关系数据理论

6.1 问题的提出
6.2 规范化
- 6.2.1 函数依赖
- - 1.函数依赖
  - 2.平凡函数依赖与非平凡函数依赖
  - 3.完全函数依赖与部分函数依赖
  - 4.传递函数依赖
- 6.2.2 码
- 6.2.3 范式
- 6.2.4 2NF
- 6.2.5 3NF
- 6.2.6 BCNF
- 6.2.7 多值依赖
- 6.2.8 4NF
- 6.2.9候选码的求解理论和算法
- 6.2.10 规范化小结

6.1 问题的提出

逻辑设计（表结构）
1.针对具体问题，构造数据模式
2.工具：关系数据库的规范化理论
关系模式由五部分组成，是一个五元组：R(U, D, DOM, F)
R是符号化的元组语义
U为一组属性
D为属性组U中的属性所来自的域
DOM为属性到域的映射
F为属性组U上的一组数据依赖
D、DOM与模式设计关系不大，只用到三元组：R<U,F>

二维表每个分量必须是不可分开的数据项。
满足了这个条件的关系模式就属于：
第一范式（1NF）
数据依赖
是一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系
1.通过属性间值的相等与否体现出来的数据间相互联系
2.是现实世界属性间相互联系的抽象
3.是数据内在的性质
4.是语义的体现
主要类型:
函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）
多值依赖（Multi-Valued Dependency，简记为MVD）

6.2 规范化

6.2.1 函数依赖

1.函数依赖

设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。
若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r 中不可能存在：
两个元组在X上的属性值相等，而在Y上的属性值不等，
则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作X→Y。

2.平凡函数依赖与非平凡函数依赖

X→Y，但Y⊈X则称X→Y是非平凡的函数依赖。
X→Y，但Y⊆X 则称X→Y是平凡的函数依赖。

若X→Y，则X称为这个函数依赖的决定因素
若X→Y，Y→X，则记作X←→Y。
若Y不函数依赖于X，则记作X↛Y。

3.完全函数依赖与部分函数依赖

定义6.2
在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’, 都有 X’ ↛ Y, 则称Y对X 完全函数依赖，记作X→FYX \overset F \rightarrow YX→FY。
若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X 部分函数依赖，记作X→PYX \overset P \rightarrow YX→PY
例在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，有：
Sno ↛Grade，Cno ↛ Grade，
因此：(Sno, Cno) → Grade
(Sno, Cno)→Sno
(Sno, Cno) →Cno

4.传递函数依赖

定义6.3
在R(U)中，如果X→Y(Y⊈X)，Y↛X，Y→Z，Z⊈Y, 则称Z对X传递函数依赖(transitive functional dependency)。记为：X → Z。
注: 如果Y→X, 即X←→Y，则Z直接依赖于X，而不是传递函数依赖。

例在关系Std(Sno, Sdept, Mname)中，有：
Sno → Sdept，Sdept → Mname，
Mname传递函数依赖于Sno

6.2.2 码

定义6.4
设K为R<U,F>中的属性或属性组合。
若K→FUK \overset F \rightarrow UK→FU。，则K称为R的一个候选码。
如果U部分函数依赖于K，即K → U,则K称为超码。
候选码是最小的超码，即K的任意真子集都不是候选码。
若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码。
包含在任何一个候选码中的属性，称为主属性
不包含在任何码中的属性称为非主属性
整个属性组是码，称为全码
例6.2 S(Sno, Sdept, Sage)，单个属性Sno是码
SC(Sno, Cno, Grade)中，(Sno, Cno)是码
例6.3 R(P,W,A)P：演奏者 W：作品 A：听众
一个演奏者可以演奏多个作品
某一作品可被多个演奏者演奏
听众可以欣赏不同演奏者的不同作品
码为(P,W,A)，即All-Key

定义6.5
关系模式 R中属性或属性组X 并非 R的码，
但 X 是另一个关系模式的码，
则称 X 是R 的外部码也称外码。
SC(Sno,Cno,Grade)中，Sno不是码
Sno是 S(Sno,Sdept,Sage)的码，则Sno是SC的外码
主码与外码一起提供了表示关系间联系的手段

6.2.3 范式

范式是符合某一种级别的关系模式的集合。
种类：
1.第一范式(1NF)
2.第二范式(2NF)
3.第三范式(3NF)
4.BC范式(BCNF)
5.第四范式(4NF)
6.第五范式(5NF)
各种范式之间存在联系：

某一关系模式R为第n范式，可简记为R∈nNF。
一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化。

6.2.4 2NF

定义6.6若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于任何一个候选码，则R∈2NF
例6.4 S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)， Sloc为学生的住处，并且每个系的学生住在同一个地方。S-L-C的码为(Sno,Cno)。
函数依赖有
(Sno,Cno)→FGrade(Sno,Cno) \overset F \rightarrow Grade(Sno,Cno)→FGrade
Sno→Sdept, (Sno,Cno)→PSdept(Sno,Cno) \overset P \rightarrow Sdept(Sno,Cno)→PSdept
Sno→Sloc, (Sno,Cno)→PSloc(Sno,Cno)\overset P \rightarrow Sloc(Sno,Cno)→PSloc
Sdept→Sloc

非主属性Sdept、Sloc并不完全依赖于码
关系模式S-L-C不属于2NF
一个关系模式不属于2NF，会产生插入异常、删除异常、修改复杂
解决方法
用投影分解把关系模式S-L-C分解成两个关系模式
SC(Sno,Cno,Grade)
S-L(Sno,Sdept,Sloc)

