机器学习--梯度-牛顿-拟牛顿优化算法和实现

目录(?)[+]

要求解的问题
线搜索技术和Armijo准则
最速下降法及其Python实现
牛顿法
- 阻尼牛顿法及其Python实现
- 修正牛顿法法及其Python实现
拟牛顿法
- DFP算法及其Python实现
- BFGS算法及其Python实现
- Broyden族算法及其Python实现
- L-BFGS算法及其Python实现
参考文献

1.要求解的问题

求解无约束非线性优化问题

minx∈R2f(x)=100(x21−x2)2+(x1−1)2

该问题有精确解 x∗=(1,1)T,f(x∗)=0

其梯度向量

g(x)=(400x1(x21−x2)+2(x1−1),−200(x21−x2))

其海森矩阵

G(x)=[1200x21−400x2+2−400x1−400x1200]

下面定义了三个Python语言编写的函数：函数表达式fun，梯度向量gfun，和海森矩阵hess。这三个表达式在后面各个算法的实现中会用到。

# 函数表达式fun
fun = lambda x:100*(x[0]**2-x[1])**2 + (x[0]-1)**2# 梯度向量 gfun
gfun = lambda x:np.array([400*x[0]*(x[0]**2-x[1])+2*(x[0]-1), -200*(x[0]**2-x[1])])# 海森矩阵 hess
hess = lambda x:np.array([[1200*x[0]**2-400*x[1]+2, -400*x[0]],[-400*x[0],200]])

2.线搜索技术和Armijo准则

线搜索技术是求解许多优化问题下降算法的基本组成部分，但精确线性搜索需要计算很多的函数值和梯度值，从而耗费较多资源。特别是当迭代点远离最优点时，精确线搜索技术通常不是有效和合理的。对于许多优化算法，其收敛速度并不依赖于精确搜索过程。因此既能保证目标函数具有可接受的下降量，又能使最终形成的迭代序列收敛的非精确先搜索越来越流行。

符号约定:

gk : ∇f(xk) ，即第目标函数关于 k 次迭代值 xk 的导数。
Gk : G(xk)=∇2f(xk) ，即海森矩阵。
dk : 第 k 次迭代的优化方向。在最速下降算法中,有 dk=−gk
αk : 第 k 次迭代的步长因子，有 xk+1=xk+αkdk

在精确线性搜索中，步长因子 αk 由下面的式子确定：

αk=argminαf(xk+αdk)

而对于非精确线性搜索，选取的 αk 只要使得目标函数 f 得到可接受的下降量，即

Δfk=f(xk)−f(xk+αkdk)>0

Armijo准则用于非精确线性搜索中步长因子 α 的确定，内容如下：

Armijo准则：
已知当前位置 xk 和优化的方向 dk ，参数 β∈(0,1) , δ∈(0,0.5) .令步长因子 αk=βmk ,其中 mk 为满足下列不等式的最小非负整数 m ：

f(xk+βmdk)≤f(xk)+δβmgTkdk

由此确定的下一个位置 xk+1=xk+αkdk
NOTE: 上面的公式仅仅适用于梯度下降（Gradient Descent），对于梯度上升，则略有不用。首先公式变成了

f(xk−βmdk)≥f(xk)−δβmgTkdk,

然后确定下一个位置 xk+1=xk−αkdk

该准则在接下来的介绍的几个算法中多次使用。

3.最速下降法及其Python实现

算法描述：

step 1 :选取初始点 x0∈Rn ,容许误差 0≤ϵ≪1 .令 k←1 .
step 2 :计算 gk=∇f(xk) . 若 ||gk||≤ϵ ，停止迭代，输出 xk 作为近似最优解。
step 3 :取方向 dk=−gk .
step 4 :由线搜索技术确定步长因子 αk .
step 5 :令 xk+1←xk+αkdk ，转step 2.

