线性代数需要注意的一些点

注意线性表出和线性相关的定义区别，线性表出只要存在k1....km就可以了，可以为0，而且线性表出是一个向量被其他向量表出；而线性相关是存在一组不全为0的k1....kn使得所以向量乘以系数等于0就好了。线性相关要么是成比例，要么是有零向量，所以线性相关的定义中k的取值，如果只有一个不为0的k那么一定是零向量，如果两个以上不为0的k，那么可能有两个成比例的向量。

等价矩阵合同相似是一起的；而等价向量组是单独的，因为等价向量组关注的是向量，其他三者关注的都是矩阵，这就出现在等价向量组中，只要求维数相同，向量的个数不管，而且等价向量组的冲要条件就是：第一个向量组的秩=第二个向量组的秩=两个向量组列排放拼在一起的列秩（同解方程组是行拼在一起，因为两个方程组的每个方程约束力都是一样的，看方程的行秩）。

等价合同相似这三者的关系是递进的，要求递进更加严格，从符号上可以看出，符号越简化，那么要求就越严格。考研中，等价可以不是方阵，相似是方阵，而合同是实对称矩阵。实际中，相似一定合同，合同一定等价，但是反过来却不可以。

需要分清原始的特征值和特征向量和相似要求的特征值和特征向量，特征值特征向量满足一定的条件才可以相似，比如n个不同的特征值，a重特征根里面有a个线性无关的特征向量等等。千万不要混乱了概念，普通的矩阵A，如果不相似的话，那么a重特征根不一定有a个线性无关的特征向量，可能小于a。

关于特征值的确定，遇见A-E 或者A+3E这种，一般都是要求特征值，如果上述式子的行列式为0，那么可以根据｜入E-A｜的形状求出懒不打特征值就好了。

通过f(A)转化成f(入)求出来的“入”只是一个范围，比如求出入²=1 只能说范围是是-1或1，可能全是1，全是-1，也可能一个1一个-1还不知道。

判断相似的三个充分，一个必要和两个否定。

关于A矩阵及其相关矩阵之间的相加减，最后引起的特征值的变化；以及特征向量的加减引起的特征值的变化，这个需要总结一下。（1）关于f(A)的特征值的问题，其中A的特征值是可以相加的，同时变化出来的对角矩阵也是可以相加的，不过相加的时候要对应好各自的特征值，这里的相加也包括A的衍生的矩阵，比如A*、A^-1、AT都是可以相加的。（2）但是关于特征向量却不一样的，针对同一个矩阵A来说，同一个特征值m的不同特征向量的线性组合形成的特征向量还是这个矩阵A的特征向量，且同属于m；但是属于不同特征值的特征向量的线性组合，不是矩阵A的特征向量。（其中组合的系数k1和k2均不为0，如果都是0的话，那么就违反了特征向量不为0的定义了。如果其中任意一个出现0的话，那么就变成第一种情况了，对单独的特征向量加上不为0的系数，那么得到的特征向量还是这个矩阵的A的特征向量，同时还是属于同一个特征值m的。）

如果将一个列向量当做一个元素的时候，那么就要想到这个向量是列向量的时候，遇到抽象的问题，如果第一问问你的将其看做是一个元素，那么第二问一定是将其看做是整体向量的时候。

