文章梗概

本文的主要工作是给出了相关MIMO信道模型下容量的估计方法。
文章结构：

I-A开始，介绍文章所用的部分数学表述及系统模型；
II介绍本文所用的数学架构；并在II-A中讨论无interferer且AWGN的情况，在II-B中讨论有interferer且有相关噪声的情况；
IV介绍在其他场景中的应用，此处不表。

文章部分数学表述及系统模型

数学表述：定义在矩阵元上的三种积分

1、DcX=∏a=1mrows ∏α=1mcols dRe⁡XaαdIm⁡Xaα2πD_{c} \boldsymbol{X}=\prod_{a=1}^{m_{\text {rows }}} \prod_{\alpha=1}^{m_{\text {cols }}} \frac{d \operatorname{Re} X_{a \alpha} d \operatorname{Im} X_{a \alpha}}{2 \pi}DcX=∏a=1mrows ∏α=1mcols 2πdReXaαdImXaα
2、dμ(T,R)=∏a=1mrows∏α=1mcolsdTaαdRαa2πid \mu(\boldsymbol{T}, \boldsymbol{R})=\prod_{a=1}^{m_{\mathrm{rows}}} \prod_{\alpha=1}^{m_{\mathrm{cols}}} \frac{d T_{a \alpha} d R_{\alpha a}}{2 \pi i}dμ(T,R)=∏a=1mrows∏α=1mcols2πidTaαdRαa
3、DgA=∏a=1mrows ∏α=1mcols dAaαdAˉaαD_{g} \boldsymbol{A}=\prod_{a=1}^{m_{\text {rows }}} \prod_{\alpha=1}^{m_{\text {cols }}} d A_{a \alpha} d \bar{A}_{a \alpha}DgA=∏a=1mrows ∏α=1mcols dAaαdAˉaα

系统模型

传输过程表述如下：
y=ρsntGsxs+ρiniGixi+z(1)\boldsymbol{y}=\sqrt{\frac{\rho_{s}}{n_{t}}} \boldsymbol{G}^{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{x}^{s}+\sqrt{\frac{\rho_{i}}{n_{i}}} \boldsymbol{G}^{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{x}^{i}+\boldsymbol{z} \tag{1}y=ntρsGsxs+niρiGixi+z(1)其中Gs\boldsymbol{G}^{\boldsymbol{s}}Gs是一个nr×ntn_r \times n_tnr×nt的复矩阵，表示信号信道矩阵，Gi\boldsymbol{G}^{\boldsymbol{i}}Gi是nr×nin_r \times n_inr×ni的复矩阵，表示干扰信道矩阵；xs\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{s}}xs与xi\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{i}}xi表示ntn_tnt维及nrn_rnr维的发射信号与干扰信号向量，都是零均值的高斯变量。发射信号功率限制为Q=E[xsxs†],Tr⁡{Q}=nt\boldsymbol{Q}=E\left[\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{s}^{\dagger}}\right] ,\operatorname{Tr}\{\boldsymbol{Q}\}=n_{t}Q=E[xsxs†],Tr{Q}=nt。