上述step 3中步长因子 αk 的确定既可以使用精确线搜索方法，也可以使用非精确线搜索方法，在理论上都能保证其全局收敛性。若采用精确线搜索方法，则 αk 满足

ddαf(xk+αdk)|α=αk=∇f(xk+αkdk)Tdk=0

从而有

∇f(xk+1)T∇f(xk)=0

即 xk+1 处的梯度与其前驱 xk 处的梯度是正交的，也就是说，迭代点序列所走的路线是锯齿形的，这造成其收敛速度很缓慢。如下图所示，其中绿色折线所显示的路线就是由最速下降法得到的，红色曲线是由共轭梯度下降法确定的，通过对比可以看出梯度下降法所走的路线是锯齿形的，经测试，其收敛速度非常慢。

最速下降法的Python实现。

def gradient(fun,gfun,x0):#最速下降法求解无约束问题# x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度maxk = 5000rho = 0.5sigma = 0.4k = 0epsilon = 1e-5while k<maxk:gk = gfun(x0)dk = -gkif np.linalg.norm(dk) < epsilon:breakm = 0mk = 0while m< 20:if fun(x0+rho**m*dk) < fun(x0) + sigma*rho**m*np.dot(gk,dk):mk = mbreakm += 1x0 += rho**mk*dkk += 1return x0,fun(x0),k

性能测试

可以看到大约有一半的样本的迭代次数要超过2000次。

4.牛顿法

牛顿法的基本思想是用迭代点 xk 处的一阶导数（梯度 gk ）和二阶倒数（海森矩阵 Gk ）对目标函数进行二次函数近似，然后把二次模型的极小点作为新的迭代点。

牛顿法推导

函数 f(x) 在 xk 处的泰勒展开式的前三项得

T(f,xk,3)=fk+gTk(x−xk)+12(x−xk)TGk(x−xk)

则其稳定点

∇T=gk+Gk(x−xk)=0

若 Gk 非奇异，那么解上面的线性方程（标记其解为 xk+1 ）即得到牛顿法的迭代公式

xk+1=xk−G−1kgk

即优化方向为 dk=−G−1kgk

求稳定点是用到了以下公式：

考虑 y=xTAx ，根据矩阵求导法则，有

dydx=Ax+ATxd2ydx2=A+AT

注意实际中 dk 的是通过求解线性方程组 Gkd=−gk 获得的。

阻尼牛顿法及其Python实现

阻尼牛顿法采用了牛顿法的思想，唯一的差别是阻尼牛顿法并不直接采用 xk+1=xk+dk ，而是用线搜索技术获得合适的步长因子 αk ,用公式 xk+1=xk+δmdk 计算 xk+1 。

阻尼牛顿法的算法描述：

step 1: 给定终止误差 0≤ϵ≪1,δ∈(0,1),σ∈(0,0.5) . 初始点 x0∈Rn . 令 k←0
step 2: 计算 gk=∇f(xk) . 若 ||gk||≤ϵ ，停止迭代，输出 x∗≈xk
step 3: 计算 Gk=∇2f(xk) ，并求解线性方程组得到解 dk ,

Gkd=−gk

step 4: 记 mk 是满足下列不等式的最小非负整数 m .

f(xk+βmdk)≤f(xk)+δβmgTkdk

step 5: 令 αk=δmk,xk+1=xk+αkdk,k←k+1 ，转 step 2

阻尼牛顿法的Python实现：

def dampnm(fun,gfun,hess,x0):# 用阻尼牛顿法求解无约束问题#x0是初始点，fun，gfun和hess分别是目标函数值，梯度，海森矩阵的函数maxk = 500rho = 0.55sigma = 0.4k = 0epsilon = 1e-5while k < maxk:gk = gfun(x0)Gk = hess(x0)dk = -1.0*np.linalg.solve(Gk,gk)if np.linalg.norm(dk) < epsilon:breakm = 0mk = 0while m < 20:if fun(x0+rho**m*dk) < fun(x0) + sigma*rho**m*np.dot(gk,dk):mk = mbreakm += 1x0 += rho**mk*dkk += 1return x0,fun(x0),k

性能展示

作图代码：

iters = []
for i in xrange(np.shape(data)[0]):rt = dampnm(fun,gfun,hess,data[i])if rt[2] <=200:iters.append(rt[2])if i%100 == 0:print i,rt[2]plt.hist(iters,bins=50)
plt.title(u'阻尼牛顿法迭代次数分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
plt.xlabel(u'迭代次数',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
plt.ylabel(u'频率分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})

