1.前言

在学习了刚体运动的指数坐标表示和运动旋量后，我又对使用指数积法(PoE)对机械臂进行正运动学建模，相比于DH参数法，感觉PoE还是非常简单直接的，在此对我的学习进行总结，如有错误欢迎指出。

2.指数积公式建立过程

在使用PoE建立正运动学模型时，我们需要获得以下参数：

建立基坐标系（惯性系）和末端坐标系
写出初始时刻的末端坐标系相对于惯性系的位姿MMM
写出各个关节的运动旋量，即SSS，内含单位角速度和原点线速度，可以参考上一篇博客刚体运动旋量讲解
获得关节角度，即正运动学算法的输入参数
对位姿MMM不断进行左乘运动旋量的矩阵指数，即可获得运动学表达式
T(θ)=e[S1]θ1...e[Sn−1]θn−1e[Sn]θnMT(\theta)=e^{[S_1]\theta_1}...e^{[S_{n-1}]\theta_{n-1}}e^{[S_n]\theta_n}M T(θ)=e[S1]θ1...e[Sn−1]θn−1e[Sn]θnM
可见，使用PoE算法可以不用为每个关节建立关节坐标系，省去了坐标系的繁琐，且通用性更高，针对不同的机械臂，只需修改运动旋量即可，而无需重新建立坐标系。

3.PoE实例

这里的实例采用《现代机器人学》这本书中的例子，选择了一个3DoF的例子进行讲解，其余自由度以及平移关节推导过程类似。

首先，写出初始状态下的末端执行器位姿为
M=[001L10100−100−L20001]M= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & L_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -L_2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] M=⎣⎢⎢⎡00−1001001000L10−L21⎦⎥⎥⎤
然后，写出每个关节的运动旋量。首先是角速度部分，因为采用的是单位角速度∣∣ω∣∣=1\left|| \omega \right||=1∣∣ω∣∣=1，故角速度部分也就是旋转轴相对于惯性系的表达，注：只取方向表达，不用考虑旋转轴位移
ω1=(0,0,1)ω2=(0,−1,0)ω3=(1,0,0)\omega_1=(0,0,1) \\\omega_2=(0,-1,0) \\\omega_3=(1,0,0) ω1=(0,0,1)ω2=(0,−1,0)ω3=(1,0,0)
接着，写出线速度部分，该线速度指的是刚体绕关节轴旋转时，惯性系的原点在该旋转中的线速度，故需要选择一条从旋转轴到原点的矢径，该矢径在惯性系中的表达为qqq，但当其代入线速度计算时，需要反向，因为是从旋转轴指向原点，即
v=−ω×qv=-\omega\times q v=−ω×q
根据旋转轴是条直线，可以无限延长来合适的选择旋转轴上的点，可以简化该计算，本例中选择qqq为
q1=(0,0,0)q2=(L1,0,0)q3=(0,0,−L2)q_1=(0,0,0) \\q_2=(L_1,0,0) \\q_3=(0,0,-L_2) q1=(0,0,0)q2=(L1,0,0)q3=(0,0,−L2)
因此计算得到原点因各个关节旋转而获得的线速度为
v1=(0,0,0)v2=(0,0,−L1)v3=(0,−L2,0)v_1=(0,0,0) \\v_2=(0,0,-L_1) \\v_3=(0,-L_2,0) v1=(0,0,0)v2=(0,0,−L1)v3=(0,−L2,0)
从而获得了运动旋量，将其写为李代数形式，代入上述正运动学公式即可获得正运动学表达式，不再赘述，可参考前面的文章。

4.PoE与DH对比

在参数个数上，DH占有优势，仅用4n个参数即可描述机械臂，而PoE则需要6n个参数来表达运动旋量，还有n个关节角参数，共计7n个。

但是PoE在建模时更加方便直观，对于旋转和移动关节都能够很好的进行表达。

DH参数坐标系的建立还依赖于两个关节轴的公法线，当相邻的两关节轴平行的时候，建立了一个理论上的坐标系，但是因为制造等误差，让一组关节轴偏离了精确平行或相交于一点的位置时，所建立的坐标系即为错误的，这将对进行DH参数的精确测量和辨识增加困难。而PoE则因没有关节坐标系而可以更加方便的进行参数辨识等。

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