数学分析架构

一般架构

互信息生成函数有：g(ν)=⟨[det⁡(N+ρiniGiGi†+ρsntGsQGs†)]−ν[det⁡(N+ρiniGiGi†)]−ν⟩=⟨e−νI⟩=1−ν⟨I⟩+ν22⟨I2⟩+⋯(2)\begin{aligned} g(\nu) &=\left\langle\frac{\left[\operatorname{det}\left(N+\frac{\rho_{i}}{n_{i}} G^{i} G^{i^{\dagger}}+\frac{\rho_{s}}{n_{t}} G^{s} Q G^{s \dagger}\right)\right]^{-\nu}}{\left[\operatorname{det}\left(N+\frac{\rho_{i}}{n_{i}} G^{i} G^{i^{\dagger}}\right)\right]^{-\nu}}\right\rangle \\ &=\left\langle e^{-\nu I}\right\rangle \\ &=1-\nu\langle I\rangle+\frac{\nu^{2}}{2}\left\langle I^{2}\right\rangle+\cdots \end{aligned} \tag{2}g(ν)=⟨[det(N+niρiGiGi†)]−ν[det(N+niρiGiGi†+ntρsGsQGs†)]−ν⟩=⟨e−νI⟩=1−ν⟨I⟩+2ν2⟨I2⟩+⋯(2)假设g(ν)g(\nu)g(ν)至少在ν=0\nu=0ν=0时是解析的，则logg(ν)\mathrm{log}g(\nu)logg(ν)可以表述为：log⁡g(ν)=−ν⟨I⟩+∑p=2∞(−ν)pp!Cp(3)\log g(\nu)=-\nu\langle I\rangle+\sum_{p=2}^{\infty} \frac{(-\nu)^{p}}{p !} \mathcal{C}_{p} \tag{3}logg(ν)=−ν⟨I⟩+p=2∑∞p!(−ν)pCp(3)其中Cp\mathcal{C}_pCp为III的ppp阶累计矩，例如C2=Var⁡(I)=⟨(I−⟨I⟩)2⟩\mathcal{C}_{2}=\operatorname{Var}(I)=\left\langle(I-\langle I\rangle)^{2}\right\rangleC2=Var(I)=⟨(I−⟨I⟩)2⟩为方差，C3=Sk(I)=⟨(I−⟨I⟩)3⟩\mathcal{C}_{3}=S k(I)=\left\langle(I-\langle I\rangle)^{3}\right\rangleC3=Sk(I)=⟨(I−⟨I⟩)3⟩为分布偏态。

