LOJ6356四色灯

Description

Problem

Solution

原问题可以转化为求 $\sum_{S\subseteq All}\sum_{i=1}^{n} [(\sum_{j\in S}[v(j)|i])\equiv 0(mod 4)]$ ，最后再乘上一个 $\frac{1}{2^{m}}$

那么考虑容斥得到每一种集合 $S$ 的贡献，推一下容斥系数。

设 $P(x)$ 表示集合大小为 $x$ 时的容斥系数。

$P(0)=1$ ，此时相当于没有选任何操作，那么 $[1,n]$ 中所有灯都是红色。

$P(i)=[i\equiv 0(mod 4)]-\sum_{j=0}^{i-1}\binom{i}{j}*P(j)$ ，此时如果被选了 $4$ 的倍数次，那么最后容斥出来系数肯定应该是 $1$ ，还要减去之前的容斥系数对这一次的影响，假设之前的集合大小为 $j$ ，并且这些集合包含于大小于 $i$ 的集合，这样的集合应该有 $\binom{i}{j}$ 个。

设 $Lcm(S)$ 表示集合 $S$ 的最小公倍数，那我们就可以把 $Ans=\sum_{S\subseteq All}\sum_{i=1}^{n} [(\sum_{j\in S}[v(j)|i])\equiv 0(mod 4)]$ 用上述量表示出来了。

$Ans=\sum_{S\subseteq All}\sum_{T\subseteq S}P(siz(T))*\left \lfloor \frac{n}{Lcm(T)} \right \rfloor$ ，发现这个式子本质上就是给予了每个集合一个权值，然后枚举每个集合，对其所有子集求权值和。这可以用 $Fwt$ 或者 $dp$ ， $O(\fac{2}^{m}*m)$ 算出。

总的时间复杂度 $O(\fac{2}^{m}*m)$ 。

Code_by_uselessName

#include<algorithm>
#include<iostream>
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#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#define GET getchar()
#define LL long long
using namespace std;namespace FastIO{const LL L=(1<<20);char buf[L],*S,*T;#ifdef ONLINE_JUDGEinline char getchar(){if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,L,stdin);if(S==T)return EOF;}return *S++;}#endifinline LL read(){LL s=0,f=1;char t=GET;while('0'>t||t>'9'){if(t=='-')f=-1;t=GET;}while('0'<=t&&t<='9'){s=(s<<1)+(s<<3)+t-'0';t=GET;}return s*f;}
}
using FastIO::read;const LL N=25;
const LL Mod=998244353;
LL m,n,val[N],inv;LL Fpow(LL a,LL b){LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%Mod;b>>=1;a=a*a%Mod;}return ans;
}namespace Fast_Storm{const LL _N=(1<<20);LL gcd(LL a,LL b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);}LL lcm(LL a,LL b){return a/gcd(a,b)*b;}LL Lcm[_N],siz[_N],Sum[_N],C[N][N],P[N],Ans;void Pre(LL up=20){C[0][0]=1;for(LL i=1;i<=up;i++){C[i][0]=C[i][i]=1;for(LL j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%Mod;}}LL Upper(LL x){return (x%Mod+Mod)%Mod;}void M(LL &x){if(x>=Mod)x-=Mod;if(x<0)x+=Mod;}void Fwt(LL Max){for(LL i=1;i<Max;i<<=1)for(LL j=0;j<Max;j+=(i<<1))for(LL k=0;k<i;k++)M(Sum[i+j+k]+=Sum[j+k]);}void Solve(){Pre();LL All=(1<<m)-1;for(LL i=0;i<=m;i++){P[i]=(i%4==0);for(LL j=0;j<i;j++)M(P[i]-=C[i][j]*P[j]%Mod);}Lcm[0]=1;for(LL S=0,pos;S<=All;S++){if(S){siz[S]=siz[S>>1]+(S&1);for(LL i=1;i<=m;i++)if(S&(1<<i-1)){pos=i;break;}Lcm[S]=min(lcm(Lcm[S^(1<<pos-1)],val[pos]),n+1);}M(Sum[S]=(P[siz[S]]*(n/Lcm[S]))%Mod);}Fwt(All+1);for(LL S=0;S<=All;S++)M(Ans+=Sum[S]);Ans=Ans*inv%Mod;cout<<Ans<<'\n';}
}int main(){n=read();m=read();for(LL i=1;i<=m;i++)val[i]=read();inv=Fpow(Fpow(2,m),Mod-2);Fast_Storm::Solve();return 0;
}