全文翻译
不确定条件下MADM属性权重的置信分布分配

摘要

多属性决策问题通常由多种类型的定量和定性属性组成。定量属性可以通过精确的数值、区间值或模糊数进行评估，而定性属性可以通过信念分布、语言变量或直觉模糊集进行评估。然而，到目前为止，属性权重的确定仍然是MADM问题中的一个公开问题。在传统的客观权重赋值方法中，属性通常采用精确值进行评估。本文提出了一种熵权赋值方法来处理属性的评估可能包含不确定性，例如区间值，或者同时包含不确定性和不完备性，例如信念分布。所提方法的优势在于区间数值或置信度分布所包含的不确定性和不完全性可以在生成的权重中保留。具体来说，在三种不同的情况下构建了几对生成属性权重的规划模型：( 1 )用区间值表示的定量属性；( 2 )信任度准确的不完全信任分布；( 3 )由区间信度构成的信度分布。然后，基于生成的属性权重，利用证据推理方法聚合属性的分布。定义了归一化区间权重向量，讨论了权重赋值方法的特点。所提出的方法已经用真实数据进行了实验，以说明其在支持不确定和不完全信息的MADM方面的优势和潜力。

1 Introduction

具有多种类型属性的多属性决策在实际中普遍存在[ 1 ]。在MADM问题中，可以分别通过数值和主观判断来评估的定量和定性属性总是包含在问题中。多属性决策问题的目的是对多个备选方案进行排序，或从中选择最优方案。当定性属性用信念分布( Belief Distributions，BDs ) [ 2-7 ]或概率语言术语集( Probabilistic Language Term Set，PLTS ) [ 8 ]表示时，证据推理方法[ 1、9 ~ 15]可以提供一个概率聚合过程，很好地处理不确定性、无知性和模糊性。近年来，ER方法在故障诊断[ 4、16 - 18]、生命周期评价[ 19、20]、基于置信规则的推理[ 21-25 ]、城市公交线网评价[ 26 ]、数据分类[ 27 ]、医疗质量评价[ 28 ]、最优电力系统调度[ 29 ]、消费者偏好预测[ 30 ]、传感器数据融合[ 31、32]等领域得到了广泛的应用。但是如何创建一组相对合理且合适的属性权重仍然是一个开放性的问题。
众所周知，考虑所使用信息的权重分配方法( WAMs )有三类：主观、客观和混合[ 33-35 ]。主观WAMs如直接评分法[ 36-38 ]、加权最小二乘法[ 39 ]、AHP [ 40、41]和Delphi法[ 42、43]等都是基于决策者( DMs )通过问卷调查、讨论或头脑风暴提供的偏好。当缺乏足够的信息或决策者缺乏知识和专业知识时，主观方法可能无法得到有效应用。此外，在群决策( GDM ) [ 8 , 44-51]中，具有不同背景和偏好的决策者可能提供不一致的属性权重，这些属性权重需要聚合或达成共识。目的WAMs从评估值中包含的内在信息生成属性权重。传统的代表性方法有熵值法[ 7、14、52 ~ 58]、标准差法[ 10、59、60]、基于指标相关性的权重确定方法( CRITIC ) [ 59-61 ]和离差最大化法[ 62,63]。近年来，一些新的方法如相关系数和标准差集成( CCSD )方法[ 33 ]、基于偏差和决策不相容性的方法[ 10 ]、组合判别力方法[ 2 ]等被提出以应对更复杂的情况。它们都是基于决策矩阵中包含的以下两个维度信息中的一个或两个。一类是不同备选方案在某一特定属性上被评估值的差异，典型术语如对比强度[ 59 ]、不相容性[ 10 ]、辨别力[ 2 ]或差异度[ 14 ]等都是这类信息的表征。另一种反映了不同属性的值向量之间的冲突，或者相反的概念，表示每一对属性之间的相关性或相互依赖。混合型WAMs [ 35、53、64]在两类信息完全或部分可用的情况下，同时利用决策者的偏好和获得的评估值。
由于不同的属性权重集合可能产生不同的MADM问题的解[ 2 ]，因此如何有效地计算权重尤为重要。在复杂产品的生命周期评价( LCA )中，由于各种原因，在环境和经济维度获得的定量数据可能包含不确定性和忽略性；而由于DMs的主观性，从调查到评估社会维度所获得的定性判断也包括模糊性和不完整性。传统的目标或混合方法假设被评估属性的值是数值形式的，例如精确值[ 33、52、53、59、60、62]和模糊数[ 65-68 ]。但当数值中同时包含不确定性和不完备性时，如何求取客观属性权重仍是一个悬而未决的问题。例如，文献[ 26 ]中提出的不完全区间值允许在区间值评估中包含无知性和不可靠性。衡量所有备选方案关于特定属性的区间值之间的差异或每对属性之间的相互依赖关系的方法是获得权重的关键。同时，不完备性应该反映在生成的权重中，例如，属性权重的最终可靠性可以通过不完备性计算得到。在这种情况下，可以采用两种方式生成属性权重。一种方法是直接使用上述区间值评价的差异度和相互依赖度中的一种或两种来客观计算权重。另一种方法是利用优化模型生成属性权重的不确定范围。本文采用第二种方式，目的是区间值评估中包含的不确定性和不完备性能够在生成的属性权重中保留。
在证据理论的发展过程中，研究的重点主要集中在如何构造一个合理的融合规则与其他证据组合规则( ECRs )如一组D - S规则进行比较[ 69-72 ]。尽管属性权重被假设为多种类型，例如精确值[ 9、15、19、26、73 ~ 75]、区间值[ 5、12、76]和三角模糊数[ 1、13]，但自ER提出以来的二十多年中，无论是主观方法还是客观方法生成属性权重的方法都没有得到充分的讨论。近年来，一些文献[ 2、10、14]关注了当获取的信息为BDs形式时，ER - MADM问题的WAMs。但仍有一些问题需要进一步探讨。BDs的Orm .但仍有一些问题需要进一步探讨。首先，BDs中包含的无知/不完备性应该从生成的权重中体现出来，这将直接决定最终聚合结果的合理性。其次，区间信念分布( Interval Belief Distribution，IBD ) [ 11 , 76 ~ 79]可能是GDM问题中的一种可行表示，因为决策者的背景、专业知识和偏好不同，他们的判断可能不一致。此外，由于一些不确定因素，如知识的缺乏，个体DM自己给出的信念度也可能是不精确的。本文针对客观权重的生成，基于Shannon信息熵[ 80 ]构建优化模型，以解决评估以精确或区间置信度形式给出的情况。这是熵值法对属性权重赋值的一种推广，因为上述两种情况在以往的研究中没有得到充分的讨论。
本文的主要贡献可归纳如下：( 1 )扩展了熵权赋值法( EWAM )以应对评估值以区间值形式呈现的情况。然后给出了归一化区间权重向量的定义。( 2 )研究了置信度分布为(带BDs的EWAM)的熵权赋值方法。构建优化模型来生成由BD中包含的不确定性和不完备性引起的属性权重区间。( 3 )针对决策矩阵用IBD表示的情况，构建基于EWAM的优化模型，计算属性权重的不确定范围。并给出了完全IBD矩阵的概念。
本文余下部分的结构安排如下。第二部分简要介绍了基于ER的MADM框架。第3节研究了数值不确定的EWAM，定义了归一化区间权重向量的概念。第四节分别提出了具有不完全BDs和IBDs的EWAM。给出并证明了一些性质。第5节给出了第3节和第4节提出的方法的案例分析，并与现有的一些方法进行了比较。本文的结论在第6节。