修正牛顿法法及其Python实现

牛顿法要求目标函数的海森矩阵 G(x)=∇2f(x) 在每个迭代点 xk 处是正定的，否则难以保证牛顿方向 dk=−G−1kgk 是 f 在 xk 处的下降方向。为克服这一缺陷，需要对牛顿法进行修正。
下面介绍两种修正方法，分别是“牛顿-最速下降混合算法”和“修正牛顿法”。
牛顿-最速下降混合算法
该方法将牛顿法和最速下降法结合起来，基本思想是：当海森矩阵正定时，采用牛顿法确定的优化方向作为搜索方向；否则，即海森矩阵为非正定矩阵时，则采用负梯度方向作为搜索方向。

修正牛顿法
引入阻尼因子 μk≥0 ，即在每一迭代步适当选取参数 μk ，使得矩阵 Ak=Gk+μkI 正定，用 Ak 代替 Gk 来求解 dk 。

算法描述：

step 1: 给定终止误差 0≤ϵ≪1,δ∈(0,1),σ∈(0,0.5) . 初始点 x0∈Rn . 令 k←0
step 2: 计算 gk=∇f(xk) ， μk=||gk||1+τ . 若 ||gk||≤ϵ ，停止迭代，输出 x∗≈xk
step 3: 计算 Gk=∇2f(xk) ，并求解线性方程组得到解 dk ,

(Gk+μkI)d=−gk

step 4: 记 mk 是满足下列不等式的最小非负整数 m .

f(xk+βmdk)≤f(xk)+δβmgTkdk

step 5: 令 αk=δmk,xk+1=xk+αkdk,k←k+1 ，转 step 2

修正牛顿法的Python实现代码：

def revisenm(fun,gfun,hess,x0):# 用修正牛顿法求解无约束问题#x0是初始点，fun，gfun和hess分别是目标函数值，梯度，海森矩阵的函数maxk = 1e5n = np.shape(x0)[0]rho = 0.55sigma = 0.4tau = 0.0k = 0epsilon = 1e-5while k < maxk:gk = gfun(x0)      if  np.linalg.norm(gk) < epsilon:breakmuk = np.power(np.linalg.norm(gk),1+tau)Gk = hess(x0)Ak = Gk + muk*np.eye(n)dk = -1.0*np.linalg.solve(Ak,gk)m = 0mk = 0while m < 20:if fun(x0+rho**m*dk) < fun(x0) + sigma*rho**m*np.dot(gk,dk):mk = mbreakm += 1x0 += rho**mk*dkk += 1return x0,fun(x0),k

性能展示

5.拟牛顿法

牛顿法的优点是具有二阶收敛速度，缺点是：

但当海森矩阵 G(xk)=∇2f(x) 不正定时，不能保证所产生的方向是目标函数在 xk 处的下降方向。
特别地，当 G(xk) 奇异时，算法就无法继续进行下去。尽管修正牛顿法可以克服这一缺陷，但修正参数的取值很难把握，过大或过小都会影响到收敛速度。
牛顿法的每一步迭代都需要目标函数的海森矩阵 G(xk) ，对于大规模问题其计算量是惊人的。

拟牛顿法的基本思想是用海森矩阵 Gk 的某个近似矩阵 Bk 取代 Gk . Bk 通常具有下面三个特点：

在某种意义下有 Bk≈Gk ,使得相应的算法产生的方向近似于牛顿方向，确保算法具有较快的收敛速度。
对所有的 k ， Bk 是正定的，从而使得算法所产生的方向是函数 f 在 xk 处下降方向。
矩阵 Bk 更新规则比较简单

设 f:Rn→R 在开集 D⊂Rn 上二次连续可微，那么 f 在 xk+1 处的二次近似模型为：

f(x)≈f(xk+1)+gTk+1(x−xk+1)+12(x−xk+1)TGk+1(x−xk+1)

对上式求导得

g(x)≈gk+1+Gk+1(x−xk+1)