AWGN噪声且无干扰

此时噪声矩阵为N=Inr\boldsymbol{N}=\boldsymbol{I}_{n_{r}}N=Inr，则容量表达式为：g(ν)=⟨[det⁡(Inr+ρsntGsQGs†)]−ν⟩(4)g(\nu)=\left\langle\left[\operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}_{n_{r}}+\frac{\rho_{s}}{n_{t}} \boldsymbol{G}^{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{G}^{\boldsymbol{s} \dagger}\right)\right]^{-\nu}\right\rangle \tag{4}g(ν)=⟨[det(Inr+ntρsGsQGs†)]−ν⟩(4)
设ν\nuν为任意正整数，由Appendix I中Identity 1，上式可写为：g(ν)=∫DcXe−12Tr⁡{X†X}⟨e−ρs2ntTr⁡{X†GsQGs†X}⟩(5)g(\nu)=\int D_{c} \boldsymbol{X} e^{-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{X}^{\dagger} \boldsymbol{X}\right\}}\left\langle e^{-\frac{\rho_{s}}{2 n_{t}} \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{X}^{\dagger} \boldsymbol{G}^{s} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{G}^{\boldsymbol{s}\dagger} \boldsymbol{X}\right\}}\right\rangle \tag{5}g(ν)=∫DcXe−21Tr{X†X}⟨e−2ntρsTr{X†GsQGs†X}⟩(5)其中X\boldsymbol{X}X为复的nr×νn_r \times \nunr×ν维矩阵。
上式中括号中项利用Identity 2可以被改写为：⟨e−ρs2ntTr⁡{X†GsQGs†X}⟩=∫DcYe−12Tr⁡Y†Y×⟨e−ρS4ntTr⁡{X†GsQ1/2Y−Y†Q1/2Gs†X}⟩(6)\begin{array}{r} \left\langle e^{-\frac{\rho_{s}}{2 n_{t}} \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{X}^{\dagger} \boldsymbol{G}^{s} \boldsymbol{Q G}^{\boldsymbol{s} \dagger} \boldsymbol{X}\right\}}\right\rangle=\int D_{c} \boldsymbol{Y} e^{-\frac{1}{2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{Y}^{\dagger} \boldsymbol{Y}} \\ \times\left\langle e^{-\sqrt{\frac{\rho_{S}}{4 n_{t}}} \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{X}^{\dagger} \boldsymbol{G}^{s} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{Y}^{\dagger} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{G}^{\boldsymbol{s} \dagger} \boldsymbol{X}\right\}}\right\rangle \end{array} \tag{6}⟨e−2ntρsTr{X†GsQGs†X}⟩=∫DcYe−21TrY†Y×⟨e−4ntρSTr{X†GsQ1/2Y−Y†Q1/2Gs†X}⟩(6)则g(ν)g(\nu)g(ν)可以写为：g(ν)=∫DcXDcY⋅e−12Tr⁡{X†X+Y†Y+ρs2ntY†Q1/2TsQ1/2YX†RsX}(7)\begin{aligned} g(\nu)=& \int D_{c} \boldsymbol{X} D_{c} \boldsymbol{Y} \\ & \cdot e^{-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{X}^{\dagger} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}^{\dagger} \boldsymbol{Y}+\frac{\rho_{s}}{2 n_{t}} \boldsymbol{Y}^{\dagger} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{T}^{s} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{Y} \boldsymbol{X}^{\dagger} \boldsymbol{R}^{s} \boldsymbol{X}\right\}} \end{aligned} \tag{7}g(ν)=∫DcXDcY⋅e−21Tr{X†X+Y†Y+2ntρsY†Q1/2TsQ1/2YX†RsX}(7)将指数的最后一项用X,Y\boldsymbol{X,Y}X,Y表示为二次型（利用Identity 3并引入ν×ν\nu \times \nuν×ν维矩阵R1,T1\boldsymbol{R}_1,\boldsymbol{T}_1R1,T1）则指数的最后一项可写为：exp⁡[ρs2ntTr⁡{Y†Q1/2TsQ1/2YX†RsX}]=∫dμ(T1,R1)exp⁡[Tr⁡{T1R1}−ρs4nt×Tr⁡{T1Y†Q1/2TsQ1/2Y+X†RsXR1}](8)\begin{array}{l} \exp \left[\frac{\rho_{s}}{2 n_{t}} \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{Y}^{\dagger} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{T}^{s} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{Y} \boldsymbol{X}^{\dagger} \boldsymbol{R}^{s} \boldsymbol{X}\right\}\right] \\ =\int d \mu\left(\boldsymbol{T}_{1}, \boldsymbol{R}_{1}\right) \exp \left[\operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{T}_{1} \boldsymbol{R}_{1}\right\}-\sqrt{\frac{\rho_{s}}{4 n_{t}}}\right. \\ \left.\times \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{T}_{1} \boldsymbol{Y}^{\dagger} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{T}^{s} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{Y}+\boldsymbol{X}^{\dagger} \boldsymbol{R}^{s} \boldsymbol{X} \boldsymbol{R}_{1}\right\}\right] \end{array} \tag{8}exp[2ntρsTr{Y†Q1/2TsQ1/2YX†RsX}]=∫dμ(T1,R1)exp[Tr{T1R1}−4ntρs×Tr{T1Y†Q1/2TsQ1/2Y+X†RsXR1}](8)这种方法叫Hubbard–Stratonovich变换，在“Distributions of singular values for some random matrices,”中也有应用，该方法处理上面这种指数矩阵解耦非常有用。
上述过程处理完成后，g(ν)g(\nu)g(ν)表述如下：g(ν)=∫dμ(T1,R1)e−S(9)g(\nu)=\int d \mu\left(\boldsymbol{T}_{1}, \boldsymbol{R}_{1}\right) e^{-\mathcal{S}} \tag{9}g(ν)=∫dμ(T1,R1)e−S(9)其中S=log⁡det⁡(Inr⊗Iν+ρsntRs⊗R1)+log⁡det⁡(Int⊗Iν+ρsntQ1/2TsQ1/2⊗T1)−Tr⁡{T1R1}.(10)\begin{aligned} \mathcal{S}=& \log \operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}_{n_{r}} \otimes \boldsymbol{I}_{\nu}+\sqrt{\frac{\rho_{s}}{n_{t}}} \boldsymbol{R}^{s} \otimes \boldsymbol{R}_{1}\right) \\ &+\log \operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}_{n_{t}} \otimes \boldsymbol{I}_{\nu}+\sqrt{\frac{\rho_{s}}{n_{t}}} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \boldsymbol{T}^{s} \boldsymbol{Q}^{1 / 2} \otimes \boldsymbol{T}_{1}\right) \\ &-\operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{T}_{1} \boldsymbol{R}_{1}\right\} . \end{aligned} \tag{10}S=logdet(Inr⊗Iν+ntρsRs⊗R1)+logdet(Int⊗Iν+ntρsQ1/2TsQ1/2⊗T1)−Tr{T1R1}.(10)到此处，后面可以用鞍点逼近来分析。