2 Preliminaries

由D - S证据理论[ 69、70、72]发展而来的ER方法是MADM方法的一种，可以应用于包含不确定性、模糊性和不完备性的情况。ER方法的独特之处在于，主观判断中所涉及的不完全性或无知性可以以系统和一致的方式处理。假设包含N个语言评价等级的辨识框架为：
H={H1,H2,…,Hn,…,HN}H=\left\{H_1, H_2, \ldots, H_n, \ldots, H_N\right\} H={H1,H2,…,Hn,…,HN}
一般地，假设Hn+1H_{n+1}Hn+1优于HnH_nHn，用Hn+1≻Hn(n=1,2,…,N−1)H_{n+1} \succ H_n(n=1,2, \ldots, N-1)Hn+1≻Hn(n=1,2,…,N−1)表示。用u(Hn)u\left(H_n\right)u(Hn)表示HnH_nHn的效用，使得0≤u(Hn)<u(Hn+1)≤10 \leq u\left(H_n\right)<u\left(H_{n+1}\right) \leq 10≤u(Hn)<u(Hn+1)≤1.设e‾={e1,e2,…,ei,…,eL}\overline{\boldsymbol{e}}=\left\{e_1, e_2, \ldots, e_i, \ldots, e_L\right\}e={e1,e2,…,ei,…,eL} 和a‾={a1,a2,…,al,…,aS}\overline{\boldsymbol{a}}=\left\{a_1, a_2, \ldots, a_l, \ldots, a_S\right\}a={a1,a2,…,al,…,aS}分别为基本属性和所选方案的集合。用wiw_iwi 表示ei(i=1,2,…,L)e_i(i=1,2, \ldots, L)ei(i=1,2,…,L)的相对权重，使得0≤wi≤10 \leq w_i \leq 10≤wi≤1且∑i=1Lwi=1\sum_{i=1}^L w_i=1∑i=1Lwi=1。等级HnH_nHn的备选方案eie_iei的状态可以描述为如下期望：
S(ei(al))={(Hn,βn,i(al)),n=1,2,…,N;(H,βH,i(al))}S\left(e_i\left(a_l\right)\right)=\left\{\left(H_n, \beta_{n, i}\left(a_l\right)\right), n=1,2, \ldots, N ;\left(H, \beta_{H, i}\left(a_l\right)\right)\right\} S(ei(al))={(Hn,βn,i(al)),n=1,2,…,N;(H,βH,i(al))}
式中：( 2 )称为基本BD，其中 βn,i(al)\beta_{n, i}\left(a_l\right)βn,i(al) 表示第i个属性eie_iei 在ala_lal处的状态被确认为HnH_nHn的强度，或称为置信度。βH,i(al)\beta_{H, i}\left(a_l\right)βH,i(al)表示 ala_lal 在eie_iei处被评估的不确定性程度，也称为全局无知/不完备程度。假设BD\mathrm{BD}BD满足合理性假设[ 9 ]，其中0≤βn,i(al)≤10 \leq \beta_{n, i}\left(a_l\right) \leq 10≤βn,i(al)≤1和∑n=1Nβn,i(al)≤1\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}\left(a_l\right) \leq 1∑n=1Nβn,i(al)≤1 是共同满足的，且 ∑n=1Nβn,i(al)+βH,i(al)=1\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}\left(a_l\right)+\beta_{H, i}\left(a_l\right)=1∑n=1Nβn,i(al)+βH,i(al)=1. ER方法使用递归[ 15 ]或解析[ 74 ]的正交和操作来聚合特定备选方案上的L分布并在辨识框架上生成全局BD：
S(al)={(Hn,βn(al)),n=1,2,…,N;(H,βH(al))}S\left(a_l\right)=\left\{\left(H_n, \beta_n\left(a_l\right)\right), n=1,2, \ldots, N ;\left(H, \beta_H\left(a_l\right)\right)\right\} S(al)={(Hn,βn(al)),n=1,2,…,N;(H,βH(al))}
式中： βn(al)\beta_n\left(a_l\right)βn(al)表示ala_lal在HnH_nHn上被评估的全局置信度，βH(al)\beta_H\left(a_l\right)βH(al) 表示在考虑了e‾\overline{\boldsymbol{e}}e 中所有的LLL 个属性后，未被分配到任何个体评估等级的置信度。不同于D - S规则中假设每个证据的权重相同，使得wi=1(i=1,2,…,L)w_i=1(i=1,2, \ldots, L)wi=1(i=1,2,…,L)，ER方法中的ECR考虑了MADM问题中所需要的证据权重差异。除了利用全局BD对ala_lal的评估进行全景展示外，ER方法还使用效用函数决策( UFDM )方法直接对备选方案进行排序。当βH(al)\beta_H\left(a_l\right)βH(al) 分别分配给 u(HN)u\left(H_N\right)u(HN)和u(H1)u\left(H_1\right)u(H1)时，ala_lal的最大效用和最小效用分别为：
ulMax⁡=∑n=1Nβn(al)u(Hn)+βH(al)u(HN)ulMin⁡=∑n=1Nβn(al)u(Hn)+βH(al)u(H1)\begin{aligned} u_l^{\operatorname{Max}} & =\sum_{n=1}^N \beta_n\left(a_l\right) u\left(H_n\right)+\beta_H\left(a_l\right) u\left(H_N\right) \\ u_l^{\operatorname{Min}} & =\sum_{n=1}^N \beta_n\left(a_l\right) u\left(H_n\right)+\beta_H\left(a_l\right) u\left(H_1\right) \end{aligned} ulMaxulMin=n=1∑Nβn(al)u(Hn)+βH(al)u(HN)=n=1∑Nβn(al)u(Hn)+βH(al)u(H1)
则ala_lal可由区间[ulMin⁡,ulMax⁡]\left[u_l^{\operatorname{Min}}, u_l^{\operatorname{Max}}\right][ulMin,ulMax] 判断，其中0≤0 \leq0≤ ulMin ≤1u_l^{\text {Min }} \leq 1ulMin ≤1 and 0≤ulMax ≤10 \leq u_l^{\text {Max }} \leq 10≤ulMax ≤1。近年来，ER方法得到了多方面的发展，如：具有权重和可靠性的ER规则[ 14、19、81、82]、具有离散BD的ER [ 6 ]、具有相反支持度的ER [ 83 ]等。

