初识动态规划（一）简单入门动态规划与上手操作

dp动态规划

一、认识动态规划

前言：近期我在慢慢刷动态规划的题，虽然还是入门阶段，但还是准备记录我动态规划前期是如何刷题过程

先根据一个例题来引入动态规划——换零钱

提出问题：要求使用1,5,11的钞票面额进行换总金额为w的最小张数
分析问题：在兑换的最终情况下（即换一最后一张面额的情况），要么是面额为1，要么5，要么11，所以

我们可以得出：（f(w）表示换w金额需要的最少张数)

f(w) = f(w - 1) + 1; //该式子表示的是如果要得出f(w)，就用前面已得出的f(w - 1) 加上一张面额为1的钞票即可

f(w) = f(w - 5) + 1；//该式子表示的是如果要得出f(w)，就用前面已得出的f(w - 5) 加上一张面额为5的钞票即可

f(w) = f(w - 11) + 1;

故我们可知，若是求最少换零钱的张数就是

f(w - 1) & f(w - 5) & f(w - 11)

三个中最小的那一个

3. 给出具体例子

那么，假如w=15的时候，同样，钞票面额分别为1，5，11，我们该取那种钞票呢？当然是各种方案中，cost值最低的那一个！- 取1：cost = f(14) + 1 = 4 + 1 = 5;- 取5：cost = f(10) + 1 = 2 + 1 = 3；- 取11：cost = f(4) + 1 = 4 + 1 = 5;再次深度解释一下：其中第二个取5的式子：f(10) = f(10 - 5) + 1 = 1 + 1; 即子问题的解；第三个取11的式子：f(4) = f(4 - 1) + 1 = 4;

得出结论

大致我们可以得出，我们所求的就是前面 当前最优值 = 前面最优值 + 1

我们将求解f(w)就可以理解为求解多个子问题来达到求解f(w)

这就是dp --> 动态规划
解决问题的特点
1. 能将大问题拆成几个小问题，且满足无后效性（即不管前面的过程，只需要得出前面的子最优解解即可）
2. 最优子结构性质，能够由子问题推导出结果
3. 详细来说：
  - 求最大最小值
    - 从左上角走到右下角路径的最大数字和
    - 最长上升子序列
    - 最长等差序列
    - 最少换钱张数
  - 计数
    - 有多少种方式走到右下角
    - 有多少种方法选出k个数使得和是sum
    - 爬楼梯
  - 判断
    - 是否存在先手赢，取石子游戏
解题一般步骤
1. 判断是否是最优问题，并存在子问题
2. 确定dp数组用一维或者更多，并且表示什么意思
3. 比如dp[i][j】，表示为从i下标到j下标长度的回文子串个数
4. 推导出dp状态方程，和判断条件
5. 确定好dp初始数组长度，和是否设立初始值
6. 选用合适的循环条件达到自己的目的

二、下面进行具体刷动规的题型

斐波那契数
零钱兑换
最长递增子序列
爬楼梯

斐波那契数

斐波那契数（通常用 F(n) 表示）形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
```
class Solution {public int fib(int n) {//动态规划 dp[i] 表示的是第i个数表示的值if (n == 0) return 0;  //处理特殊情况int []dp = new int[n + 1];    //数组长度初始化，一般情况下多一点dp[0] = 0;    //初始化dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++){    //循环过程dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];  //状态方程}return dp[n];    //得到最终结果}
}
```

零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/coin-change
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {//动态规划int[] dp = new int[amount+1];Arrays.fill(dp, amount+1);//base casedp[0] = 0;// 外层的for循环在遍历时实现遍历所有状态的所有取值for(int i = 0; i < dp.length; i++){// 内层for循环求在所有选择中的最小值for(int coin : coins){//子问题无解,跳过if(i - coin < 0){continue;}//状态转移dp[i] = Math.min(dp[i],1+dp[i-coin]);}}//查看金额能不能算出来return (dp[amount] == amount+1 ? -1 : dp[amount]);//暴力递归——超时// if (amount == 0){//     return 0;// }// if (amount < 0){//     return -1;// }// int min = Integer.MAX_VALUE;// for (int i = 0; i < coins.length; i++){//     int temp = coinChange(coins, amount - coins[i]);//     if (temp == -1){continue;}//     min = Math.min(min, temp + 1);// }// return min == Integer.MAX_VALUE ? -1 : min;}
}

最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {//动态规划if (nums == null || nums.length == 0){return 0;}//求最优解，利用dp，输出为长度，故new一维dp数组，dp[i]初始为1，状态为nums[i]和nums[j]大小比较，更新状态值//dp[i]表示的是长度为i + 1的数组最大递增子序列int len = nums.length;int result = 1;int []dp = new int[len + 1];Arrays.fill(dp, 1); //填充dp数组,全部为1for (int i = 1; i < len; i++){for (int j = 0; j < i; j++){if (nums[j] < nums[i]){   //判断条件dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1); //状态转移}result = Math.max(dp[i], result);   //由于有子问题最大值，故设立变量result更新最大值}}return result; //输出dp[len - 1]为长度为len - 1的数组最大递增子序长度}
}

爬楼梯
1. 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
  
  每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
  
  示例 1：
  
  输入：n = 2
  输出：2
  解释：有两种方法可以爬到楼顶。
  1. 1 阶 + 1 阶
  2. 2 阶
    示例 2：
  输入：n = 3
  输出：3
  解释：有三种方法可以爬到楼顶。
  1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
  2. 1 阶 + 2 阶
  3. 2 阶 + 1 阶
  来源：力扣（LeetCode）
  链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs
  著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
```
class Solution {public int climbStairs(int n) {//dp[i] 表示的是爬到第i阶方法数int []dp = new int[n + 1];dp[0] = 1;  //初始化dp[0]为1——>以至于后面for循环dp[2]能够得出正确答案，只要1和2是正确答案，后面可得正确取值dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++){dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; //分为1步和2步两种情况，并且求种数，为两者之和}return dp[n];}
}
```

总结：看完这几道例题，大家也许会发现主要还是dp一维数组，并且算是比较简单的，但是对于刚开始入门动规的话，应该能够起到一定的作用，力扣上面也有一个动态规划计划集，我暂时也是根据上面做的。大家有兴趣可以去跟着做一做。如有不足，请与我联系更改。

我把链接放在这里，大家有兴趣可以试试：力扣-动态规划入门

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