基矢量的协变导数

基矢量的协变导数为零

矢量的协变导数

基矢量的协变导数

基矢量分为协变基矢量与逆变基矢量。首先来看协变基矢量：

协变基矢量 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 的变换式为

$\frac{\partial }{\partial x^{\lambda '}}=\frac{\partial x^{\lambda }}{\partial x^{\lambda '}}\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$

对坐标 $x^{\mu '}$ 求此式的偏导数得

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu '}}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda '}})=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\mu '}}\frac{\partial x^{\lambda }}{\partial x^{\lambda '}}\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})+\frac{\partial ^{2}x^{\alpha }}{\partial x^{\mu '}\partial x^{\lambda '}}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$

可见协变基矢量对坐标的导数 $\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})$ 不是张量。将Christoffel符号 $\Gamma_{\mu \lambda }^{\kappa }$ 的变换式

$\frac{\partial ^{2}x^{\alpha }}{\partial x^{\mu '}\partial x^{\lambda '}}=\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\alpha '}}\Gamma _{\mu '\lambda '}^{\alpha '}-\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\mu '}}\frac{\partial x^{\lambda }}{\partial x^{\lambda '}}\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }$

代入此式并整理可得

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu '}}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda '}})-\Gamma _{\mu '\lambda '}^{\alpha '}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\mu '}}\frac{\partial x^{\lambda }}{\partial x^{\lambda '}}[\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})-\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}]$

从此式可以看到 $\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})-\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$ 是一个二阶协变的张量。

由于基矢量 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 是张量，但它对坐标的导数 $\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})$ 不是张量，因此它在 $(x+dx)$ 处的值

$\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}|_{x+dx}= \frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}+\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})dx^{\mu }$

就不是张量。

将 $\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})-\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$ 看作 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 的“导数”，称为协变导数，那么以协变导数为导数的时候，基矢量在 $(x+dx)$ 处的值

$\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}|_{x+dx}=\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}+[\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})-\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}]dx^{\mu }$

因为 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 协变， $\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})-\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$ 二阶协变， $dx^{\mu }$ 逆变，所以此式为协变矢量，它的意义就是 $(x+dx)$ 处的基矢量和 $x$ 处的基矢量的关系。

基矢量的协变导数为零

因为在给定坐标系 $x$ 下，在 $x$ 的每个点处，基矢量 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 都是对 $x$ 的坐标求偏导，因此每个点处的 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 都是相同的，因此 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 的协变导数为0（或者说因为 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 在每一点都与 $dx$ 对偶，而 $dx$ 在每一点都相同，所以 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 也必须在每一点都相同，即协变导数为0。）。即

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})-\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}=0$

也即

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})=\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$

若用 $g_{\lambda }$ 表示 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ ，则为

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(g_{\lambda })=\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }g_{\alpha }$

此式就是协变基矢量对坐标的导数的表达式，此式的来源就是 $g_{\lambda }$ 的协变导数为0。对基矢量取协变导数是为了将 $(x+dx)$ 处的基矢量拉到 $x$ 处，从而 $(x+dx)$ 处的矢量可以与 $x$ 处的矢量作比较，又因为 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 在每一点都与 $dx$ 对偶，而 $dx$ 在每一点都相同，所以 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 的协变导数为0，至此可得上式。

矢量的协变导数

考虑协变矢量 $u_{\lambda }$ 的协变导数，仿照基矢量的协变导数的推导过程，只要在

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}(\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }})-\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$

中将 $\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}$ 与 $\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}$ 替换为 $u_{\lambda }$ 与 $u_{\alpha }$ 即可，即 $u_{\lambda }$ 的协变导数为

$\frac{\partial u_{\lambda }}{\partial x^{\mu }}-\Gamma _{\mu \lambda }^{\alpha }u_{\alpha }$

逆变基矢量和逆变矢量的协变导数的推导方法类似。

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