3 数值不确定的EWAM

假设在一个MADM问题中包含SSS个备选方案和LLL个属性，该MADM问题可以表示为一个决策矩阵，如式(6 )所示。每一列表示特定属性eie_iei 对所有 SSS 个备选方案的评价向量，用S(ei(a‾))(i=1,2,…,L)S\left(e_i(\overline{\boldsymbol{a}})\right)(i=1,2, \ldots, L)S(ei(a))(i=1,2,…,L)表示；而每一行表示备选方案ala_lal被评估为所有LLL 个属性的性能向量，用S(eˉ(al))(l=1,2,…,S)S\left(\bar{e}\left(a_l\right)\right)(l=1,2, \ldots, S)S(eˉ(al))(l=1,2,…,S)表示。通过聚合每个性能向量S(e‾(al))S\left(\overline{\boldsymbol{e}}\left(a_l\right)\right)S(e(al))中的LLL值，可以生成由S(al)S\left(a_l\right)S(al) 表示的备选方案ala_lal的最终性能，进而对SSS个备选方案进行比较。如果 S(e‾(al))S\left(\overline{\boldsymbol{e}}\left(a_l\right)\right)S(e(al)) 是一个数值向量，那么可以使用简单加性加权( SAW )方法[ 52 ]来生成同样是数值的S(al)S\left(a_l\right)S(al)

3.1 具有明确值的EWAM

设xlix_{l i}xli是S(ei(al))S\left(e_i\left(a_l\right)\right)S(ei(al)) 的值，如果eie_iei是数量属性.精确值[ 52、54、58]的EWAM包括以下三个步骤：
( 1 )性能原始数值的标准化：可采用线性比例变换或标准0 - 1变换进行标准化。对于一个效益属性，我们有
yli=xlimax⁡1≤k≤S{xki}y_{l i}=\frac{x_{l i}}{\max _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}\right\}} yli=max1≤k≤S{xki}xli
or
yli=xli−min⁡1≤k≤s{xki}max⁡1≤k≤S{xki}−min⁡1≤k≤S{xki}y_{l i}=\frac{x_{l i}-\min _{1 \leq k \leq s}\left\{x_{k i}\right\}}{\max _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}\right\}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}\right\}} yli=max1≤k≤S{xki}−min1≤k≤S{xki}xli−min1≤k≤s{xki}
而对于一个成本属性，我们有
yli=min⁡1≤k≤S{xki}xliy_{l i}=\frac{\min _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}\right\}}{x_{l i}} yli=xlimin1≤k≤S{xki}
or
yli=max⁡1≤k≤S{xki}−xlimax⁡1≤k≤S{xki}−min⁡1≤k≤S{xki}(l=1,2,…,S;i=1,2,…,L)\begin{gathered} y_{l i}=\frac{\max _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}\right\}-x_{l i}}{\max _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}\right\}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}\right\}} \\ (l=1,2, \ldots, S ; i=1,2, \ldots, L) \end{gathered} yli=max1≤k≤S{xki}−min1≤k≤S{xki}max1≤k≤S{xki}−xli(l=1,2,…,S;i=1,2,…,L)
( 2 )对S(ei(al))S\left(e_i\left(a_l\right)\right)S(ei(al)) 的标准化值进行归一化处理：
pli=yli∑k=1Syki(l=1,2,…,S;i=1,2,…,L)p_{l i}=\frac{y_{l i}}{\sum_{k=1}^S y_{k i}}(l=1,2, \ldots, S ; i=1,2, \ldots, L) pli=∑k=1Sykiyli(l=1,2,…,S;i=1,2,…,L)
where ∑l=1Spli=1\sum_{l=1}^S p_{l i}=1∑l=1Spli=1.
( 3 )生成属性权重
由S(ei(a‾))S\left(e_i(\overline{\boldsymbol{a}})\right)S(ei(a))导出的eie_iei 的熵计算为

