L1-概率论中的10个基本概念：古典概率、联合概率、条件概率、生日问题等

（1）排列数

从 m m m个不同元素中取出 n ( n ≤ m ) n(n≤m) n(n≤m)个元素（被取出的元素各不相同），并按照一定的顺序排成一列，叫做从 m m m个不同元素中取出 n n n个元素的一个排列，记作 A ( m , n ) A(m,n) A(m,n)。
A ( m , n ) = A m n = m ! ( m − n ) ! A(m,n)=A_m^n=\frac{m!}{(m-n)!} A(m,n)=Amn=(m−n)!m!

（2）组合数

从 m m m个不同元素中取出 n ( n ≤ m ) n(n≤m) n(n≤m)个元素，叫做从 m m m个不同元素中取出 n n n个元素的组合数，记作 C ( m , n ) C(m,n) C(m,n)。
C ( m , n ) = C m n = m ! ( m − n ) ! n ! C(m,n)=C_m^n=\frac {m!}{(m-n)!n!} C(m,n)=Cmn=(m−n)!n!m!

（3）古典概率

概率是以假设为基础的，即假定随机现象所发生的事件是有限的、互不相容的，而且每个基本事件发生的可能性等。一般来讲，如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件 A A A的基本事件有 a a a个，不构成事件 A A A的有 b b b个，那么事件 A A A出现的概率为：
P ( A ) = a a + b P(A)=\frac {a}{a+b} P(A)=a+ba

（4）生日问题

n个人中至少两个人生日在同一天的概率
P ( A ) = 1 − 365 ! 36 5 n ( 365 − n ) ! P(A)=1- \frac{365!}{365^n(365-n)!} P(A)=1−365n(365−n)!365!

（5）联合概率

两个事件共同发生的概率，事件 A A A和事件 B B B的同时发生的概率记作： P ( A B ) P(AB) P(AB)或 P ( A , B ) P(A,B) P(A,B)或 P ( A ∩ B ) P(A∩B) P(A∩B)。

P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) P(AB)=P(A∣B)P(B)=P(B∣A)P(A)

（6）条件概率

事件 B B B已经发生的条件下，事件 A A A发生的概率，记作 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)，条件概率具有非负性、可列性、可加性。

P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\frac {P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)

（7）全概率公式

B 1 . . . B n B_1 ... B_n B1...Bn是随机试验 S S S的一组事件，满足以下两个条件：

B i ⋃ B j = ∅ , i ≠ j B_i \bigcup B_j = \emptyset, i \not= j Bi⋃Bj=∅,i=j （两两互不相容）
B 1 ⋂ B 2 , . . . , ⋂ B n = S B_1 \bigcap B_2,..., \bigcap B_n = S B1⋂B2,...,⋂Bn=S （并集为整个样本空间）

称 B 1 . . . B n B_1 ... B_n B1...Bn是样本空间 S S S的一个划分。

通过样本划分可以将复杂事件划分为若干不相容的简单事件 B i B_i Bi，利用全概率公式可求得结果事件 A A A的概率 P ( A ) P(A) P(A)

P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( A B i ) = ∑ i = 1 n P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A) = \sum_{i=1}^{n}P(AB_i) = \sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A \mid B_i) P(A)=i=1∑nP(ABi)=i=1∑nP(Bi)P(A∣Bi)

其中， P ( B i ) P(B_i) P(Bi)为已知的每个原因事件 B i B_i Bi的概率， P ( A ∣ B i ) P(A \mid B_i) P(A∣Bi)表示每个原因事件对结果事件的影响程度。

（8）贝叶斯公式

根据条件概率： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) P(AB) = P(A) P(B\mid A) = P(B) P(A\mid B) P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B)可推导出贝叶斯公式：
P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( B ) P(A\mid B) = \frac {P(A)P(B \mid A)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A)P(B∣A)
推广：
P ( B i ∣ A ) = P ( A B i ) P ( A ) = P ( B i ) P ( A ∣ B i ) ∑ i = 1 n P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(B_i \mid A) = \frac {P(AB_i)}{P(A)} = \frac {P(B_i)P(A \mid B_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A \mid B_i)} P(Bi∣A)=P(A)P(ABi)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bi)
P ( B i ∣ A ) P(B_i \mid A) P(Bi∣A)用来反映引起结果事件 A A A发生的各种原因事件 B i B_i Bi的可能性。

（9）事件独立性

两个事件 A 、 B A、B A、B，如果 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)，则事件 A A A和 B B B相互独立。如果事件 A 、 B A、B A、B相互独立，互不影响，那么 z P ( A ∣ B ) = P ( A ) zP(A|B)=P(A) zP(A∣B)=P(A)， P ( B ∣ A ) = P ( B ) P(B|A)=P(B) P(B∣A)=P(B)。

（10）小概率事件

小概率事件：如果事件 A A A发生的概率 p = 0.0001 p=0.0001 p=0.0001，那么进行一次实验，事件 A A A会发生吗？

根据实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。

n n n次实验中，都不发生的概率： ( 1 − p ) n (1-p)^n (1−p)n

n n n次实验中，至少有1次发生事故的概率： 1 − ( 1 − p ) n 1-(1-p)^n 1−(1−p)n，由于 lim ⁡ n → + ∞ ( 1 − p ) n = 1 \lim_{n\rightarrow+\infty}(1-p)^n=1 n→+∞lim(1−p)n=1
说明“小概率事件”在大量独立重复实验中“至少有一次发生”几乎是必然的，因此决不能轻视小概率事件。

如， n = 7000 n=7000 n=7000时， 1 − ( 1 − p ) n = 1 − ( 1 − 0.0001 ) 7000 = 0.5053 > 0.5 1-(1-p)^{n} = 1-(1-0.0001)^{7000} = 0.5053>0.5 1−(1−p)n=1−(1−0.0001)7000=0.5053>0.5

n = 30000 n=30000 n=30000时， 1 − ( 1 − p ) n = 1 − ( 1 − 0.0001 ) 30000 = 0.9502 1-(1-p)^{n} = 1-(1-0.0001)^{30000} = 0.9502 1−(1−p)n=1−(1−0.0001)30000=0.9502