6.2.5 3NF

定义6.7设关系模式R<U,F>∈1NF,若R中不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z （Y⊇ Z）, 使得X→Y，Y→Z成立，Y ↛ X不成立，
则称R<U,F> ∈ 3NF。
SC没有传递依赖，因此SC ∈ 3NF
S-L中Sno →Sdept( Sdept ↛ Sno), Sdept→Sloc，可得Sno → Sloc。
解决的办法是将S-L分解成
S-D(Sno,Sdept)∈ 3NF
D-L(Sdept,Sloc)∈ 3NF

6.2.6 BCNF

通常认为BCNF是修正的第三范式，有时也称为扩充的第三范式。
定义6.8 设关系模式R<U,F>∈1NF，若X →Y且Y ⊆ X时X必含有码，则R<U,F>∈BCNF。
换言之，在关系模式R<U,F>中，如果每一个决定属性集都包含候选码，则R∈BCNF。
例6.6关系模式S(Sno,Sname,Sdept,Sage)，
假定Sname具有唯一性
S有两个候选码：Sno，Sname，非主属性：Sdept，Sage
非主属性不存在对码的传递依赖和部分依赖，所以S∈3NF。
S中决定因素Sno，Sname包含码，所以S也属于BCNF。
例6.7 关系模式SJP(S,J,P)中，S是学生，J表示课程，P表示名次。每一个学生选修每门课程的成绩有一定的名次，每门课程中每一名次只有一
个学生（即没有并列名次）。
由语义可得到函数依赖： (S,J)→P；(J,P)→S
1.候选码：(S,J)，(J,P)。没有非主属性。
2.没有非主属性对码传递依赖或部分依赖，所SJP∈3NF。
3.除(S,J)与(J,P)以外没有其他决定因素，所以SJP∈BCNF。
例6.8 关系模式STJ(S,T,J)中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。每一教师只教一门课。每门课有若干教师，某一学生选定某门课，就对应一个固定的教师。
由语义可得到函数依赖：(S,J)→T；(S,T)→J；T→J
候选码：（S,J），（S,T）；没有非主属性
因为没有非主属性对码传递依赖或部分依赖，STJ ∈ 3NF。
因为T是决定因素，而T不包含码，所以STJ ∈ BCNF。

6.2.7 多值依赖

定义6.9 设R(U)是属性集U上的一个关系模式。X,Y,Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对(x,z)值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。
例 Teaching（C, T, B）
Teaching具有唯一候选码(C,T,B)，即全码。Teaching∈BCNF
对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值。
因此T多值依赖于C，即C→→T。
平凡多值依赖和非平凡的多值依赖
若X→→Y，而Z＝Ф，则称X→→Y为平凡的多值依赖。
否则称X→→Y为非平凡的多值依赖。

6.2.8 4NF

定义6.10 关系模式R<U,F>∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y ⊈ X），X都含有码，则R<U,F>∈4NF。
如果一个关系模式是4NF，则必为BCNF。
在例6.10的WSC中，W →→S, W→→C,他们都是非平凡多值依赖。而W不是码，关系模式WSC的码是(W,S,C)，即All-key，因此WSC ∈ 4NF。
可以把WSC分解成WS(W,S),WC(W,C)， WS∈4NF，WC∈4NF。

6.2.9候选码的求解理论和算法

闭包（记作X＋）就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。
例如：
f={a->b，b->c，a->d，e->f}；
由a可直接得到b和d，间接得到c，
则a的闭包就是{a，b，c，d}
对于给定的关系R（A1，A2，…An）和函数依赖集F，可将其属性分为4类：
L类仅出现在函数依赖左部的属性。
R 类 仅出现在函数依赖右部的属性。
N 类 在函数依赖左右两边均未出现的属性。
LR类 在函数依赖左右两边均出现的属性。
1.对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员。
2.若X（X∈R）是L类和N类组成的属性集，且X+包含了R的全部属性；则X是R的唯一候选码。
例 1
设关系模式 U=(A , B , C , D ),
函数依赖集
F={D→ B , B → D , AD → B , AC → D},
求 U 的候选码。
解：
(1) L=(A , C), R=空, LR=(B , D), N=空;
(2) L∪N=(A , C), 因为(AC) + = ACBD = U,
AC 是唯一候选码
例2
R<U,F>,U=(A,B,C,D,E,G),
F={AB→C,CD→E,E→A，A→G},
求候选码。
解
(1) L=(B,D), R=(G), LR=(A,C,E ), N=空;
(2) L∪N=(B,D), (BD)+=BD;
(3)
ABD：AB→C,CD→E, A→G,，所以(ABD)+ = ABDCEG = U
BDC：CD→E, E→A, A→G，所以(BDC)+ = BDCEAG = U
BDE：E→A, A→G, AB→C,，所以(BDE)+ = BDEAGC = U
候选码有3个分别是ABD、BCD和BDE
例3
设关系模式 U=(A , B , C , D , E , F ),
函数依赖集
F={A→BC , BC→A , BCD→EF , E→C},
求 R 的候选码。
解:
(1) L=(D), R=(F), LR=(A , B , C , E ), N=空;
(2) L∪N=(D) , D+=D;
(3)因为 (DA)+=DABCEF=U, (DB)+=DB ,(DC)+=DC, (DE)+=DEC, 所以 DA 是候选码;
(4)因为 (DBC)+=DBCAEF=U, (DBE)+=DBECAF=U, (DCE)+=DCE, 所以DBC、DBE 是候选码;
(5) U 的候选码有 DA、DBC、DBE
思考
因为DA是候选码， BC→A，所以DBC是候选码。
因为DBC是候选码，E→C，所以DBE是候选码

6.2.10 规范化小结

不能说规范化程度越高的关系模式就越好。
必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式。上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止。

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