Ei=−1ln⁡(S)∑l=1Spli⋅ln⁡(pli)(i=1,2,…,L)E_i=-\frac{1}{\ln (S)} \sum_{l=1}^S p_{l i} \cdot \ln \left(p_{l i}\right)(i=1,2, \ldots, L) Ei=−ln(S)1l=1∑Spli⋅ln(pli)(i=1,2,…,L)
其中分母1ln⁡(S)\frac{1}{\ln (S)}ln(S)1是将EiE_iEi限制在[ 0 , 1]以内。众所周知，对某一属性赋予的熵越高，则该属性上的不同备选方案越难以区分，因此eie_iei 的权重为

wi=1−EiL−∑k=1LEk(i=1,2,…,L)where ∑i=1Lwi=1\begin{aligned} & w_i=\frac{1-E_i}{L-\sum_{k=1}^L E_k}(i=1,2, \ldots, L) \\ & \text { where } \sum_{i=1}^L w_i=1 \end{aligned} wi=L−∑k=1LEk1−Ei(i=1,2,…,L) where i=1∑Lwi=1
原始的EWAM假设对所有L个属性的评估都是由精确的数值给出的。当情况不确定时，一些定量属性以区间值的形式给出，或者定性属性的评估由BD给出，记为( 2 )分析如何利用熵值法生成合理的权重。
3 . 2 .区间数值评估的EWAM
区间理论是不确定性建模最常见的形式之一[ 76 ]。基于区间理论的MADM已有大量研究，大致可分为区间数值评估[ 26、84、85]、IBD [ 11 , 7679]和区间权重或可靠性[ 5、12、19、76]三个方面。在用区间数值型评价表示定量属性时，可以通过两个过程来定义信息熵等相似性测度。第一种是直接定义在每个属性上评估不同备选方案的区间值的熵测度，然后生成属性权重。
第二种是将区间值作为约束条件，对熵测度和属性权重的生成进行优化建模。假设xlix_{l i}xli由区间值给出如下：
S(ei(al))=xli∈[xli−,xli+]S\left(e_i\left(a_l\right)\right)=x_{l i} \in\left[x_{l i}^{-}, x_{l i}^{+}\right] S(ei(al))=xli∈[xli−,xli+]
对所有SSS个备选方案评估eie_iei的最小和最大可能值分别记为 min⁡1≤k≤S{xki−}\min _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}^{-}\right\}min1≤k≤S{xki−}and max⁡1≤k≤S{xki+}\max _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}^{+}\right\}max1≤k≤S{xki+} 。由S(ei(aˉ))S\left(e_i(\bar{a})\right)S(ei(aˉ))导出的区间评价向量在eie_iei 上的熵可以通过以下优化模型计算：

⟨Model 1 ⟩Min⁡/Max⁡Ei=−1ln⁡(S)∑l=1Spli⋅ln⁡(pli)(i=1,2,…,L)s.t. Eqs. (7) or (8), (9) or (10), (11) xli−≤xli≤xli+i=1,2,…,L;l=1,2,…,S∑l=1Spli=1\begin{aligned} & \langle\text { Model 1 }\rangle \operatorname{Min} / \operatorname{Max} E_i=-\frac{1}{\ln (S)} \sum_{l=1}^S p_{l i} \cdot \ln \left(p_{l i}\right)(i=1,2, \ldots, L) \\ & \text { s.t. Eqs. (7) or (8), (9) or (10), (11) } \\ & x_{l i}^{-} \leq x_{l i} \leq x_{l i}^{+} i=1,2, \ldots, L ; l=1,2, \ldots, S \\ & \sum_{l=1}^S p_{l i}=1 \end{aligned} ⟨ Model 1 ⟩Min/MaxEi=−ln(S)1l=1∑Spli⋅ln(pli)(i=1,2,…,L) s.t. Eqs. (7) or (8), (9) or (10), (11) xli−≤xli≤xli+i=1,2,…,L;l=1,2,…,Sl=1∑Spli=1
其中 max⁡1≤k≤s{xki}\max _{1 \leq k \leq s}\left\{x_{k i}\right\}max1≤k≤s{xki} and min⁡1≤k≤s{xki}\min _{1 \leq k \leq s}\left\{x_{k i}\right\}min1≤k≤s{xki}。( 7 ) - ( 10 )分别用 max⁡1≤k≤s{xki+}\max _{1 \leq k \leq s}\left\{x_{k i}^{+}\right\}max1≤k≤s{xki+}and min⁡1≤k≤S{xki−}\min _{1 \leq k \leq S}\left\{x_{k i}^{-}\right\}min1≤k≤S{xki−}代替.
在模型1中纳入 SSS个变量，生成EiE_iEi的取值范围。令Ei−E_i^{-}Ei−and Ei+E_i^{+}Ei+分别为⟨Model 1 ⟩\langle\text { Model 1 }\rangle⟨ Model 1 ⟩的最优值。
则有Ei∈[Ei−,Ei+]E_i \in\left[E_i^{-}, E_i^{+}\right]Ei∈[Ei−,Ei+].