鞍点逼近法是一种获得复空间中快变函数积分系统展开式的方法。这种方法包括变形积分轮廓，使其通过一个（或多个）点，其中被积函数的指数是平稳的，即指数对所有积分变量的导数消失的点[24]。因此，沿最陡下降路径的点周围的积分渐进地携带积分的最高权重。通常，当被积函数的指数较大时，这种近似是有效的，在这种情况下，这种方法也被称为拉普拉斯方法，或Varadhan定理。

由于鞍点近似解决的是复平面积分I(λ)=∫Cdzeλg(z)I(\lambda)=\int_{C} d z e^{\lambda g(z)}I(λ)=∫Cdzeλg(z)当λ\lambdaλ取大值时的近似问题。其中g(z)g(z)g(z)应该是zzz的解析函数。所以到此上述部分都是在将互信息凑成可以用鞍点分析的形式。

鞍点分析

(7)(7)(7)式中T1\boldsymbol{T}_1T1及R1\boldsymbol{R}_1R1在鞍点处的形式为t1ntIνt_{1} \sqrt{n_{t}} \boldsymbol{I}_{\nu}t1ntIν及r1ntIνr_{1} \sqrt{n_{t}} \boldsymbol{I}_{\nu}r1ntIν，若将除nt\sqrt{n_{t}}nt以外的项写入方差，则逼近的每一步T1\boldsymbol{T}_1T1及R1\boldsymbol{R}_1R1可写为T1=t1ntIν+δT1R1=r1ntIν+δR1(11)\begin{array}{l} \boldsymbol{T}_{1}=t_{1} \sqrt{n_{t}} \boldsymbol{I}_{\nu}+\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1} \\ \boldsymbol{R}_{1}=r_{1} \sqrt{n_{t}} \boldsymbol{I}_{\nu}+\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1} \end{array} \tag{11}T1=t1ntIν+δT1R1=r1ntIν+δR1(11)则(8)(8)(8)式中S\mathcal{S}S可以用方差矩阵δT1,δR1\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1},\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1}δT1,δR1的泰勒展开式展开：S=S0+S1+S2+S3+S4⋯(12)\mathcal{S}=\mathcal{S}_{0}+\mathcal{S}_{1}+\mathcal{S}_{2}+\mathcal{S}_{3}+\mathcal{S}_{4} \cdots \tag{12}S=S0+S1+S2+S3+S4⋯(12)其中Sp\mathcal{S}_pSp为δT1,δR1\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1},\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1}δT1,δR1泰勒展开第ppp项的函数：S0=ν[log⁡det⁡(Int+ρsQTst1)+log⁡det⁡(Inr+ρsRsr1)−ntr1t1]=νΓs(13)\begin{aligned} \mathcal{S}_{0}=& \nu\left[\log \operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}_{n_{t}}+\sqrt{\rho_{s}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{T}^{s} t_{1}\right)\right.\\ &\left.+\log \operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}_{n_{r}}+\sqrt{\rho_{s}} \boldsymbol{R}^{s} r_{1}\right)-n_{t} r_{1} t_{1}\right] \\ =& \nu \Gamma_{s} \end{aligned} \tag{13}S0==ν[logdet(Int+ρsQTst1)+logdet(Inr+ρsRsr1)−ntr1t1]νΓs(13)S1=(Mr,1−ntt1)Tr⁡{δR1}+(Mt,1−ntr1)Tr⁡{δT1}(14)\mathcal{S}_{1}=\left(M_{r, 1}-\sqrt{n_{t}} t_{1}\right) \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1}\right\}+\left(M_{t, 1}-\sqrt{n_{t}} r_{1}\right) \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1}\right\} \tag{14}S1=(Mr,1−ntt1)Tr{δR1}+(Mt,1−ntr1)Tr{δT1}(14)S2=−12Tr⁡{Mr,2(δR1)2+Mt,2(δT1)2+2δR1δT1}=12Tr⁡{[δR1δT1]TV[δR1δT1]}(15)\begin{aligned} \mathcal{S}_{2} &=-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left\{M_{r, 2}\left(\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1}\right)^{2}+M_{t, 2}\left(\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1}\right)^{2}+2 \delta \boldsymbol{R}_{1} \boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1}\right\} \\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left\{\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1} \\ \boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1} \end{array}\right]^{T} \boldsymbol{V}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1} \\ \boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1} \end{array}\right]\right\} \end{aligned} \tag{15}S2=−21Tr{Mr,2(δR1)2+Mt,2(δT1)2+2δR1δT1}=21Tr{[δR1δT1]TV[δR1δT1]}(15)其中Hessian矩阵V\boldsymbol{V}V为：V=[−Mr,2−1−1−Mt,2](16)\boldsymbol{V}=\left[\begin{array}{cc} -M_{r, 2} & -1 \\ -1 & -M_{t, 2} \end{array}\right] \tag{16}V=[−Mr,2−1−1−Mt,2](16)当p>2p >2p>2，则Sp\mathcal{S}_pSp可简化为：Sp=(−1)ppTr⁡{Mr,p(δR1)p+Mt,p(δT1)p}(17)\mathcal{S}_{p}=\frac{(-1)^{p}}{p} \operatorname{Tr}\left\{M_{r, p}\left(\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1}\right)^{p}+M_{t, p}\left(\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1}\right)^{p}\right\} \tag{17}Sp=p(−1)pTr{Mr,p(δR1)p+Mt,p(δT1)p}(17)其中Mt,p=(ρsnt)p/2Tr⁡{[QTs(Int+ρst1QTs)−1]p}Mr,p=(ρsnt)p/2Tr⁡{[Rs(Inr+ρsr1Rs)−1]p}(18)\begin{array}{l} M_{t, p}=\left(\frac{\rho_{s}}{n_{t}}\right)^{p / 2} \operatorname{Tr}\left\{\left[\boldsymbol{Q} \boldsymbol{T}^{s}\left(\boldsymbol{I}_{n_{t}}+\sqrt{\rho_{s}} t_{1} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{T}^{s}\right)^{-1}\right]^{p}\right\} \\ M_{r, p}=\left(\frac{\rho_{s}}{n_{t}}\right)^{p / 2} \operatorname{Tr}\left\{\left[\boldsymbol{R}^{s}\left(\boldsymbol{I}_{n_{r}}+\sqrt{\rho_{s}} r_{1} \boldsymbol{R}^{s}\right)^{-1}\right]^{p}\right\} \end{array} \tag{18}Mt,p=(ntρs)p/2Tr{[QTs(Int+ρst1QTs)−1]p}Mr,p=(ntρs)p/2Tr{[Rs(Inr+ρsr1Rs)−1]p}(18)可以看到(8)(8)(8)式中两个Q1/2\boldsymbol{Q}^{1/2}Q1/2可以合为Q\boldsymbol{Q}Q。则(7)(7)(7)式的鞍点解，即t1,r1t_1,r_1t1,r1可由“针对变换的T1,R1\boldsymbol{T}_1,\boldsymbol{R}_1T1,R1，S\mathcal{S}S不变”得到，则S1=0\mathcal{S}_1=0S1=0，这类似于为了求最大值或最小值将一阶导设为0，则有：r1=1ntMt,1=ρsntTr⁡{QTs[Int+ρst1QTs]−1}(19)r_{1} =\frac{1}{n_{t}} M_{t, 1}=\frac{\sqrt{\rho_{s}}}{n_{t}} \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{Q} \boldsymbol{T}^{s}\left[\boldsymbol{I}_{n_{t}}+\sqrt{\rho_{s}} t_{1} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{T}^{s}\right]^{-1}\right\} \tag{19}r1=nt1Mt,1=ntρsTr{QTs[Int+ρst1QTs]−1}(19)t1=1ntMr,1=ρsntTr⁡{Rs[Inr+ρsRsr1]−1}(20)t_{1} =\frac{1}{n_{t}} M_{r, 1}=\frac{\sqrt{\rho_{s}}}{n_{t}} \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{R}^{s}\left[\boldsymbol{I}_{n_{r}}+\sqrt{\rho_{s}} \boldsymbol{R}^{s} r_{1}\right]^{-1}\right\} \tag{20}t1=nt1Mr,1=ntρsTr{Rs[Inr+ρsRsr1]−1}(20)(17)(18)(17)(18)(17)(18)的解在正实数t1,r1t_1,r_1t1,r1的基础上最大化Γs\Gamma_{s}Γs。
控制该逼近过程的是小参数n1/2n^{1/2}n1/2，所以鞍点逼近在大规模MIMO中更加精确。

