1. 不同类型的角点

在现实世界中，角点对应于物体的拐角，道路的十字路口、丁字路口等。从图像分析的角度来定义角点可以有以下两种定义：

1. 角点可以是两个边缘的角点；
2. 角点是邻域内具有两个主方向的特征点；

前者往往需要对图像边缘进行编码，这在很大程度上依赖于图像的分割与边缘提取，具有相当大的难度和计算量，且一旦待检测目标局部发生变化，很可能导致操作的失败。早期主要有Rosenfeld和Freeman等人的方法，后期有CSS等方法。

基于图像灰度的方法通过计算点的曲率及梯度来检测角点，避免了第一类方法存在的缺陷，此类方法主要有Moravec算子、Forstner算子、Harris算子、SUSAN算子等。

这篇文章主要介绍的Harris角点检测的算法原理，比较著名的角点检测方法还有jianbo Shi和Carlo Tomasi提出的Shi-Tomasi算法，这个算法开始主要是为了解决跟踪问题，用来衡量两幅图像的相似度，我们也可以把它看为Harris算法的改进。OpenCV中已经对它进行了实现，接口函数名为GoodFeaturesToTrack()。另外还有一个著名的角点检测算子即SUSAN算子，SUSAN是Smallest Univalue Segment Assimilating Nucleus（最小核值相似区）的缩写。SUSAN使用一个圆形模板和一个圆的中心点，通过圆中心点像素与模板圆内其他像素值的比较，统计出与圆中心像素近似的像元数量，当这样的像元数量小于某一个阈值时，就被认为是要检测的角点。我觉得可以把SUSAN算子看为Harris算法的一个简化。这个算法原理非常简单，算法效率也高，所以在OpenCV中，它的接口函数名称为：FAST() 。

2. Harris角点

2.1 基本原理

人眼对角点的识别通常是在一个局部的小区域或小窗口完成的。如果在各个方向上移动这个特征的小窗口，窗口内区域的灰度发生了较大的变化，那么就认为在窗口内遇到了角点。如果这个特定的窗口在图像各个方向上移动时，窗口内图像的灰度没有发生变化，那么窗口内就不存在角点；如果窗口在某一个方向移动时，窗口内图像的灰度发生了较大的变化，而在另一些方向上没有发生变化，那么，窗口内的图像可能就是一条直线的线段。

对于图像I(x,y)，当在点(x,y)处平移(Δx,Δy)后的自相似性，可以通过自相关函数给出：

其中，W(x,y)是以点(x,y)为中心的窗口，w(u,v)为加权函数，它既可是常数，也可以是高斯加权函数。

根据泰勒展开，对图像I(x,y)在平移(Δx,Δy)后进行一阶近似：

其中，Ix,Iy是图像I(x,y)的偏导数，这样的话，自相关函数则可以简化为：

其中

也就是说图像I(x,y)在点(x,y)处平移(Δx,Δy)后的自相关函数可以近似为二项函数：

其中

二次项函数本质上就是一个椭圆函数。椭圆的扁率和尺寸是由M(x,y)的特征值λ1、λ2决定的，椭贺的方向是由M(x,y)的特征矢量决定的，如下图所示，椭圆方程为：

椭圆函数特征值与图像中的角点、直线（边缘）和平面之间的关系如下图所示。共可分为三种情况：

• 图像中的直线。一个特征值大，另一个特征值小，λ1?λ2或λ2?λ1。自相关函数值在某一方向上大，在其他方向上小。
• 图像中的平面。两个特征值都小，且近似相等；自相关函数数值在各个方向上都小。
• 图像中的角点。两个特征值都大，且近似相等，自相关函数在所有方向都增大。

  

根据二次项函数特征值的计算公式，我们可以求M(x,y)矩阵的特征值。但是Harris给出的角点差别方法并不需要计算具体的特征值，而是计算一个角点响应值R来判断角点。R的计算公式为：

式中，detM为矩阵M=[ABBC]的行列式；traceM为矩阵M的直迹；α为经常常数，取值范围为0.04~0.06。事实上，特征是隐含在detM和traceM中，因为，

2.2 Harris角点算法实现

根据上述讨论，可以将Harris图像角点检测算法归纳如下，共分以下五步：

1. 计算图像I(x,y)在X和Y两个方向的梯度Ix、Iy。

2. 计算图像两个方向梯度的乘积。

3. 使用高斯函数对I2x、I2y和Ixy进行高斯加权（取σ=1），生成矩阵M的元素A、B和C。

4. 计算每个像素的Harris响应值R，并对小于某一阈值t的R置为零。

5. 在3×3或5×5的邻域内进行非最大值抑制，局部最大值点即为图像中的角点。

Harris角点检测的C++实现代码：https://github.com/RonnyYoung/ImageFeatures/blob/master/source/harris.cpp