性质1。⟨Model 1 ⟩\langle\text { Model 1 }\rangle⟨ Model 1 ⟩中产生的区间熵的不确定性随着(xli+−xli−)\left(x_{l i}^{+}-x_{l i}^{-}\right)(xli+−xli−)的变化而不断变化。
从式( 3 )中的决策矩阵生成权重的范围。( 6 )由区间数值组成，设计了如下一对优化模型。
⟨Model 2⟩Min/Max wi=1−EiL−∑k=1LEk(i=1,2,…,L)s.t. Eqs. (7) or (8), (9) or (10), (11), (12) xli−≤xli≤xli+i=1,2,…,L;l=1,2,…,S∑l=1Spli=1\begin{aligned} & \langle\text { Model } 2\rangle \text { Min/Max } w_i=\frac{1-E_i}{L-\sum_{k=1}^L E_k}(i=1,2, \ldots, L) \\ & \text { s.t. Eqs. (7) or (8), (9) or (10), (11), (12) } \\ & \qquad x_{l i}^{-} \leq x_{l i} \leq x_{l i}^{+} i=1,2, \ldots, L ; l=1,2, \ldots, S \\ & \sum_{l=1}^S p_{l i}=1 \end{aligned} ⟨ Model 2⟩ Min/Max wi=L−∑k=1LEk1−Ei(i=1,2,…,L) s.t. Eqs. (7) or (8), (9) or (10), (11), (12) xli−≤xli≤xli+i=1,2,…,L;l=1,2,…,Sl=1∑Spli=1
设W=(w1,w2,…,wL)TW=\left(w_1, w_2, \ldots, w_L\right)^TW=(w1,w2,…,wL)T为LLL 个属性的权重向量，如果 wi∈[wi−,wi+]w_i \in\left[w_i^{-}, w_i^{+}\right]wi∈[wi−,wi+]，其中 0≤wi−≤wi+≤10 \leq w_i^{-} \leq w_i^{+} \leq 10≤wi−≤wi+≤1 ，i=i=i= 1,2,…,L1,2, \ldots, L1,2,…,L且∑i=1Lwi=1\sum_{i=1}^L w_i=1∑i=1Lwi=1，则称WWW为区间权重向量。由⟨Model⁡2⟩\langle\operatorname{Model} 2\rangle⟨Model2⟩,可以生成区间评估值下eie_iei 的最小和最大权重分别为wi−w_i^{-}wi−and wi+w_i^{+}wi+ 。式( 14 )，若 ∀i=1,2,…,L\forall i=1,2, \ldots, L∀i=1,2,…,L and l=1,2,…,Sl=1,2, \ldots, Sl=1,2,…,S, xli−=xli+x_{l i}^{-}=x_{l i}^{+}xli−=xli+,式( 6 )成为仅由精确数值组成的矩阵。则⟨Model⁡2⟩\langle\operatorname{Model} 2\rangle⟨Model2⟩产生的权重满足wi−=wi+w_i^{-}=w_i^{+}wi−=wi+。
Remark 1 .若∑i=1Lwi−≤1\sum_{i=1}^L w_i^{-} \leq 1∑i=1Lwi−≤1 and ∑i=1Lwi+≥1\sum_{i=1}^L w_i^{+} \geq 1∑i=1Lwi+≥1，则称区间权重有效。无效的区间权重不能应用于多属性决策问题。
Definition 1 .设W=(w1,w2,…,wL)W=\left(w_1, w_2, \ldots, w_L\right)W=(w1,w2,…,wL)是LLL个属性的权重向量，其中wi∈[wi−,wi+]w_i \in\left[w_i^{-}, w_i^{+}\right]wi∈[wi−,wi+]for i=1,2,…,Li=1,2, \ldots, Li=1,2,…,L。如果满足以下等式，则称WWW 是规范化的区间权重向量：
∑i=1Lwi−+(wi+−wi−)≤1∑i=1Lwi+−(wi+−wi−)≥1∀i∈{1,2,…,L}\begin{aligned} & \sum_{i=1}^L w_i^{-}+\left(w_i^{+}-w_i^{-}\right) \leq 1 \\ & \sum_{i=1}^L w_i^{+}-\left(w_i^{+}-w_i^{-}\right) \geq 1 \\ & \quad \forall i \in\{1,2, \ldots, L\} \end{aligned} i=1∑Lwi−+(wi+−wi−)≤1i=1∑Lwi+−(wi+−wi−)≥1∀i∈{1,2,…,L}
式中：式( 15 )和式( 16 )也可以用等式表示。( 17 )和( 18 )如下：
∑i=1Lwi−+max⁡1≤i≤L(wi+−wi−)≤1∑i=1Lwi+−max⁡1≤i≤L(wi+−wi−)≥1\begin{aligned} & \sum_{i=1}^L w_i^{-}+\max _{1 \leq i \leq L}\left(w_i^{+}-w_i^{-}\right) \leq 1 \\ & \sum_{i=1}^L w_i^{+}-\max _{1 \leq i \leq L}\left(w_i^{+}-w_i^{-}\right) \geq 1 \end{aligned} i=1∑Lwi−+1≤i≤Lmax(wi+−wi−)≤1i=1∑Lwi+−1≤i≤Lmax(wi+−wi−)≥1
Remark 2 .如果对于式( 6 )的决策矩阵中的某个S(ei(al))S\left(e_i\left(a_l\right)\right)S(ei(al))，用(xli+−xli−)\left(x_{l i}^{+}-x_{l i}^{-}\right)(xli+−xli−)度量的式( 14 )中xlix_{l i}xli的不确定性在一定程度上很大，那么由⟨\langle⟨ Model 2⟩\rangle⟩ 产生的区间权重虽然有效，但可能无法进行归一化。从而影响最终评估结果的可靠性和有效性。
然而，如果对于某些属性的 (wi+−wi−)\left(w_i^{+}-w_i^{-}\right)(wi+−wi−)足够大，尽管生成的权重向量已经归一化，区间权重仍然不适合用于最终决策。

4 具有不确定或区间BDs的EWAM评估

具有不确定或区间评估BD的EWAM BD与概率分配的主要区别在于概率只能由辨识框架中的个体元素使用，而BD定义在辨识框架的幂集上，辨识框架的幂集是等式中H的所有子集。( 1 ) .存在一种特殊情况，即对等式中所有N个等级的集合赋予置信度。( 1 )，指完全/全球无知的程度。在ER方法中，BD定义在所有N个个体元素和N个等级的集合上。正如Yang在文献[ 15 ]中证明的那样，无论属性权重如何分配，只要至少一个属性的BD包含无知信息，ER方法得到的整体BD是不完全的。由BDs导出的属性权重也应该反映BDs在基本属性上包含的无知特性。此外，当IBDs给出定性属性时，为了保留IBDs包含的不确定性特征，需要设计优化模型来生成权重。

