【FLOW学习笔记】流模型（Flow-based Model）详解

完整笔记：http://www.gwylab.com/note-flow_based_model.html
李宏毅老师的视频教程：/www.bilibili.com/video/av46561029/?p=59
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前言

· Flow-based模型的不同之处

从去年GLOW提出之后，我就一直对基于流（flow）的生成模型是如何实现的充满好奇，但一直没有彻底弄明白，直到最近观看了李宏毅老师的教程之后，很多细节都讲解地比较清楚，就想好好写篇笔记来梳理一下流模型的运作原理。

首先来简单介绍一下流模型，它是一种比较独特的生成模型——它选择直接直面生成模型的概率计算，也就是把分布转换的积分式（）给硬算出来。要知道现阶段其他较火的生成模型，要么采用优化上界或采用对抗训练的方式去避开概率计算，从而寻找近似逼近真实分布的方法，但是流模型选择了一条硬路（主要是通过变换Jacobian行列式）来求解，在后文会详细介绍。

流模型有一个非常与众不同的特点是，它的转换通常是可逆的。也就是说，流模型不仅能找到从A分布变化到B分布的网络通路，并且该通路也能让B变化到A，简言之流模型找到的是一条A、B分布间的双工通路。当然，这样的可逆性是具有代价的——A、B的数据维度必须是一致的。

A、B分布间的转换并不是轻易能做到的，流模型为实现这一点经历了三个步骤：最初的NICE实现了从A分布到高斯分布的可逆求解；后来RealNVP实现了从A分布到条件非高斯分布的可逆求解；而最新的GLOW，实现了从A分布到B分布的可逆求解，其中B分布可以是与A分布同样复杂的分布，这意味着给定两堆图片，GLOW能够实现这两堆图片间的任意转换。

下面就是流模型学习笔记的正文，尽可能较简明地讲解清楚流模型的运行机制。

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1. Flow-based Model的建模思维

首先来回顾一下生成模型要解决的问题：

如上图所示，给定两组数据z和x，其中z服从已知的简单先验分布π(z)（通常是高斯分布），x服从复杂的分布p(x)（即训练数据代表的分布），现在我们想要找到一个变换函数f，它能建立一种z到x的映射，使得每对于π(z)中的一个采样点，都能在p(x)中有一个（新）样本点与之对应。

如果这个变换函数能找到的话，那么我们就实现了一个生成模型的构造。因为，p(x)中的每一个样本点都代表一张具体的图片，如果我们希望机器画出新图片的话，只需要从π(z)中随机采样一个点，然后通过，得到新样本点x，也就是对应的生成的具体图片。

所以，接下来的关键在于，这个变换函数f如何找呢？我们先来看一个最简单的例子。

如上图所示，假设z和x都是一维分布，其中z满足简单的均匀分布：，x也满足简单均匀分布：。

那么构建z与x之间的变换关系只需要构造一个线性函数即可：x=f(z)=2z+1。

下面再考虑非均匀分布的更复杂的情况:

如上图所示，π(z)与p(x)都是较为复杂的分布，为了实现二者的转化，我们可以考虑在很短的间隔上将二者视为简单均匀分布，然后应用前边方法计算小段上的，最后将每个小段变换累加起来（每个小段实际对应一个采样样本）就得到最终的完整变换式f。

如上图所示，假设在[?′,?′+∆?]上π(z)近似服从均匀分布，在[x′,x′+∆x]上p(x)也近似服从均匀分布，于是有?(?′ )∆?=?(?′ )∆?（因为变换前后的面积/即采样概率是一致的），当∆x与∆?极小时，有：

又考虑到有可能是负值（如下图所示），而都为非负，所以的实际关系为：。

下面进一步地做推广，我们考虑z与x都是二维分布的情形。

如上图所示，z与x都是二维分布，左图中浅蓝色区域表示初始点在方向上移动Δ，在方向上移动Δ所形成的区域，这一区域通过映射，形成右图所示x域上的浅绿色菱形区域。其中，二维分布π(z)与p(x)均服从简单均匀分布，其高度在图中未画出（垂直纸面向外）。

因为蓝色区域与绿色区域具有相同的体积，所以有：

其中代表行列式计算，它的计算结果等于上图中浅绿色区域的面积（行列式的定义）。下面我们将移至左侧，得到：

即：

在，很小时，有：

即：

其中表示f运算的雅各比行列式，根据雅各比行列式的逆运算，我们得到:

其中代表从x变换为z的变换式，即：。

至此，我们得到了一个比较重要的结论：如果z与x分别满足两种分布，并且z通过函数f能够转变为x，那么z与x中的任意一组对应采样点与之间的关系为：

那么基于这一结论，再带回到生成模型要解决的问题当中，我们就得到了Flow-based Model（流模型）的初步建模思维。

如上图所示，为了实现到间的转化，待求解的生成器G的表达式为：

基于前面推导，我们有中的样本点与中的样本点间的关系为：

其中。

所以，如果的目标式能够通过上述关系式求解出来，那么我们就实现了一个完整的生成模型的求解。Flow-based Model就是基于这一思维进行理论推导和模型构建，下面将会详细解释Flow-based Model的求解过程。