令 x=xk ，位移 sk=xk+1−xk ，梯度差 yk=gk+1−gk ，则有

Gk+1sk≈yk

因此，拟牛顿法中近似矩阵 Bk 要满足关系式

Bk+1sk=yk

令 Hk+1=B−1k+1 ，得到拟牛顿法的另一形式

Hk+1yk=sk

其中 Hk+1 为海森矩阵逆矩阵的近似。上面两个公式称为 拟牛顿方程。
搜索方向由 dk=−Hkgk 或 Bkdk=−gk 确定。根据近似矩阵的第三个特点，有

Bk+1=Bk+Ek,Hk+1=Hk+Dk

其中 Ek,Dk 为秩1或秩2矩阵。该公式称为 校正规则。
通常将上面的三个式子（拟牛顿方程和校正规则）所确立的方法称为拟牛顿法。从下面的拟牛顿法的几个变种可以看出，不同的拟牛顿法的主要区别在于更新公式的不同。

DFP算法及其Python实现

DFP算法的校正公式如下：

Hk+1=Hk−HkykyTkHkyTkHkyk+sksTksTkyk

注意公式中的两个分数结构，分母 yTkHkyk 和 sTkyk 是标量，分子 HkykyTkHk 和 sksTk 是与 Hk 同型的矩阵，而且都是对称矩阵。若 Hk 正定，且 sTkyk>0 ，则 Hk+1 也正定。

当采用精确线搜索时，矩阵序列 Hk 的正定新条件 sTkyk>0 可以被满足。但对于 Armijo 搜索准则来说，不能满足这一条件，需要做如下修正：

Hk+1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪HkHk−HkykyTkHkyTkHkyk+sksTksTkyksTkyk≤0sTkyk>0⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪

DFP算法描述：

step 1: 给定参数 δ∈(0,1),σ∈(0,0.5) ，初始点 x0∈R ,终止误差 0≤ϵ≪1 .初始对称正定矩阵 H0 (通常取为 G(x0)−1 或单位矩阵 In ).令 k←0
step 2: 计算 gk=∇f(xk) . 若 ||gk||≤ϵ ，停止迭代，输出 x∗≈xk
step 3: 计算搜索方向

dk=−Hkgk

step 4: 记 mk 是满足下列不等式的最小非负整数 m .

f(xk+βmdk)≤f(xk)+δβmgTkdk

令 αk=δmk,xk+1=xk+αkdk
step 5: 由校正公式确定 Hk+1
step 6： k←k+1 ,转 step 2

DFP算法的代码实现

def dfp(fun,gfun,hess,x0):#功能：用DFP族算法求解无约束问题：min fun(x)#输入：x0是初始点，fun,gfun分别是目标函数和梯度#输出：x,val分别是近似最优点和最优解,k是迭代次数maxk = 1e5rho = 0.55sigma = 0.4epsilon = 1e-5k = 0n = np.shape(x0)[0]#海森矩阵可以初始化为单位矩阵Hk = np.linalg.inv(hess(x0)) #或者单位矩阵np.eye(n)while k < maxk :gk = gfun(x0)if np.linalg.norm(gk) < epsilon:breakdk = -1.0*np.dot(Hk,gk)m=0;mk=0while m < 20: # 用Armijo搜索求步长if fun(x0+rho**m*dk) < fun(x0)+sigma*rho**m*np.dot(gk,dk):mk = mbreakm += 1#print mk#DFP校正x = x0 + rho**mk*dksk = x - x0yk = gfun(x) - gk   if np.dot(sk,yk) > 0:Hy = np.dot(Hk,yk)print Hysy = np.dot(sk,yk) #向量的点积yHy = np.dot(np.dot(yk,Hk),yk) # yHy是标量#表达式Hy.reshape((n,1))*Hy 中Hy是向量，生成矩阵Hk = Hk - 1.0*Hy.reshape((n,1))*Hy/yHy + 1.0*sk.reshape((n,1))*sk/syk += 1x0 = xreturn x0,fun(x0),k#分别是最优点坐标，最优值，迭代次数

由以上代码可知，拟牛顿法只需要在迭代开始前计算一次海森矩阵，更一般的，根本就不计算海森矩阵，而是初始化为单位矩阵，在每次迭代过程中是不需按传统方法（二阶导数）计算海森矩阵的。