4.1 .具有BDs的0 - 1平均熵方法

对于定性属性ei,S(ei(al))e_i, S\left(e_i\left(a_l\right)\right)ei,S(ei(al))可以以 BD\mathrm{BD}BD、模糊数或其他形式给出。当 S(e‾(al))S\left(\overline{\boldsymbol{e}}\left(a_l\right)\right)S(e(al))由 LLL 个 BD\mathrm{BD}BD组成时，可以采用非线性聚合方法ER算法。属性的权重是MADM中的重要因素，不同的权重可能产生不同的评价结果。当式( 6 )中的S\left(e_i\left(a_l\right)\right)$全部用BD表示或由数值转化为BD时，AveEntropy方法[ 14 ]适用。带BDs的EWAM包括以下三个步骤：
( 1 ) S(ei(al))S\left(e_i\left(a_l\right)\right)S(ei(al)) 到utility的转换：

uliMax=∑n=1Nβn,i(al)u(Hn)+βH,i(al)u(HN)uliMin=∑n=1Nβn,i(al)u(Hn)+βH,i(al)u(H1)uliAve=(uliMax +uliMin )/2\begin{aligned} u_{l i}^{M a x} & =\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}\left(a_l\right) u\left(H_n\right)+\beta_{H, i}\left(a_l\right) u\left(H_N\right) \\ u_{l i}^{M i n} & =\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}\left(a_l\right) u\left(H_n\right)+\beta_{H, i}\left(a_l\right) u\left(H_1\right) \\ u_{l i}^{A v e} & =\left(u_{l i}^{\text {Max }}+u_{l i}^{\text {Min }}\right) / 2 \end{aligned} uliMaxuliMinuliAve=n=1∑Nβn,i(al)u(Hn)+βH,i(al)u(HN)=n=1∑Nβn,i(al)u(Hn)+βH,i(al)u(H1)=(uliMax +uliMin )/2
( 2 )用 u~liAve =uliAve∑k=1SukiAve\tilde{u}_{l i}^{\text {Ave }}=\frac{u_{l i}^{A v e}}{\sum_{k=1}^S u_{k i}^{A v e}}u~liAve =∑k=1SukiAveuliAve 对uliAveu_{l i}^{A v e}uliAve 进行归一化，使得∑l=1S\sum_{l=1}^S∑l=1S u~liAve =1\tilde{u}_{l i}^{\text {Ave }}=1u~liAve =1。在进行归一化处理之前，可以使用标准0 - 1变换来缩小方案之间的性能差异，使得u~liAve=uˉliAve∑k=1SuˉkiAve ,uˉliAve =\tilde{u}_{l i}^{A v e}=\frac{\bar{u}_{l i}^{A v e}}{\sum_{k=1}^S \bar{u}_{k i}^{\text {Ave }}}, \bar{u}_{l i}^{\text {Ave }}=u~liAve=∑k=1SuˉkiAve uˉliAve,uˉliAve = uliAve−min⁡1≤k≤S{ukiAve}max⁡1≤k≤S{ukiAve}−min⁡1≤k≤s{ukiAve}\frac{u_{l i}^{A v e}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}{\max _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}-\min _{1 \leq k \leq s}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}max1≤k≤S{ukiAve}−min1≤k≤s{ukiAve}uliAve−min1≤k≤S{ukiAve}.

u~liAve=uliAve−min⁡1≤k≤S{ukiAve}max⁡1≤k≤S{ukiAve}−min⁡1≤k≤S{ukiAve}∑t=1SutiAve−min⁡1≤k≤S{ukiAve}max⁡1≤k≤S{ukiAve}−min⁡1≤k≤S{ukiAve}=uliAve−min⁡1≤k≤S{ukiAve}∑t=1S(utiAve−min⁡1≤k≤S{ukiAve})=uliAve−min⁡1≤k≤S{ukiAve}∑t=1SutiAve−S⋅min⁡1≤k≤S{ukiAve}=uliAve−min⁡1≤k≤S{ukiAve}∑k=1SukiAve−S⋅min⁡1≤k≤S{ukiAve}\begin{aligned} & \tilde{u}_{l i}^{A v e}=\frac{\frac{u_{l i}^{A v e}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}{\max _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}}{\sum_{t=1}^S \frac{u_{t i}^{A v e}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}{\max _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}} \\ &= \frac{u_{l i}^{A v e}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}{\sum_{t=1}^S\left(u_{t i}^{A v e}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}\right)} \\ &= \frac{u_{l i}^{A v e}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}{\sum_{t=1}^S u_{t i}^{A v e}-S \cdot \min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}} \\ &=\frac{u_{l i}^{A v e}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}}{\sum_{k=1}^S u_{k i}^{A v e}-S \cdot \min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}^{A v e}\right\}} \end{aligned} u~liAve=∑t=1Smax1≤k≤S{ukiAve}−min1≤k≤S{ukiAve}utiAve−min1≤k≤S{ukiAve}max1≤k≤S{ukiAve}−min1≤k≤S{ukiAve}uliAve−min1≤k≤S{ukiAve}=∑t=1S(utiAve−min1≤k≤S{ukiAve})uliAve−min1≤k≤S{ukiAve}=∑t=1SutiAve−S⋅min1≤k≤S{ukiAve}uliAve−min1≤k≤S{ukiAve}=∑k=1SukiAve−S⋅min1≤k≤S{ukiAve}uliAve−min1≤k≤S{ukiAve}
( 3 )由Ei=−1ln⁡(S)∑l=1Su~liAiveE_i=-\frac{1}{\ln (S)} \sum_{l=1}^S \tilde{u}_{l i}^{A_{i v e}}Ei=−ln(S)1∑l=1Su~liAive. ln⁡(u~liAAve )\ln \left(\tilde{u}_{l i}^{A \text { Ave }}\right)ln(u~liA Ave )计算 eie_iei 的熵，再由式( 13 )生成eie_iei的权重。如果在归一化处理之前使用标准0 - 1变换，我们称之为0 - 1平均熵方法；否则，称为Ave - Entropy方法。