两类错误和区间估计和假设检验的总结：首先，两类错误中需要关注的几个因素，一个假设U0，因为你要观察这个假设是双侧的假设还是单侧的假设；如果U1（U0相反的假设）不是不等于号，比如是大于号，小于号，那么就是单侧的假设；反之，如果是不等于号，那么就是双侧的假设。看完了两个U0和U1的假设之后，那么这个时候需要注意拒绝域，如果是第一类错误，那么就是在认为U0原假设是对的基础上，拒绝了U0，那么这个时候就需要用上拒绝域；同理，如果是第二类错误，那么就是在U0原假设错的基础上，接受了原假设U0，那么这个时候就需要用上拒绝域的反面。还有一个细节就是两类错误中，求的是条件概率，但是其中U0的真假和是否拒绝U0是独立的，即是没有关系的，所以计算这个条件概率的时候，只需要将U0为真或者假的信息加入拒绝或者接受U0的式子中就好了，剩下的视而不见就好了。（区间估计）区间估计的本质就是利用一组数据X1......Xn来构成一个置信区间(X一把 + A)，只要能落在这个置信区间里面客观均值u都是可信的，也就是利用一组数据来估计其中的客观均值u。其中需要注意的细节就是区间估计的定义，比如一个变量X的置信区间是（A,B）那么P{A<X<B} = 置信度（0.95）,这个需要注意。（假设检验）假设检验的本质就是，我们已经有一个声称的均值u0，但是我们不确定这个均值是否是对的，那么这个时候我们需要检验这个均值u0是否是正确的，方法是什么呢？那就是从总体中抽样出来一部分的X1.....Xn，我们根据u0和显著性水平做出一个假设，形成一个拒绝域（u0 + A），如果抽样出来的X一把落在了拒绝域当中，那么我们就推翻原假设，如果没有落在里面，那么我们就支持原假设。其中需要注意的一个点：假设检验的设置情况有两种，如果家宴U1是大于号或者是小于号，那么这个就是单侧检验，比如，如果是大于号，那么拒绝域就是在右边，且上分位数的底数也不用乘以1/2（上分位数的本质就是一个变量x，我们常说的开关x，区别于随机变量X的）；如果是不等于号，那么就是双侧的了。

一定要注意卡方分布的定义，是n个独立同分布的xi服从标准正态分布的平方和组成的，但是如果将这些平方和作为一个统计量的话，也定义为Xi，这个Xi是符合卡方分布的，那么就需要区分这里的Xi和上面xi的区别，不要因为字母是一样的，就搞混乱了。

总结一下正态总体下的四个基本公式的记忆：（一）和（二）都是基础，第一个阐述的是“均值的正态标准化——方差是不同的”，第二个阐述的是卡方分布的定义，也就是n个独立同分布于普通正态的变量在经过标准正态化之后的平方和是服从正态分布的；（三）是（二）的进阶和下面解释的一样；（四）也和下面解释的一样，不过其中的是（一）和（三）的结合，采用的是（三）的第二中形式（只有三会有两种形式。）

（接着上面：（一）和（四）的主角都是均值（X一把），其中的是方差在变化，从客观的方差变成了样本的方差，分布也从标准正态变成了n-1的t分布；而（二）和（三）的主角是xi普通变量，变化的是均值，从客观的均值，变成了样本的均值，由于在（三）中客观的均值变成了样本的均值，从而和样本方差占上了关系，所以（三）有两种形态。）

两种特殊的分布t分布和F分布上下想要成立的条件都是：上面的变量和下面的变量是独立的。

实对称矩阵的性质：实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的（相同特征值的特征向量不是正交的就是线性无关的。）；只有实对称矩阵可以使用正交变化相似对角化，而一般的矩阵只能使用可逆矩阵进行相似对角化，换句话说：如果一个矩阵矩阵使用了正交变化进行相似对角化，那么这个矩阵一定是实对称矩阵。

根据实对称矩阵的性质，根据特征向量求其他特征向量的方式，首先要申明的一个性质就是：在实对称矩阵中，所有不同特征值的特征向量是相互正交的，而正交就是 = 垂直，也就是两个向量的数量积 = 0；而两个相同特征值的特征向量是要么是线性无关，要么是正交，所以求正交矩阵的时候，需要正交化，那能否避免施密特正交化呢？答案是可以的，接下来的一种情况中就有这样的情况。（1）三阶方阵中有三个完全不同的特征值，可以知2求3。这时可以设置另外一个特征向量的全解，因为三个向量都是正交的，所以可以相乘，转化成有两个方程的三元方程，这个时候就很熟悉了，因为这是一个线性方程组，这个时候由于方程数比未知数少，一定是有无穷多个解，又由于其他两个特征向量是现象无关的，所以两个方程一定是不相同的，一定可以束缚住两个未知数，剩下一个自由向量，而这个自由向量得出来的基础解系，就是我们的第三个特征向量。（2）如果三阶方阵中只有两个特征值，其中一个是双重根。如果知道单根，是可以求双重根的，怎么求呢？先设置一个全集（x1,x2,x3）然后正交为0，变成一个方程三个未知数的线性方程组，求出两个基础解系，因为重根的特征向量是不确定的，所以可以将求出来的基础解系当做是特征向量，后面进行正交化单位化就好了！怎么规避正交化呢？我们在求基础解系的时候，一定会有10,01，那么我们先写出一个（x,1,0），剩下的怎么办？我们知道和0相乘的第三位一定相乘为0，所以只要保证前两位正交就好了，那么按照正交的要求写出前两位就好了，剩下的第三位满足方程的要求就好了，这样就规避了施密特正交化。（如果不能规避施密特正交化的话，那么直接使用公式就好了。）（3）第三种情况就是知道两个重根的特征向量，然后求出剩下的向量，方式和第一种方式是一样的，这里就不再赘述了。