实际性能

相关代码：

n = 50
x = y = np.linspace(-10,10,n)
xx,yy = np.meshgrid(x,y)
data = [[xx[i][j],yy[i][j]] for i in range(n) for j in range(n)]
iters = []
for i in xrange(np.shape(data)[0]):rt = dfp(fun,gfun,hess,np.array(data[i]))if rt[2] <=200: # 提出迭代次数过大的iters.append(rt[2])if i%100 == 0:print i,rt[2]plt.hist(iters,bins=50)
plt.title(u'DFP迭代次数分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
plt.xlabel(u'迭代次数',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
plt.ylabel(u'频率分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})

BFGS算法及其Python实现

BFGS算法与DFP步骤基本相同，区别在于更新公式的差异

Bk+1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪BkBk−BkykyTkBkyTkBkyk+sksTksTkyksTkyk≤0sTkyk>0⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪

BFGS算法的Python实现

def bfgs(fun,gfun,hess,x0):#功能：用BFGS族算法求解无约束问题：min fun(x)#输入：x0是初始点，fun,gfun分别是目标函数和梯度#输出：x,val分别是近似最优点和最优解,k是迭代次数  maxk = 1e5rho = 0.55sigma = 0.4epsilon = 1e-5k = 0n = np.shape(x0)[0]#海森矩阵可以初始化为单位矩阵Bk = eye(n)#np.linalg.inv(hess(x0)) #或者单位矩阵np.eye(n)while k < maxk:gk = gfun(x0)if np.linalg.norm(gk) < epsilon:breakdk = -1.0*np.linalg.solve(Bk,gk)m = 0mk = 0while m < 20: # 用Armijo搜索求步长if fun(x0+rho**m*dk) < fun(x0)+sigma*rho**m*np.dot(gk,dk):mk = mbreakm += 1#BFGS校正x = x0 + rho**mk*dksk = x - x0yk = gfun(x) - gk   if np.dot(sk,yk) > 0:    Bs = np.dot(Bk,sk)ys = np.dot(yk,sk)sBs = np.dot(np.dot(sk,Bk),sk) Bk = Bk - 1.0*Bs.reshape((n,1))*Bs/sBs + 1.0*yk.reshape((n,1))*yk/ysk += 1x0 = xreturn x0,fun(x0),k#分别是最优点坐标，最优值，迭代次数

实际性能

相关代码：

iters = []
for i in xrange(np.shape(data)[0]):rt = bfgs(fun,gfun,hess,np.array(data[i]))if rt[2] <=200:iters.append(rt[2])if i%100 == 0:print i,rt[2]plt.hist(iters,bins=50)
plt.title(u'BFGS迭代次数分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
plt.xlabel(u'迭代次数',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
plt.ylabel(u'频率分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})

Broyden族算法及其Python实现

之前的BFGS和DFP校正都是由 yk 和 Bksk (或 sk 和 Hkyk )组成的秩2矩阵。而Broyden族算法采用了BFGS和DFP校正公式的凸组合，如下：

Hϕk+1=ϕkHBFGSk+1+(1−ϕk)HDFPk+1=Hk−HkykyTkHkyTkHkyk+sksTksTkyk+ϕkvkvTk

其中 ϕk∈[0,1] ， vk 由下式定义：

vk=yTkHkyk−−−−−−√(skyTksk−HkykyTkHkyk)

Broyden族算法Python实现

def broyden(fun,gfun,hess,x0):#功能：用Broyden族算法求解无约束问题：min fun(x)#输入：x0是初始点，fun,gfun分别是目标函数和梯度#输出：x,val分别是近似最优点和最优解,k是迭代次数x0 = np.array(x0)maxk = 1e5rho = 0.55;sigma = 0.4;epsilon = 1e-5phi = 0.5;k=0;n = np.shape(x0)[0]Hk = np.linalg.inv(hess(x0))while k<maxk :gk = gfun(x0)if np.linalg.norm(gk) < epsilon:breakdk = -1*np.dot(Hk,gk)m=0;mk=0while m < 20: # 用Armijo搜索求步长if fun(x0+rho**m*dk) < fun(x0)+sigma*rho**m*np.dot(gk,dk):mk = mbreakm += 1#Broyden族校正x = x0 + rho**mk*dksk = x - x0yk = gfun(x) - gkHy = np.dot(Hk,yk)sy = np.dot(sk,yk)yHy = np.dot(np.dot(yk,Hk),yk)if(sy < 0.2 *yHy):theta = 0.8*yHy/(yHy-sy)sk = theta*sk + (1-theta)*Hysy = 0.2*yHyvk = np.sqrt(yHy)*(sk/sy-Hy/yHy)Hk = Hk - Hy.reshape((n,1))*Hy/yHy +sk.reshape((n,1))*sk/sy + phi*vk.reshape((n,1))*vkk += 1x0 = xreturn x0,fun(x0),k #分别是最优点坐标，最优值，迭代次数