Property 2 如果用线性比例变换代替上述EWAM中的标准0 - 1变换，则生成的权重与Ave - Entropy方法相同。
性质2的证明见附录。当采用熵[ 14 , 52 ~ 57]、CRITIC法[ 59-61 ]或CCSD [ 2、33]确定属性权重时，若采用标准0 - 1变换对定量属性进行归一化处理，则需要2个以上备选方案。如果只有两个备选方案参与评估，则经过标准0 - 1变换后，两个备选方案在每个属性上的评估值越小越大分别为0和1。当一个评估只包含定性属性时，即使只有两个备选方案，如果不应用标准0 - 1变换，这三种方法都可以用来从平均效用中生成权重。然而，当不采用标准0 - 1变换时，在某些情况下可能会产生一些不合理的结果。
例1 .给定一个辨识框架H={H1,H2,…,H5}H=\left\{H_1, H_2, \ldots, H_5\right\}H={H1,H2,…,H5}。表1给出了两个属性e1e_1e1 and e2e_2e2 在两个备选方案a1a_1a1 and a2a_2a2上的BD。显然，这四种分配都是绝对确定和完整的评估。
当使用客观方法时，由于e2e_2e2 上的a1a_1a1 and a2a_2a2的相异度大于e1e_1e1 ，所以e2e_2e2应该被赋予比e1e_1e1更高的权重。假设五个评价等级的效用值都设定为风险厌恶，使得u(H1)=0,u(H2)=0.45,u(H3)=0.75,u(H4)=0.9u\left(H_1\right)=0, u\left(H_2\right)=0.45, u\left(H_3\right)=0.75, u\left(H_4\right)=0.9u(H1)=0,u(H2)=0.45,u(H3)=0.75,u(H4)=0.9,u(H5)=1u\left(H_5\right)=1u(H5)=1即使不应用标准0 - 1变换，Ave - Entropy方法生成的两个属性的权重分别为w1=0.5,w2=0.5w_1=0.5, w_2=0.5w1=0.5,w2=0.5。当设定五个评价等级的效用为风险承担时，e1e_1e1 and e2e_2e2的权重也为0.5和0.5。
例2 .与例1类似，将两个属性以BDs的形式对两个备选方案进行评价，见表2。与表1不同，这里e2e_2e2在a1a_1a1 and a2a_2a2上的分布是不完全的。当采用Ave - Entropy方法时，虽然a1a_1a1 and a2a_2a2在e2e_2e2上的相异度大于e1e_1e1 ，但两个属性的权重分别为w1=0.653,w2=0.347w_1= 0.653, w_2=0.347w1=0.653,w2=0.347。
性质3。0 - 1 Ave - Entropy方法产生的权重与评估的置信度是连续的。性质3的证明见附录。这表明在置信度变化不大的情况下，0 - 1平均熵方法产生的权重变化不大。