2.3 Harris角点的性质

1. 参数α对角点检测的影响

假设已经得到了矩阵M的特征值λ1≥λ2≥0，令λ2=kλ1,0≤k≤1。由特征值与矩阵M的直迹和行列式的关系可得：

从而可以得到角点的响应

假设R≥0，则有：

对于较小的k值，R≈λ2(k?α),α<k。

由此，可以得出这样的结论：增大α的值，将减小角点响应值R，降低角点检测的灵性，减少被检测角点的数量；减小α值，将增大角点响应值R，增加角点检测的灵敏性，增加被检测角点的数量。

2. Harris角点检测算子对亮度和对比度的变化不敏感

这是因为在进行Harris角点检测时，使用了微分算子对图像进行微分运算，而微分运算对图像密度的拉升或收缩和对亮度的抬高或下降不敏感。换言之，对亮度和对比度的仿射变换并不改变Harris响应的极值点出现的位置，但是，由于阈值的选择，可能会影响角点检测的数量。

3. Harris角点检测算子具有旋转不变性

Harris角点检测算子使用的是角点附近的区域灰度二阶矩矩阵。而二阶矩矩阵可以表示成一个椭圆，椭圆的长短轴正是二阶矩矩阵特征值平方根的倒数。当特征椭圆转动时，特征值并不发生变化，所以判断角点响应值R也不发生变化，由此说明Harris角点检测算子具有旋转不变性。

4. Harris角点检测算子不具有尺度不变性

如下图所示，当右图被缩小时，在检测窗口尺寸不变的前提下，在窗口内所包含图像的内容是完全不同的。左侧的图像可能被检测为边缘或曲线，而右侧的图像则可能被检测为一个角点。

2.4 Harris的OpenCV接口

OpenCV的Hairrs角点检测的函数为cornerHairrs()，但是它的输出是一幅浮点值图像，浮点值越高，表明越可能是特征角点，我们需要对图像进行阈值化。

C++: void cornerHarris(InputArray src, OutputArray dst, int blockSize, int apertureSize, double k, int borderType = BORDER_DEFAULT);

• src – 输入的单通道8-bit或浮点图像。
• dst – 存储着Harris角点响应的图像矩阵，大小与输入图像大小相同，是一个浮点型矩阵。
• blockSize – 邻域大小。
• apertureSize – 扩展的微分算子大。
• k – 响应公式中的，参数α。
• boderType – 边界处理的类型。

int main()
{Mat image = imread("../buliding.png");Mat gray;cvtColor(image, gray, CV_BGR2GRAY);Mat cornerStrength;cornerHarris(gray, cornerStrength, 3, 3, 0.01);threshold(cornerStrength, cornerStrength, 0.001, 255, THRESH_BINARY);return 0;
}

从上面上间一幅图像我们可以看到，有很多角点都是粘连在一起的，我们下面通过加入非极大值抑制来进一步去除一些粘在一起的角点。

非极大值抑制原理是，在一个窗口内，如果有多个角点则用值最大的那个角点，其他的角点都删除，窗口大小这里我们用3*3，程序中通过图像的膨胀运算来达到检测极大值的目的，因为默认参数的膨胀运算就是用窗口内的最大值替代当前的灰度值。

int main()
{Mat image = imread("buliding.png");Mat gray;cvtColor(image, gray, CV_BGR2GRAY);Mat cornerStrength;cornerHarris(gray, cornerStrength, 3, 3, 0.01);double maxStrength;double minStrength;// 找到图像中的最大、最小值minMaxLoc(cornerStrength, &minStrength, &maxStrength);Mat dilated;Mat locaMax;// 膨胀图像，最找出图像中全部的局部最大值点dilate(cornerStrength, dilated, Mat());// compare是一个逻辑比较函数，返回两幅图像中对应点相同的二值图像compare(cornerStrength, dilated, locaMax, CMP_EQ);Mat cornerMap;double qualityLevel = 0.01;double th = qualityLevel*maxStrength; // 阈值计算threshold(cornerStrength, cornerMap, th, 255, THRESH_BINARY);cornerMap.convertTo(cornerMap, CV_8U);// 逐点的位运算bitwise_and(cornerMap, locaMax, cornerMap);drawCornerOnImage(image, cornerMap);namedWindow("result");imshow("result", image);waitKey();return 0;
}
void drawCornerOnImage(Mat& image, const Mat&binary)
{Mat_<uchar>::const_iterator it = binary.begin<uchar>();Mat_<uchar>::const_iterator itd = binary.end<uchar>();for (int i = 0; it != itd; it++, i++){if (*it)circle(image, Point(i%image.cols, i / image.cols), 3, Scalar(0, 255, 0), 1);}
}