实际性能

相关代码：

iters = []
for i in xrange(np.shape(data)[0]):rt = broyden(fun,gfun,hess,np.array(data[i]))if rt[2] <=200:iters.append(rt[2])if i%100 == 0:print i,rt[2]plt.hist(iters,bins=50)
plt.title(u'Broyden迭代次数分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
plt.xlabel(u'迭代次数',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})
plt.ylabel(u'频率分布',{'fontname':'STFangsong','fontsize':18})

L-BFGS算法及其Python实现

拟牛顿法(如BFGS算法)需要计算和存储海森矩阵，其空间复杂度是 n2 ，当 n 很大时，其需要的内存量是非常大的。为了解决该内存问题，有限内存BFGS（即传说中的L-BFGS算法）横空出世。

基本BFGS算法的校正公式可以改写成

Hk+1=(I−skyTksTkyk)Hk(I−yksTksTkyk)+sksTksTkyk

记 ρk=1/sTkyk ，以及 Vk=(I−ρkyksTk) ，则上式可以写成

Hk+1=VTkHkVk+ρksksTk

给定一个初始矩阵 H0 (其取值后面有提到)，则由上式的递推关系可以得到

H1=VT0H0V0+ρ0s0sT0

H2=VT1H1V1+ρ1s1sT1=VT1(VT0H0V0+ρ0s0sT0)V1+ρ1s1sT1=VT1VT0H0V0V1+VT1ρ0s0sT0V1+ρ1s1sT1

⋯⋯⋯

更一般的，我们有

Hm+1=(VTKVTm−1⋯VT1VT0)H0(V0V1⋯Vm−1Vk)+(VTmVTm−1⋯VT2VT1)ρ0s0sT0(V1V2⋯Vm−1Vk)+(VTmVTm−1⋯VT3VT2)ρ1s1sT1(V2V3⋯Vm−1Vk)+⋯+(VTmVTm−1)ρm−2sm−2sTm−2(Vm−1Vk)VTkρm−1sm−1sTm−1Vk+ρmsmsTm

在上式的右边中， H0 是由我们设置的，其余变量可由保存的最近 m 次迭代所形成的向量序列，如位移向量序列 {sk} 和一阶导数差所形成的向量序列 {yk} 获得。也就是说，可由最近 m 次迭代的信息计算当前的海森矩阵的近似矩阵。

补充几点：

H0=I⋅sTmymyTmym ，第一次迭代时，序列{ sk }和{ yk }为空，则 H0=I

最初的若干次迭代，序列{ sk }和{ yk }的元素个数较小，会有 n<m ，则将 Hm+1 计算公式右边的 m 换成 n 即可。

随着迭代次数增加，序列{ sk }和{ yk }的元素个数增大，会有 n>m 。由于我们只需要最近 m 次迭代产生的序列元素，所以序列{ sk }和{ yk }只需要保存最新的 m 个元素即可，如果再有新的元素进入，则同时扔掉最旧的元素，以保证序列元素个数恒为 m 。

这就是L-BFGS算法的思想。聪明的同学会问：你上面的公式不还是要计算海森矩阵的近似矩阵吗？那岂不是还是需要 n2 规模的内存？
其实在实际中是不计算该矩阵的, 而且不是采用上面的方法，而是直接得到 Hkgk ，而搜索方向就是 dk=−Hkgk 。下面给出了计算的函数twoloop(s,y, ρ ,gk)的伪代码，可知该函数内部的计算仅限于标量和向量，未出现矩阵。

函数参数 s,y 即向量序列{ sk }和{ yk }， ρ 为元素序列{ ρk }，其元素 ρk=1/sTkyk ， gk 是向量，为当前的一阶导数，输出为向量 z=Hkgk ，即搜索方向的反方向

