln∣ax+b∣+C
由对数的计算法则可得
=1b⋅ln⁡∣xax+b∣+C=\dfrac 1b\cdot \ln\left|\dfrac{x}{ax+b}\right|+C =b1⋅lnax+bx+C
=−1b⋅ln⁡∣ax+bx∣+C=-\dfrac 1b\cdot \ln\left|\dfrac{ax+b}{x}\right|+C =−b1⋅lnxax+b+C
更多公式如下：

∫1ax+bdx=1a⋅ln⁡∣ax+b∣+C\int\dfrac{1}{ax+b}dx=\dfrac1a\cdot\ln|ax+b|+C∫ax+b1dx=a1⋅ln∣ax+b∣+C
∫(ax+b)μdx=1a⋅(ax+b)μ+1μ+1\int(ax+b)^\mu dx=\dfrac1a\cdot\dfrac{(ax+b)^{\mu +1}}{\mu+1}∫(ax+b)μdx=a1⋅μ+1(ax+b)μ+1
∫xax+bdx=1a2(ax+b−b⋅ln⁡∣ax+b∣)+C\int\dfrac{x}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a^2}(ax+b-b\cdot\ln|ax+b|)+C∫ax+bxdx=a21(ax+b−b⋅ln∣ax+b∣)+C
∫x2ax+bdx=1a3[12(ax+b)2−2b(ax+b)+b2⋅ln⁡∣ax+b∣]\int\dfrac{x^2}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a^3}\left[\dfrac12(ax+b)^2-2b(ax+b)+b^2\cdot\ln|ax+b|\right]∫ax+bx2dx=a31[21(ax+b)2−2b(ax+b)+b2⋅ln∣ax+b∣]
∫1x(ax+b)dx=−1b⋅ln⁡∣ax+bx∣+C\int\dfrac{1}{x(ax+b)}dx=-\dfrac 1b\cdot \ln\left|\dfrac{ax+b}{x}\right|+C∫x(ax+b)1dx=−b1⋅lnxax+b+C
∫1x2(ax+b)dx=−1bx+ab2⋅ln⁡∣ax+bx∣+C\int\dfrac{1}{x^2(ax+b)}dx=-\dfrac 1{bx}+\dfrac{a}{b^2}\cdot \ln\left|\dfrac{ax+b}{x}\right|+C∫x2(ax+b)1dx=−bx1+b2a⋅lnxax+b+C
∫x(ax+b)2dx=1a2(ln⁡∣ax+b∣+bax+b)+C\int\dfrac{x}{(ax+b)^2}dx=\dfrac{1}{a^2}\left(\ln|ax+b|+\dfrac{b}{ax+b}\right)+C∫(ax+b)2xdx=a21(ln∣ax+b∣+ax+bb)+C
∫x2(ax+b)2dx=1a3(ax+b−2b⋅ln⁡∣ax+b∣−b2ax+b)+C\int\dfrac{x^2}{(ax+b)^2}dx=\dfrac{1}{a^3}\left(ax+b-2b\cdot\ln|ax+b|-\dfrac{b^2}{ax+b}\right)+C∫(ax+b)2x2dx=a31(ax+b−2b⋅ln∣ax+b∣−ax+bb2)+C
∫1x(ax+b)2dx=1b(ax+b)−1b2⋅ln⁡∣ax+bx∣+C\int\dfrac{1}{x(ax+b)^2}dx=\dfrac{1}{b(ax+b)}-\dfrac{1}{b^2}\cdot \ln\left|\dfrac{ax+b}{x}\right|+C∫x(ax+b)21dx=b(ax+b)1−b21⋅lnxax+b+C

