四种最优化方法复盘总结

最优化方法
当我们准备好了一个函数表达式之后，如何求解该函数的最优值就会成为一个巨大的挑战。今天杰哥给大家总结一下常用的四种优化方法。

无约束优化问题
所谓无约束优化问题，就是指对一个函数求最优值，最优值可以出现在函数上任意一点，而我们不去限定查找最优值的范围。

有约束优化问题
有约束优化问题就是指给自变量的取值范围做限制，缩小优化范围，经典的约束优化算法有：

内点法(interior-point)
有效集法(active-set)
SQP算法(sqp)
信赖域反射法(trust-region-reflective)

约束，又分线性约束与非线性约束，所谓线性约束，就是指约束条件中的自变量都是1次幂的，非线性约束即有高次幂的自变量出现。

假设有如下约束优化函数和约束：
$minf(x1,x2)=-x1x2$

$s.t. \rightarrow 1-x1^{2}-x2^{2}\geqslant 0$

我们首先把这个函数的图像在Matlab中给大家画出来：

%目标函数图像绘制
x1=-1:0.05:1;
x2=-1:0.05:1;
[x1,x2]=meshgrid(x1,x2);
y=-x1.*x2;
figure(1)
%使用mesh函数画图
mesh(x1,x2,y);
figure(2)
%使用surfl画图
surfl(x1,x2,y);
figure(3)
%使用surf函数画图
surf(x1,x2,y);

%约束区域部分位置
[x1,x2]=meshgrid(-1:0.05:1);
z=1-x1.^2-x2.^2;
ind=(z>=0);
h=scatter(x1(ind),x2(ind));

如图所示：

使用Matlab实现一下四种优化算法：

function [xsol, fval] = runfmincon
% 初始点
x0 = [-0.1 -0.1];% 四种优化算法，大家选一种用，杰哥这里用的是内点法
% 'active-set', 'interior-point', 'sqp', or 'trust-region-reflective'.
options = optimset('Display', 'iter-detailed', 'Algorithm', 'interior-point', 'MaxIter', 8); % 优化器参数
% fmincon参数解释
% fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);
% fun:要优化的函数
% x0:自变量的初始值
% A:非等式(<)线性约束的约束矩阵A
% b:非等式(<)线性约束的约束条件矩阵b
% Aeq:等式约束的线性约束的约束矩阵Aeq
% beq:等式线性约束的约束条件矩阵beq
% lb,ub:自变量的下限和上限
% nonlcon:非线性约束
[xsol, fval] = fmincon(@objfun, x0, [], [], [], [], [], [], @confun, options);% 目标函数function f = objfun(x)f = - x(1) * x(2);end% 非线性约束function [c, ceq] = confun(x)% Nonlinear inequality constraintsc = [x(1)^2 + x(2)^2 - 1];% Nonlinear equality constraintsceq = [];end
end

优化结果：

%在Matlab命令行窗口输入
[xsol,fval] = runfmincon;% 迭代优化结果
[x1,x2]=[-0.7071,-0.7071]
f=-0.5

具体函数详见我的博客：轨迹跟踪求解Fmincon函数（2）_Wechat：Jeossirey-LSJ-CSDN博客

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