现在我们得到的效果就比默认的函数得到的结果有相当的改善，如上面最右边效果图。

3. 多尺度Harris角点

3.1 多尺度Harris角点的原理

虽然Harris角点检测算子具有部分图像灰度变化的不变性和旋转不变性，但它不具有尺度不变性。但是尺度不变性对图像特征来说至关重要。人们在使用肉眼识别物体时，不管物体远近，尺寸的变化都能认识物体，这是因为人的眼睛在辨识物体时具有较强的尺度不变性。在图像特征提取：尺度空间理论这篇文章里就已经讲到了高斯尺度空间的概念。下面将Harris角点检测算子与高斯尺度空间表示相结合，使用Harris角点检测算子具有尺度的不变性。

仿照Harris角点检测中二阶矩的表示方法，使用M=μ(x,σI,σD)为尺度自适应的二阶矩：

其中，g(σI)表示尺度为sigmaI的高斯卷积核，x表示图像的位置。与高斯测度空间类似，使用L(x)表示经过高斯平滑后的图像，符号?表示卷积，Lx(x,σD)和Ly(x,σD)表示对图像使用高斯g(σD)函数进行平滑后，在x或y方向取其微分的结果，即Lx=?xL和Ly=?yL。通常将σI称为积分尺度，它是决定Harris角点当前尺度的变量，σD为微分尺度或局部尺度，它是决定角点附近微分值变化的变量。显然，积分尺度σI应该大于微分尺度σD。

3.2 多尺度Harris角点实现

首先，检测算法从预先定义的一组尺度中进行积分尺度搜索，这一组尺度定义为

一般情况下使用k=1.4。为了减少搜索的复杂性，对于微分尺度σD的选择，我们采用在积分尺度的基础上，乘以一个比例常数，即σD=sσI，一般取s=0.7。这样，通常使用积分和微分的尺度，便可以生成μ(x,σI,σD)，再利用Harris角点判断准则，对角点进行搜索，具体可以分两步进行。

1. 与Harris角点搜索类似，对于给定的尺度空间值σD，进行如下角点响应值计算和判断：

2. 对于满足1中条件的点，在点的8邻域内进行角点响应最大值搜索（即非最大值抑制）出在8邻域内角点响应最大值的点。对于每个尺度σn(1,2,…,n)都进行如上搜索。

由于位置空间的候选点并不一定在尺度空间上也能成为候选点，所以，我们还要在尺度空间上进行搜索，找到该点的所谓特征尺度值。搜索特征尺度值也分两步。

1. 对于位置空间搜索到的每个候选点，进行拉普拉斯响应计算，并满足其绝对值大于给定的阈值条件：

2. 与邻近的两个尺度空间的拉普拉斯响应值进行比较，使其满足：

满足上述条件的尺度值就是该点的特征尺度值。这样，我们就找到了在位置空间和尺度空间都满足条件的Harris角点。

多尺度Harris角点检测C++实现：https://github.com/RonnyYoung/ImageFeatures/blob/master/source/harrisLaplace.cpp

4. 更多的讨论

在上面描述的Harris角点具有光照不变性、旋转不变性、尺度不变性，但是严格意义上来说并不具备仿射不变性。Harris-Affine是一种新颖的检测仿射不变特征点的方法，可以处理明显的仿射变换，包括大尺度变化和明显的视角变化。Harris-Affine主要是依据了以下三个思路：

1. 特征点周围的二阶矩的计算对区域进行的归一化，具有仿射不变性；
2. 通过在尺度空间上归一化微分的局部极大值求解来精化对应尺度；
3. 自适应仿射Harris检测器能够精确定位牲点；

这篇文章不对Harris-Affine作进一步的描述，有时间会对这一算法做专门的分析，有兴趣的可以参考原论文：Scale & Affine Invariant Interest Point Detectors.

5. 参考资料

[1] 《图像局部不变特征与描述》王永明，王贵锦。

[2] Harris角点及Shi-Tomasi角点检测

[3] 图像特征提取PPT

[4] Harris角点检测算法 1

[5] OpenCV Harris角点检测

[6] Opencv学习笔记（五）Harris角点检测