二次剩余，二次同余方程

定义：

对于方程x2≡n(mod p) , nx^2\equiv n (mod \;p)\;,\;nx2≡n(modp),n为p的二次剩余 , x为该二次同余方程的解

就如字面意思一样 , n就是一个二次项%p后的剩余

应用：

求n%p ,\sqrt{n}\%p\;,n%p,若n为p的二次剩余 , 那么很明显n%p=x%p\sqrt{n}\%p=x\%pn%p=x%p

简单的说 , 如果该二次同余方程有解，那么n可以在模p的意义下开根号。

二次同余方程求解(%奇素数)：

勒让德符号(legender symbol)→(np)\to (\dfrac{n}{p})→(pn)
表示n是否为p的二次剩余 , 1和-1表示是与否 , 0表示n为0的情况

定理 1:

(np)=np−12(mod p)(\dfrac{n}{p})=n^{\frac{p-1}{2}}(mod\;p)(pn)=n2p−1(modp)

也就是说知道了n和p相当于知道了这个符号的值

定理 2:

若找到一个a使 a2−n=w,且(wp)=−1a^2-n=w , 且(\dfrac{w}{p})=-1a2−n=w,且(pw)=−1

则x=(n+w)p+12x=(n+\sqrt w)^{\frac{p+1}{2}}x=(n+w)2p+1为x2≡n(mod p)x^2\equiv n(mod \;p)x2≡n(modp)的解

定理3可以证明随意找一个a就有50%的几率符合要求

定理 3:

对于二次同余方程x2≡n(mod p)x^2\equiv n(mod\;p)x2≡n(modp)有p−12+1\frac{p-1}{2}+12p−1+1个n使此方程有解

本篇博客不进行定理的证明 , 因为过程打出来会过于冗长 , 很多初学者都会对这种一大段的证明心生畏惧 .

代码实现：

#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)
LL quick_mod(LL a, LL b, LL c) {LL ans = 1;while (b) {if (b % 2 == 1)ans = (ans*a) % c;b /= 2;a = (a*a) % c;}return ans;
}LL p;
LL w;//二次域的D值
bool ok;//是否有解struct QuadraticField { //二次域LL x, y;QuadraticField operator*(QuadraticField T) { //二次域乘法重载QuadraticField ans;ans.x = (this->x*T.x%p + this->y*T.y%p*w%p) % p;ans.y = (this->x*T.y%p + this->y*T.x%p) % p;return ans;}QuadraticField operator^(LL b) { //二次域快速幂QuadraticField ans;QuadraticField a = *this;ans.x = 1;ans.y = 0;while (b) {if (b & 1) {ans = ans*a;b--;}b /= 2;a = a*a;}return ans;}
};LL Legender(LL a) { //求勒让德符号LL ans=quick_mod(a, (p - 1) / 2, p);if (ans + 1 == p)//如果ans的值为-1，%p之后会变成p-1。return -1;elsereturn ans;
}LL Getw(LL n, LL a) { //根据随机出来a的值确定对应w的值return ((a*a - n) % p + p) % p;//防爆处理
}LL Solve(LL n) {LL a;if (p == 2)//当p为2的时候，n只会是0或1，然后0和1就是对应的解return n;if (Legender(n) == -1)//无解ok = false;srand((unsigned)time(NULL));while (1) { //随机a的值直到有解a = random(0, p - 1);w = Getw(n, a);if (Legender(w) == -1)break;}QuadraticField ans,res;res.x = a;res.y = 1;//res的值就是a+根号wans = res ^ ((p + 1) / 2);return ans.x;
}int main() {LL n,ans1,ans2;while (scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF) {ok = true;n %= p;ans1 = Solve(n);ans2 = p - ans1;//一组解的和是pif (!ok) {printf("No root\n");continue;}if (ans1 == ans2)printf("%lld\n", ans1);elseprintf("%lld %lld\n", ans1, ans2);}
}

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