平均互信息

由g(ν)g(\nu)g(ν)的前几项可得：g(ν)≈exp⁡(−S0)=exp⁡(−νΓs)g(\nu) \approx \exp \left(-\mathcal{S}_{0}\right)=\exp \left(-\nu \Gamma_{s}\right)g(ν)≈exp(−S0)=exp(−νΓs)我们可以看到⟨I⟩\langle I\rangle⟨I⟩的主成分项为Γs\Gamma_{s}Γs，且有⟨I⟩=O(n)\langle I\rangle=\mathcal{O}(n)⟨I⟩=O(n)。

互信息的方差

为了得到(10)(10)(10)式中logg(ν)\mathrm{log}g(\nu)logg(ν)的O(v2)\mathcal{O}(v^2)O(v2)项，我们需将下一个非零项包括进来，即S2\mathcal{S}_2S2。因此我们仅忽略更高项Sp,p>2\mathcal{S}_p,p>2Sp,p>2。
基于(11)(11)(11)式的均值方差表述，g(ν)g(\nu)g(ν)可以被表述为：g(ν)=e−S0∫dμ(δT1,δR1)e−S2=e−S0∫dμ(δT1,δR1)×exp⁡(−12∑a,b=1ν[δT1,abδR1,ab]V[δT1,baδR1,ba]T)(21)\begin{aligned} g(\nu)=& e^{-\mathcal{S}_{0}} \int d \mu\left(\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1}, \boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1}\right) e^{-\mathcal{S}_{2}} \\ =& e^{-\mathcal{S}_{0}} \int d \mu\left(\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1}, \boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1}\right) \\ & \times \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{a, b=1}^{\nu}\left[\delta T_{1, a b} \delta R_{1, a b}\right] \boldsymbol{V}\left[\delta T_{1, b a} \delta R_{1, b a}\right]^{T}\right) \end{aligned} \tag{21}g(ν)==e−S0∫dμ(δT1,δR1)e−S2e−S0∫dμ(δT1,δR1)×exp⎝⎛−21a,b=1∑ν[δT1,abδR1,ab]V[δT1,baδR1,ba]T⎠⎞(21)为了将(21)(21)(21)中方程的指数项对角化，利用酉变换将δT1,δR1\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{T}_{1},\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{R}_{1}δT1,δR1改为ν×ν\nu \times \nuν×ν维矩阵W1,W2\boldsymbol{W}_1,\boldsymbol{W}_2W1,W2，如下：[W1,abW2,ab]T=U[δT1,abδR1,ab]T\left[W_{1, a b} W_{2, a b}\right]^{T}=\boldsymbol{U}\left[\delta T_{1, a b} \delta R_{1, a b}\right]^{T}[W1,abW2,ab]T=U[δT1,abδR1,ab]TU\boldsymbol{U}U是一个满足UVUT=diag⁡(v)\boldsymbol{U} \boldsymbol{V} \boldsymbol{U}^{\boldsymbol{T}}=\operatorname{diag}(\boldsymbol{v})UVUT=diag(v)的正交阵，其中v=[v1v2]T\boldsymbol{v}=[v_1 \space v_2]^Tv=[v1 v2]T是V\boldsymbol{V}V的特征值，则(21)(21)(21)式可以写为g(ν)=e−S0∫dμ(W1,W2)×exp⁡(−12∑a,b=1ν[v1W1,abW1,ba+v2W2,abW2,ba])(22)\begin{array}{l} g(\nu)=e^{-\mathcal{S}_{0}} \int