微分方程_偏微分方程

通过一个经典的物理学例子来了解偏微分方程

金属板上的每一点的某一时刻的温度表示：

在简化到二维，假设有两根温度不同的金属杆，开始时每一根上所有点的温度相同

当它们的一端接触到一起之后，我们知道温度会传导，那么温度如何传导，传导过程中的每一时刻每个点上的温度如何变化

描述系统从一个时刻到另一个时刻的变化量，就是以时间求导的过程

建立坐标系

x轴是杆上的每一点

y轴表示温度

于是我们有了温度随着位置变化的函数T（x）

但这只是某一时刻的杆的温度变化，不同时刻的T（x）是不同的

想象我们有两个输入值，时间和位置，求某一时刻某一点的温度就是T（x，t）

把时间也用坐标轴表示出来

位置的变化引起温度的变化，理解为温度沿x轴方向上的斜率

另外一个导数是时间的微小变化引起的温度变化

这两个导数都只描述了温度函数的一部分，因此叫做偏导数

数学上用小写的∂\partial∂表示偏导数

∂\partial∂t和∂\partial∂x所代表的变化

同时这个符号∂\partial∂所代表的是变量无穷小时这个比值的极限

所以热传导方程就是用偏导数来表示的

说明这个函数相对于时间的变化取决于它相对于空间的变化

由偏导数定义的方程，称为偏微分方程

再简化这个方程，把它看成二维的有限的点对应的温度

假设有一个点，

比左右相邻的两个点的平均值高，会降温

比左右相邻的两个点的平均值低，会升温

也就是说

将相邻两点的平均值T1+T3T2\frac{T_1+T_3}{T_2} \quadT2T1+T3与 T2T_2T2 做差，

结果为正，T2T_2T2 会升温.

结果为负，T2T_2T2 会降温

差值越大，T2T_2T2 的温度变化越快

用公式来表示则

定义一个比例常数a,

重写方程，使其贴近导数语言

用Δ\DeltaΔT2T_2T2和Δ\DeltaΔT1T_1T1表示三个点之间的差值，

可以继续简化表达式

Δ\DeltaΔT2T_2T2-Δ\DeltaΔT1T_1T1表示差值的差值

着同样能表示

Δ\DeltaΔT2T_2T2>Δ\DeltaΔT1T_1T1， T2T_2T2 会升温.

Δ\DeltaΔT2T_2T2<Δ\DeltaΔT1T_1T1，T2T_2T2 会降温.

用Δ\DeltaΔΔ\DeltaΔT1T_1T1来表示差值的差值，

Δ\DeltaΔΔ\DeltaΔT1T_1T1就是“二阶差分”

**二阶差分Δ\DeltaΔΔ\DeltaΔT1T_1T1**表示这一点与相邻两点的均值究竟有多大的区别

最终的结论是：

扩展到无限，连续，二阶差分就是二阶导数

所谓二阶导数就是表示变化趋势的变化速率

拓展到更高维，增加更多的变量，只需要求每个变量的偏导，再加和，同样乘以比例系数

像这样将所有二阶导数相加的运算被称为拉普拉斯算子

通常写作Δ2\Delta^2Δ2TTT

求偏导数实例：

求二元函数f(x,y)=x2y+sin(y)f(x,y)=x^2y+sin(y)f(x,y)=x2y+sin(y)

在点（-1,1）处x的偏导

当我们求x的偏导，就要把y看做常数，常数的导数为0

x2x^2x2的导数为2x

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