接着上面：其实线性方程组的问题其实就是n元m个方程的问题，如果是方阵，那么就是n元n个方程的问题。如果我们看到上述n元m个方程的问题，需要求解，那么就转化为线性方程组的问题，转而求基础解系就好了。（哪怕只有一个三元的方程也是可以求基础解系的。）

这里讨论一下：实对称矩阵中，三阶矩阵中，在知道了一个单根的情况下，为什么只有在知道剩下的两个根是重根的情况下才能求出剩下的两个特征向量呢？为什么三个单根的情况不可以呢？（也可以参考上述图片的解答。）

答：首先有一个定理：“不属于一个特征值的特征向量的线性组合不是这个矩阵A的特征向量，而同属于一个特征值的特征向量的线性组合还是这个特征值的特征向量。”也就是，一个双重根，在实对称矩阵的情况下，尽管里面的两个特征向量是线性无关的，但是这两个向量是不唯一的，因为这两个向量的线性组合还是属于这个特征值的特征向量，从几何的角度来看就是：这一个特征值是双重的，且由于实对称矩阵，所以有两个线性无关的特征向量，所以表示的是一个平面，但是其中的特征向量是不确定的，只要是任何能够表示这个平面的线性无关的特征向量就可以了，即这两个特征向量的方向是不确定的；而单根就不一样，单根求出来的特征向量的方向是确定的，是不能够改变的，所以不能通过上述的方式——即先求出一个平面的基，然后正交化单位化，这个是不可能行的，因为一个平面的基是无数的，而单根的特征向量是确定的，不能由无数确定单一，这个就是局限性；但如果是重根的话，重根的特征向量本来就是不确定的，所以无所谓，无数对无数是没有问题的。

非齐次线性方程组的通解等于齐次的通解加上一个特解。这个特解怎么来的呢？特解是对自由变量随便取值就可以得到了，比如全部取0（只要不让为0向量就好了），然后按照方程要求求解就好了。

等价矩阵是最简单的，只要秩相同就好了，但是要同型；等价向量组不要求向量的个数，只要向量组的秩是相同且满足将所有向量混合到一起的秩也是不变的（竖着放）；同解方程组也是看秩是否是相同的且要求将所有的方程横着放的秩也是相同的（横着放）；公共解注意有三种情况，一种是告诉你两个矩阵，让你求公共解，只要将两个矩阵横着放，当做一个矩阵求解就可以了，第二种情况就是告诉你一个矩阵和另外一个矩阵的通解，这个时候可以将这个通解合成一个，然后代入之前那个矩阵的Ax=0中的x中去，和矩阵A相乘，求出通解中k1,k2...kn的关系，使得约掉其中几个k，然后得出新的k就是公共解啦。第三种情况就是将得到的矩阵A的通解求出来，然后使得两个通解相等，找出前面系数l和k的关系，然后借此约掉里面的k或者l（最后只要一种系数表示就好了，用k或者l表示都可以），剩下的解就是公共解啦。

其实平常使用的线性方程组求解的方式的本质就是同解方程组，这就是为什么只能使用行初等变化的原因，因为如果使用了列初等变换，最后将所有行放在一起求秩的时候肯定和之前的分开的秩不一样，而秩进行行初等变换是可以不变的。

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