Functiontwoloop(s,y,ρ,gk)q=gkFori=k−1,k−2,…,k−mαi=ρisTiqq=q−αiyiHk=yTk−1sk−1/yTk−1yk−1z=HkqFori=k−m,k−m+1,…,k−1βi=ρiyTizz=z+si(αi−βi)Returnz

给出L-BFGS的算法

可以看到其搜索方向 dk 是根据函数 twoloop 计算得到的。

L-BFGS算法Python实现

def twoloop(s, y, rho,gk):n = len(s) #向量序列的长度if np.shape(s)[0] >= 1:#h0是标量，而非矩阵h0 = 1.0*np.dot(s[-1],y[-1])/np.dot(y[-1],y[-1])else:h0 = 1a = empty((n,))q = gk.copy() for i in range(n - 1, -1, -1): a[i] = rho[i] * dot(s[i], q)q -= a[i] * y[i]z = h0*qfor i in range(n):b = rho[i] * dot(y[i], z)z += s[i] * (a[i] - b)return z   def lbfgs(fun,gfun,x0,m=5):# fun和gfun分别是目标函数及其一阶导数,x0是初值,m为储存的序列的大小maxk = 2000rou = 0.55sigma = 0.4epsilon = 1e-5k = 0n = np.shape(x0)[0] #自变量的维度s, y, rho = [], [], []while k < maxk :gk = gfun(x0)if np.linalg.norm(gk) < epsilon:breakdk = -1.0*twoloop(s, y, rho,gk)m0=0;mk=0while m0 < 20: # 用Armijo搜索求步长if fun(x0+rou**m0*dk) < fun(x0)+sigma*rou**m0*np.dot(gk,dk):mk = m0breakm0 += 1x = x0 + rou**mk*dksk = x - x0yk = gfun(x) - gk   if np.dot(sk,yk) > 0: #增加新的向量rho.append(1.0/np.dot(sk,yk))s.append(sk)y.append(yk)if np.shape(rho)[0] > m: #弃掉最旧向量rho.pop(0)s.pop(0)y.pop(0)k += 1x0 = xreturn x0,fun(x0),k#分别是最优点坐标，最优值，迭代次数

实际性能

参考文献

Large-scale L-BFGS using MapReduce
http://papers.nips.cc/paper/5333-large-scale-l-bfgs-using-mapreduce.pdf
L-BFGS的原理及在回归分析中的应用
http://blog.csdn.net/hlx371240/article/details/39970727
L-BFGS的原理和MATLAB实现
deep learning Softmax分类器（L-BFGS,CG,SD）
http://blog.csdn.net/hlx371240/article/details/40015395
机器学习中导数最优化方法
http://www.cnblogs.com/daniel-D/p/3377840.html
Newton’s method in optimization
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method_in_optimization
Quasi-Newton method
http://en.wikipedia.org/wiki/Quasi-Newton_method
Davidon–Fletcher–Powell formula
http://en.wikipedia.org/wiki/Davidon%E2%80%93Fletcher%E2%80%93Powell_formula
Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno algorithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Broyden%E2%80%93Fletcher%E2%80%93Goldfarb%E2%80%93Shanno_algorithm
Limited-memory BFGS
http://en.wikipedia.org/wiki/Limited-memory_BFGS
some books
《Basic Concepts and Stationary Iterative Methods》
《Iterative Methods for Optimization》
《Non-Linear Least-Squares Minimization》
some papers
《A comparison of algorithms for maximum entropy parameter estimation》
《Updating Quasi-Newton Matrices with Limited Storage》
《Scalable Training of L1-Regularized Log-Linear Models》
《最优化方法及其MATLAB程序设计》，马昌凤，科学出版社
《优化方法》，李春明，东南大学出版社
《应用最优化方法及MATLAB实现》，刘兴高，胡云卿，科学出版社
《优化技术与MATLAB优化工具箱》，赵继俊，机械工业出版社
http://hub.darcs.net/amgarching/pts/browse/bfgs.py
markdown 公式，可直接复制得到特性公式
http://www.aleacubase.com/cudalab/cudalab_usage-math_formatting_on_markdown.html
CSDN-markdown语法之如何插入图片
http://blog.csdn.net/lanxuezaipiao/article/details/44310775