tanh函数

tanh(x)=e2x−1e2x+1tanh′(x)=1−tanh(x)2

证明

∂tanh(x)∂x=(1−2e2x+1)′=2⋅2e2x(e2x+1)2=4e2x(e2x+1)2=(e2x+1)2−(e2x−1)2(e2x+1)2=1−(e2x−1e2x+1)2=1−tanh(x)2(10)(11)(12)(13)(14)(15)

神经网络激活函数及导数

1、Sigmoid函数

Sigmoid 是使用范围最广的一类激活函数，具有指数函数形状。正式定义为：

代码：

x=-10:0.001:10;
%sigmoid和它的导数
sigmoid=1./(1+exp(-x));
sigmoidDer=exp(-x)./((1+exp(-x)).^2);
figure;
plot(x,sigmoid,‘r‘,x,sigmoidDer,‘b--‘);
axis([-10 10 -1 1]);
grid on;
title(‘Sigmoid函数（实线）及其导数（虚线）‘);
legend(‘Sigmoid原函数‘,‘Sigmid导数‘);
set(gcf,‘NumberTitle‘,‘off‘);
set(gcf,‘Name‘,‘Sigmoid函数（实线）及其导数（虚线）‘);

输出：

可见，sigmoid 在定义域内处处可导，且两侧导数逐渐趋近于0，即：

Bengio 教授等将具有这类性质的激活函数定义为软饱和激活函数。与极限的定义类似，饱和也分为左侧软饱和与右侧软饱和：

左侧软饱和：

右侧软饱和：

与软饱和相对的是硬饱和激活函数，即：f‘(x)=0，当 |x| > c，其中 c 为常数。

同理，硬饱和也分为左侧硬饱和和右侧硬饱和。常见的ReLU 就是一类左侧硬饱和激活函数。

Sigmoid 的软饱和性，使得深度神经网络在二三十年里一直难以有效的训练，是阻碍神经网络发展的重要原因。具体来说，由于在后向传递过程中，sigmoid向下传导的梯度包含了一个f‘(x) 因子（sigmoid关于输入的导数），因此一旦输入落入饱和区，f‘(x) 就会变得接近于0，导致了向底层传递的梯度也变得非常小。此时，网络参数很难得到有效训练。这种现象被称为梯度消失。一般来说， sigmoid 网络在 5 层之内就会产生梯度消失现象[Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks]。梯度消失问题至今仍然存在，但被新的优化方法有效缓解了，例如DBN中的分层预训练，Batch Normalization的逐层归一化，Xavier和MSRA权重初始化等代表性技术。

Sigmoid 的饱和性虽然会导致梯度消失，但也有其有利的一面。例如它在物理意义上最为接近生物神经元。(0, 1) 的输出还可以被表示作概率，或用于输入的归一化，代表性的如Sigmoid交叉熵损失函数

代码：

x=-10:0.001:10;
tanh=(exp(x)-exp(-x))./(exp(x)+exp(-x));
tanhDer=1-tanh.^2;
figure;
plot(x,tanh,‘r‘,x,tanhDer,‘b--‘);
grid on;
title(‘tanh函数（实线）及其导数（虚线）‘);
legend(‘tanh原函数‘,‘tanh导数‘);
set(gcf,‘NumberTitle‘,‘off‘);
set(gcf,‘Name‘,‘tanh函数（实线）及其导数（虚线）‘);

输出：

tanh也具有软饱和性。[Backpropagation applied to handwritten zip code recognition]中提到tanh网络的收敛速度要比sigmoid快。因为tanh的输出均值比sigmoid更接近0，SGD会更接近 natural gradient[Natural gradient works efficiently in learning]（一种二次优化技术），从而降低所需的迭代次数。

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