d \mu\left(\boldsymbol{W}_{1}, \boldsymbol{W}_{2}\right) \\ \times \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{a, b=1}^{\nu}\left[v_{1} W_{1, a b} W_{1, b a}+v_{2} W_{2, a b} W_{2, b a}\right]\right) \end{array} \tag{22}g(ν)=e−S0∫dμ(W1,W2)×exp(−21∑a,b=1ν[v1W1,abW1,ba+v2W2,abW2,ba])(22)由于Mt,2,Mr,2<1M_{t, 2}, M_{r, 2}<1Mt,2,Mr,2<1，v1,v2v_1,v_2v1,v2反号，因此为了保证M1,abM_{1,ab}M1,ab按照最速下降路径逼近，我们令W1=W1†\boldsymbol{W}_{1}=\boldsymbol{W}_{1}^{\dagger}W1=W1†，同时W2=iW2†\boldsymbol{W}_{2}=i \boldsymbol{W}_{2}^{\dagger}W2=iW2†，则(22)(22)(22)式进一步转化为g(ν)=e−S0∏k=12{∏a=1ν∫dWk,aa2π∏b>aν∬dRe⁡Wk,abdIm⁡Wk,ab2π×exp⁡[−12∣vk∣Tr⁡{Wk†Wk}]}=e−S0∣v1v2∣−ν22=e−S0∣det⁡V∣−ν22(23)\begin{aligned} g(\nu)=& e^{-\mathcal{S}_{0}} \prod_{k=1}^{2}\left\{\prod_{a=1}^{\nu} \int \frac{d W_{k, a a}}{\sqrt{2 \pi}} \prod_{b>a}^{\nu} \iint \frac{d \operatorname{Re} W_{k, a b} d \operatorname{Im} W_{k, a b}}{2 \pi}\right.\\ &\left.\times \exp \left[-\frac{1}{2}\left|v_{k}\right| \operatorname{Tr}\left\{\boldsymbol{W}_{k}^{\dagger} \boldsymbol{W}_{k}\right\}\right]\right\} \\ =& e^{-\mathcal{S}_{0}}\left|v_{1} v_{2}\right|^{-\frac{\nu^{2}}{2}}=e^{-\mathcal{S}_{0}}|\operatorname{det} \boldsymbol{V}|^{-\frac{\nu^{2}}{2}} \end{aligned} \tag{23}g(ν)==e−S0k=1∏2{a=1∏ν∫2πdWk,aab>a∏ν∬2πdReWk,abdImWk,ab×exp[−21∣vk∣Tr{Wk†Wk}]}e−S0∣v1v2∣−2ν2=e−S0∣detV∣−2ν2(23)将(3)(3)(3)式与(23)(23)(23)式逐项比较，对应上g(ν)g(\nu)g(ν)的ν\nuν阶泰勒展开式，则方差中的主成分为：⟨I2⟩−⟨I⟩2=C2=−log⁡∣det⁡V∣+⋯=−log⁡(1−Mr,2Mt,2)+⋯(24)\begin{aligned} \left\langle I^{2}\right\rangle-\langle I\rangle^{2} &=\mathcal{C}_{2}=-\log |\operatorname{det} \boldsymbol{V}|+\cdots \\ &=-\log \left(1-M_{r, 2} M_{t, 2}\right)+\cdots \end{aligned} \tag{24}⟨I2⟩−⟨I⟩2=C2=−log∣detV∣+⋯=−log(1−Mr,2Mt,2)+⋯(24)因为Mr,2,Mt,2=O(1)M_{r, 2}, M_{t, 2}=\mathcal{O}(1)Mr,2,Mt,2=O(1)，则方差在n−1/2n^{-1/2}n−1/2的扩展上也是O(1)\mathcal{O}(1)O(1)。同时我们发现在S2\mathcal{S}_2S2中没有哪一项是ν\nuν的函数。因此没有O(1)\mathcal{O}(1)O(1)中的哪一项在⟨I⟩\left\langle I \right\rangle⟨I⟩中出现，因此有⟨I⟩=Γs+o(1)\langle I\rangle=\Gamma_{s}+o(1)⟨I⟩=Γs+o(1)。

相关高斯分布的MIMO信道矩阵的容量统计特征推导