2x05 积分（五）——托里拆利小号&收敛的定义

托里拆利小号是一个旋转体，它由 y=1x(x≥1)y=\dfrac 1x\quad(x\geq1)y=x1(x≥1) 这个函数的图像旋转而来。图像如下：

神奇的一点是，它的体积是有限的，表面积却是无限的。我们来给出证明。

体积是面积的积分，我们只需要算出面积的函数 s(x)s(x)s(x) ，对 sss 进行积分，则
∫1∞s(x)dx=V\int_1^∞ s(x)dx=V ∫1∞s(x)dx=V
而小号在平面 x=x0x=x_0x=x0 上的横截面积为 π(1x0)2\pi \left(\dfrac {1}{x_0}\right)^2π(x01)2 ，则我们可以得到：
V=∫1∞π(1x)2dx=π∫1∞(1x)2dx=π[lim⁡b→∞(−1b)−(−11)]=πV=\int_1^∞\pi\left(\dfrac 1x\right)^2dx=\pi\int_1^∞\left(\dfrac 1x\right)^2dx=\pi\left[\lim_{b\rightarrow ∞}\left(-\dfrac 1b\right)-\left(-\dfrac11\right)\right]=\pi V=∫1∞π(x1)2dx=π∫1∞(x1)2dx=π[b→∞lim(−b1)−(−11)]=π
故原积分收敛于 111 ，体积为 π\piπ 。

而表面积是长度的积分，我们就要先求出小号在平面 x=x0x=x_0x=x0 平面上的横截线长度。容易得出其为 2π1x02\pi\dfrac{1}{x_0}2πx01 。则：
S=∫1∞2π1x0dx=2π(lim⁡b→∞ln⁡∣b∣−ln⁡1)S=\int_1^∞2\pi\dfrac{1}{x_0}dx=2\pi\left(\lim_{b\rightarrow ∞}\ln|b|-\ln1\right) S=∫1∞2πx01dx=2π(b→∞limln∣b∣−ln1)
显然， lim⁡b→∞\lim_{b\rightarrow ∞}limb→∞ 时， ln⁡b→∞\ln b\rightarrow ∞lnb→∞ ，因此原积分不收敛。

因此，托里拆利小号的体积为 π\piπ ，而表面积无限。

我们定义，如果对于一个函数 f(x)f(x)f(x) ，存在两个足够小的数 δ,ϵ\delta,\epsilonδ,ϵ ，使其在 x=x0x=x_0x=x0 时，ϵ>∣f(x0+δ)−f(x0)∣>0\epsilon>|f(x_0+\delta)-f(x_0)|>0ϵ>∣f(x0+δ)−f(x0)∣>0 ，则称函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处收敛。

比如，托里拆利小号的体积便在 x0→∞x_0\rightarrow ∞x0→∞ 时，收敛至 π\piπ ，而托里拆利小号的表面积不收敛。

2x06 积分（六）——圆锥和球的体积&证明

小学生都知道，圆锥的体积公式是 V=13πr2hV=\dfrac13\pi r^2hV=31πr2h ，我们来严格的证明一下。

从上往下看，圆锥的截面半径是一个从 000 到 rrr 的正比例函数。

这个截面的斜边斜率恰为 rh\dfrac rhhr 。因此，我们将圆锥在 y=y0y=y_0y=y0 这个平面上的截面面积表示如下：
S=π(ry0h)2S=\pi\left(\dfrac {ry_0}{h}\right)^2 S=π(hry0)2
则体积为
V=∫Sdy=13πr2hV=\int Sdy=\dfrac13\pi r^2h V=∫Sdy=31πr2h

我们现在来计算一下球的体积公式。

设球的半径为 RRR ，
我们把球（我们通过半球来考虑）切成 nnn 片，就是一个一个的圆，设圆的半径分别为 rrr 。

面积为
S(r)=πr2S(r)=\pi r^2 S(r)=πr2
到圆心距离为 xxx 的圆的半径
f(x)=R2−x2f(x)=\sqrt{R^2-x^2} f(x)=R2−x2
可得
V=2∫0RS(f(x))dx=2∫0Rπ(R2−x2)dxV=2\int_0^RS(f(x))dx=2\int_0^R\pi(R^2-x^2)dx V=2∫0RS(f(x))dx=2∫0Rπ(R2−x2)dx
不难提出 RRR ：
=2π(R3−∫0Rx2dx)=2\pi\left(R^3-\int_0^Rx^2dx\right) =2π(R3−∫0Rx2dx)
最终得出 V=43πR3V=\dfrac43\pi R^3V=34πR3 。

想要求球的表面积，只需要求一次导即可，可得 S=4πR2S=4\pi R^2S=4πR2 。因为体积增加了薄薄的一层，就相当于增加了一层表面积。