了解标量、向量和点积

数据科学基础数学：线性代数简介了解标量、向量和点积

机器只能按着算法理解和处理数据结构存储的数字.

例如创建垃圾邮件检测器，则首先必须将文本数据转换为数字(通过单词嵌入)。

两个句子之间的余弦相似性两个句子之间的余弦相似性可以通过它们的向量表示法的点积来找到。有多种方法可以将句子/段落表示为向量。

similarity= cos(a,b)= dotproduct(a,b) / ( norm(a) * norm(b) )= a.b / ||a|| * ||b||

这里有两个非常短的文本可以比较：

Julie loves me more than Linda loves me

Jane likes me more than Julie loves me

我们想知道这些文本的相似程度，纯粹从字数上看（而忽略了字数顺序）。我们首先列出两篇文章中的单词：

me Julie loves Linda than more likes Jane

现在我们计算这些词在每个文本中出现的次数：

 me     2   2 Jane   0   1Julie   1   1Linda   1   0likes   0   1loves   2   1 more   1   1 than   1   1

对这两个垂直向量的计数感兴趣。例如，每个文本中都有两个 "我 "的例子。我们将通过计算这两个向量的一个函数，即它们之间的角度的余弦，来决定这两个文本之间的距离。

这两个向量也是如此：

a: [2, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1]b: [2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1]

它们之间的角度的余弦约为0.822。

这些向量是8维的。使用余弦相似性的一个优点显然是，它将问题转化为可视化。在这种情况下，你可以把它看作是大约35度的角度，这与零或完全一致有一些 "距离"。

在我们的下一篇文章中，我们将看到实时的实现。

然后可以将数据存储在向量、矩阵和张量中。图色彩表示为 0 到 255 之间的值矩阵，表示每个像素的每种颜色的亮度。可以利用线性代数领域的工具和概念来操作这些向量、矩阵和张量。

问题描述：数学求解不在我讨论的重点，转向使用 python 求 2D 平面空间的3个点所决定的三角形三边之间的角度。

矢量分析中的点积将用于计算3点之间的角度。

我们使用了多个维度数据，如 1D、2D、3D 和更高维度，而不仅仅是 2D。但我用2D数据点解释。

点积，可以用代数或几何方式定义。几何定义基于角度和距离，矢量的大小的概念。这两个定义的等价性依赖于欧几里得空间的笛卡尔坐标系。

几何定义：

同时具有大小和方向的几何对象。矢量可以描绘成箭头，大小是它的长度，它的方向是箭头指向的方向。

向量 a 的大小用 a 表示|a|

两个欧几里得向量 a 和 b 的点积由下式定义。其中 θ 是 a 和 b 之间的角度。

解释：

Linear Algebra

使用Math库的写法不是今天讨论的重点。因为写法1只照顾到我们熟知的数学思路，仅在最后一步调用对应的python函数求解。

换句话话说，写法1人理解起来比较容易，但在机器看来并不是它的菜。

import mathdef getAngle(a, b, c):    y_ca,x_ca = c[1] - a[1], c[0] - a[0]    y_ba,x_ba = b[1] - a[1], b[0] - a[0]    ang = math.degrees(math.atan2(y_ca,x_ca) - math.atan2(y_ba,x_ba))    return ang + 360 if ang < 0 else ang

a,b,c = (0,0),(4,0),(4,3)print(getAngle(a, b, c))36.86989764584402

今天的重点是在第2种思路：Numpy

a ∗ b (点积) = (a 或 b 在b或a方向上的投影) × (b 或 a)

OA’ × OB = OA × OB ×COSθ

a ∗ b = |a| × |b|× COSθ

numpy.dot() #计算 a  ∗  b = 9

numpy.linalg.norm() #|a| × |b|

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