LQR控制器——简单实现与仿真

对B站一位良心up主的视频学习总结
安利：https://www.bilibili.com/video/BV1RW411q7FD/?spm_id_from=trigger_reload

对于可镇定的线性系统： x ˙ = A x + B u \dot{x}=Ax+Bu x˙=Ax+Bu， u = − k x u=-kx u=−kx
写成闭环形式，也就是 x ˙ = A c l x \dot{x}=A_{cl}x x˙=Aclx
我们的做法是通过选择反馈增益k来改变闭环矩阵 A c l A_{cl} Acl 的特征值，从而控制系统的表现。
那么

什么样的反馈增益k才是最好的呢？

在优化理论中，引入cost function的概念，来帮助选择反馈增益k。

找到一个k，使得在满足镇定系统的同时，最小化cost function。

m i n J = ∫ 0 ∞ [ x T Q x + u T R u ] d t min J=\int_{0}^{\infty}[x^{T}Qx+u^{T}Ru]dt minJ=∫0∞[xTQx+uTRu]dt
这里，矩阵Q和R都是对角正定矩阵，他们的每一个对角元素的值都代表着对每一个对应的状态 x i ≠ 0 x_{i}\neq 0 xi=0和输入 u i ≠ 0 u_{i}\neq 0 ui=0的惩罚。

矩阵对角元素的值越大，表示对该状态或输入的惩罚越厉害。那么体现在最终系统的表现上就是，该状态或输入的值越小。

视频中，老师对倒立摆进行建模，得到其状态空间方程下的系统矩阵：A,B

然后利用simulink对其进行仿真：（这里目的主要是学习一下simulink仿真时，如何从0进行建模与simulink仿真）

第一次选择Q=[100 0; 0 1]; R=.01，在MATLAB中用

k=lqr(A,B,Q,R)

命令得到该cost function下的最有反馈增益k。其内部主要是通过求解Riccati方程得到k。

得到如下仿真曲线

可以看到状态最终能够被镇定到0，但是控制输入u太大。
那么接下来，可以尝试将和u相关的矩阵R的值给大一点。对u的值惩罚大，从而得到的仿真结果中，u的计算结果就相对要小一点。同时将Q矩阵中的元素值给小一点，表示不是很关心状态的收敛速度。

第二次选择Q=[1 0; 0 1]; R=100，在MATLAB中用

k=lqr(A,B,Q,R)

得到新的k，仿真得到如下对照曲线。（为了便于观察，复制了一份刚刚的系统，作为对照）

可以看到，蓝色的线条是第二组的仿真结果。收敛速度变慢了，但是控制输入u的值相对的变小了。这样更加符合实际情况，因为有时会考虑到执行器饱和的问题。

总结

这里主要是复习一下LQR的相关知识，并且系统的学习一下，对一个实际的问题进行建模、simulink仿真的过程。
simulink搭建一个模型的时候，主要考虑以下步骤：

将状态空间方程分别写成单个状态的表达式
用n个积分器由 x ˙ \dot{x} x˙得到 x x x，从而得到各个状态，注意积分器要置初值，默认0
搭建控制输入u，构成闭环系统
必要时，对模块化的子系统创建subsystem，便于观察。

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