2. Flow-based Model的理论推导&架构设计

我们关注一下上一章中引出的式子：

，

将其取log，得到：

现在，如果想直接求解这个式子有两方面的困难。第一个困难是，是不好计算的——由于的Jacobian矩阵一般维度不低（譬如256*256矩阵），其行列式的计算量是异常巨大的，所以在实际计算中，我们必须对的Jacobian行列式做一定优化，使其能够在计算上变得简洁高效。第二个困难是，表达式中出现了，这意味着我们要知道长什么样子，而我们的目标是求G，所以这需要巧妙地设计G的结构使得也是好计算的。

下面我们来逐步设计G的结构，首先从最基本的架构开始构思。考虑到必须是存在的且能被算出，这意味着G的输入和输出的维度必须是一致的并且G的行列式不能为0。然后，既然可以计算出来，而的目标表达式只与有关，所以在实际训练中我们可以训练对应的网络，然后想办法算出G来并且在测试时改用G做图像生成。

如上图所示，在训练时我们从真实分布中采样出，然后去训练，使得通过生成的满足特定的先验分布；接下来在测试时，我们从z中采样出一个点，然后通过G生成的样本就是新的生成图像。

接下来开始具体考虑G的内部设计，为了让可以计算并且G的Jacobian行列式也易于计算，Flow-based Model采用了一种称为耦合层（Coupling Layer）的设计来实现。

如上图所示，z和x都会被拆分成两个部分，分别是前1~d维和后d+1~D维。从z变化为x的计算式为：z的1~d维直接复制（copy）给x的1~d维；z的d+1~D维分别通过F和H两个函数变换为和，然后通过的仿射计算（affine）传递给x。综上，由z传给x的计算式可以写为：

其逆运算的计算式，即由x传给z的计算式，可以非常方便地推导出来为：

上面我们说明了，这样设计的耦合层能快速计算出，下面我们来说明，其在G的Jacobian行列式的计算上也是非常简便。

上图展示了G的Jacobian行列式的计算矩阵。首先由于直接传递给所以Jacobian矩阵的左上角区域是单位矩阵I，然后完全不受影响，所以Jacobian矩阵的右上角区域是零矩阵O，这导致Jacobian矩阵的左下角区域的值对Jacobian矩阵行列式的计算没有影响，也就无需考虑。最后我们关注Jacobian矩阵的右下角区域，由于)，所以只有在的情况下，而在处，所以Jacobian矩阵的右下角区域是一个对角矩阵。

最终，该G的Jacobian的行列式计算式就表示为：

这确实是一个易于计算的简单表达式。接下来可以考虑，由于上述措施对G做了诸多限制，导致G的变换能力有限，所以我们可以堆叠多个G，去增强模型的变换拟合能力。

如上图所示，我们将多个耦合层堆叠在一起，从而形成一个更完整的生成器。但是这样会有一个新问题，就是最终生成数据的前d维与初始数据的前d维是一致的，这会导致生成数据中总有一片区域看起来像是固定的图样（实际上它代表着来自初始高斯噪音的一个部分），我们可以通过将复制模块（copy）与仿射模块（affine）交换顺序的方式去解决这一问题。

如上图所示，通过将某些耦合层的copy与affine模块进行位置上的互换，使得每一部分数据都能走向copy->affine->copy->affine的交替变换通道，这样最终的生成图像就不会包含完全copy自初始图像的部分。值得说明的是，在图像生成当中，这种copy与affine模块互换的方式有很多种，下面举两个例子来说明：

上图展示了两种按照不同的数据划分方式做copy与affine的交替变换。左图代表的是在像素维度上做划分，即将横纵坐标之和为偶数的划分为一类，和为奇数的划分为另外一类，然后两类分别交替做copy和affine变换（两两交替）；右图代表的是在通道维度上做划分，通常图像会有三通道，那么在每一次耦合变换中按顺序选择一个通道做copy，其他通道做affine（三个轮换交替），从而最终变换出我们需要的生成图形出来。

更进一步地，如何进行copy和affine的变换能够让生成模型学习地更好，这是一个可以由机器来学习的部分，所以我们引入W矩阵，帮我们决定按什么样的顺序做copy和affine变换，这种方法叫做1×1 convolution（被用于知名的GLOW当中）。1×1 convolution只需要让机器决定在每次仿射计算前对图片哪些区域实行像素对调，而保持copy和affine模块的顺序不变，这实际上和对调copy和affine模块顺序产生的效果是一致的。

这种对调的原理非常简单，如上图所示举例，假设我们需要将（3,1,2）向量替换成（1,2,3）向量，只需要将w矩阵定义为图中所示矩阵即可。下面我们看一下，将w引入flow模型之后，对于原始的Jacobian行列式的计算是否会有影响。

对于每一个3*3维划分上的仿射操作来说，由我们可以得到f的Jacobian行列式的计算结果为：

代入到整个含有d个3*3维的仿射变换矩阵当中，得到最终的Jacobian行列式的计算结果就为：，如下图所示：

因此，引入1×1 convolution后的G的Jacobian行列式计算依然非常简单，所以引入1×1 convolution是可取的，这也是GLOW这篇Paper最有突破和创意的地方。

综上，关于Flow-based Model的理论讲解和架构分析就全部结束了，它通过巧妙地构造仿射变换的方式实现不同分布间的拟合，并实现了可逆计算和简化雅各比行列式计算的功能和优点，最终我们可以通过堆叠多个这样的耦合层去拟合更复杂的分布变化（如上图所示），从而达到生成模型需要的效果。