4 . 2 基于0 - 1平均熵的属性权重分配优化模型

为了考虑BDs中包含的无知性，假设uliu_{li}uli表示的eie_iei on ala_lal的效用在[uliMin ,uliMax ]\left[u_{l i}^{\text {Min }}, u_{l i}^{\text {Max }}\right][uliMin ,uliMax ]范围内。因此，构建如下一对优化模型来生成wiw_iwi的最小值和最大值。
⟨Model 3 ⟩Min⁡/Max⁡wi=1−EiL−∑k=1LEk(i=1,2,…,L)s.t. Ei=−1ln⁡(S)∑l=1Su~li⋅ln⁡(u~li)u~li=uli−min⁡1≤k≤S{uki}∑k=1Suki−S⋅min⁡1≤k≤S{uki}uliMin≤uli≤uliMax⁡i=1,2,…,L;l=1,2,…,SEqs. (19), (20) \begin{aligned} & \langle\text { Model 3 }\rangle \operatorname{Min} / \operatorname{Max} w_i=\frac{1-E_i}{L-\sum_{k=1}^L E_k}(i=1,2, \ldots, L) \\ & \text { s.t. } E_i=-\frac{1}{\ln (S)} \sum_{l=1}^S \tilde{u}_{l i} \cdot \ln \left(\tilde{u}_{l i}\right) \\ & \tilde{u}_{l i}=\frac{u_{l i}-\min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}\right\}}{\sum_{k=1}^S u_{k i}-S \cdot \min _{1 \leq k \leq S}\left\{u_{k i}\right\}} \\ & u_{l i}^{M i n} \leq u_{l i} \leq u_{l i}^{\operatorname{Max}} \quad i=1,2, \ldots, L ; l=1,2, \ldots, \mathrm{S} \\ & \text { Eqs. (19), (20) } \\ & \end{aligned}⟨ Model 3 ⟩Min/Maxwi=L−∑k=1LEk1−Ei(i=1,2,…,L) s.t. Ei=−ln(S)1l=1∑Su~li⋅ln(u~li)u~li=∑k=1Suki−S⋅min1≤k≤S{uki}uli−min1≤k≤S{uki}uliMin≤uli≤uliMaxi=1,2,…,L;l=1,2,…,S Eqs. (19), (20)
⟨\langle⟨ Model 3⟩\rangle⟩ 中包含S×LS \times LS×L个变量，可以通过Matlab或Excel求解，需要进行2×L2 \times L2×L次计算，以生成所有LLL 个属性上权重的最小值和最大值。⟨\langle⟨ Model 3⟩\rangle⟩是基于 0−10-10−1平均熵的方法。如果在⟨\langle⟨ Model 3⟩\rangle⟩中使用Ave - Entropy方法，则在优化模型中将u~ii=uli−min⁡1≤k<s{uki}∑k=1suki−S⋅min⁡u1≤k≤s{uki}\tilde{u}_{i i}=\frac{u_{l i}-\min 1 \leq k<s\left\{u_{k i}\right\}}{\sum_{k=1}^s u_{k i}-S \cdot \min u_{1 \leq k \leq s}\left\{u_{k i}\right\}}u~ii=∑k=1suki−S⋅minu1≤k≤s{uki}uli−min1≤k<s{uki} 替换为u~li=uij∑k=1suki\tilde{u}_{l i}=\frac{u_{i j}}{\sum_{k=1}^s u_{k i}}u~li=∑k=1sukiuij 。一种特殊情况是，对于所有的BD，uliMin =uliMax u_{l i}^{\text {Min }}=u_{l i}^{\text {Max }}uliMin =uliMax ，这将导致模型生成的权重为清晰值。这发生在DM提供的所有主观判断都是完备的，尽管BD中包含不确定性。接下来，我们以文献[ 14 ]中的一个数值例子来说明上述提出的优化模型。
例3 .给定一个辨识框架H={H1,H2,…,H5}H=\left\{H_1, H_2, \ldots, H_5\right\}H={H1,H2,…,H5}。5个备选方案在6个属性上的BD如表3所示。由表3可知，对于某一特定属性ei(i=1,2,…,6),βn,i(al)≠0(n=l≤5)e_i(i=1,2, \ldots, 6), \beta_{n, i}\left(a_l\right) \neq 0(n=l \leq 5)ei(i=1,2,…,6),βn,i(al)=0(n=l≤5) and βn,i(al)=\beta_{n, i}\left(a_l\right)=βn,i(al)= 0(n≠l)0(n \neq l)0(n=l),，评估中包含的无知程度从e1e_1e1增加到e6e_6e6。
根据公式。根据式( 19 ) ~ ( 21 )，可以计算5个备选方案在6个属性上的平均效用。图1为0 - 1 Ave - Entropy、Ave - Entropy、SD法和基尼系数( Gini ’ s mean difference，GMD )法[ 2、43]生成的权重。横轴和纵轴分别表示属性的序号和权重。以e1e_1e1和e2e_2e2为例，假设5个评价等级的效用相等，则这两个属性在5个备选方案上的平均效用向量分别为(0,0.45,0.75,0.9,1)T(0,0.45,0.75,0.9,1)^T(0,0.45,0.75,0.9,1)T and (0.1,0.46,0.7,0.82,0.9)T(0.1,0.46,0.7,0.82,0.9)^T(0.1,0.46,0.7,0.82,0.9)T，如例1所示。因此两个向量之间的Spearman相关系数为1。其他两个平均效用向量之间的相关系数也为1。因此，CRITIC方法不能用于这种情况。CCSD方法也不适用，因为当i=1,2,…,6i=1,2, \ldots, 6i=1,2,…,6时，eie_iei 上的效用向量与不考虑eie_iei 的总体效用向量的相关系数为1。由0 - 1 Ave - Entropy生成的权重对所有6个属性都是相等的，我们称之为最佳均匀分布权重。需要对结果进行讨论，因为对于这六个属性中的每一个，BDs在五个备选方案上的差异是不同的。等于将每个BD中的无知加入到非零信念度中的结果。在这种情况下，每个方案上的所有6个属性都被赋予相同的BD。相比之下，Ave - Entropy和SD方法生成的权重易于区分起主导作用的属性集合。有趣的是，在这个例子中SD和GMD产生的权重是相同的。尽管如此，四种方法生成的权重均为清晰值，无法体现BDs所包含的不完整性。以e6为例，5个备选方案中每个方案所包含的无知度均为0.9，是相对于e1e_1e1~ e5e_5e5的最大不完全性。因此，将生成的ei(i=2,3,4,5,6)e_i(i=2,3,4,5,6)ei(i=2,3,4,5,6)权重制定为不确定值更为合理，因为BDs中包含了对这5个属性的无知。
为了从生成的权重中反映BD中包含的忽略，应用了⟨Model 3。将五个评价等级的效用值设定为风险规避，使得u(H1)=0u\left(H_1\right)=0u(H1)=0, u(H2)=0.45,u(H3)=0.75,u(H4)=0.9u\left(H_2\right)=0.45, u\left(H_3\right)=0.75, u\left(H_4\right)=0.9u(H2)=0.45,u(H3)=0.75,u(H4)=0.9 and u(H5)=1u\left(H_5\right)=1u(H5)=1。⟨\langle⟨ Model 3⟩\rangle⟩ 基于0 - 1平均熵生成的权重如图2所示。它们被限制在[wi−,wi+](i=1,2,…,6)\left[w_i^{-}, w_i^{+}\right](i=1,2, \ldots, 6)[wi−,wi+](i=1,2,…,6)的区间内且满足∑i=16wi=1\sum_{i=1}^6 w_i=1∑i=16wi=1 .可以看出，随着BDs中包含的对备选方案的忽略从e1e_1e1增加到e6e_6e6，wi−w_i^{-}wi−and wi+w_i^{+}wi+之间的差异变大。如果某个或某些BD中包含的无知量在一定程度上过大，则⟨\langle⟨ Model 3⟩\rangle⟩ 所产生的权重可能是非归一化的。因此，有必要弄清楚BD中包含大量无知项的原因，并尽可能地减少无知项，以获得更可靠的聚合结果。
我们还基于Ave - Entropy方法，通过⟨\langle⟨ Model 3⟩\rangle⟩ 生成了如图3所示的区间权重。尽管对图3中的权重进行了归一化处理，但6个属性中任意一个属性上的最小权重和最大权重之间的差异过大，会使DM过于混乱。从这个角度来看，标准0 - 1变换缩小了所有属性之间权重的差异。同时，在BD中包含不完全性的情况下，也降低了区间权重的不确定性。

4.3 区间BDs的考虑

4.2节提出的⟨模型3 ( ? )假设DM提供的BD由精确的置信度组成。正如Wang [ 11 ]所讨论的，在某些情况下，IBD更适合代表DM的主观判断，获得精确的信念度并不容易。在这里，带Ibds的Ewam被提出。

假设ala_lal关于评价等级HnH_nHn被评价为eie_iei的置信度包含在一个区间使得βn,i(al)∈\beta_{n, i}\left(a_l\right) \inβn,i(al)∈ [βn,i−(al),βn,i+(al)](n=1,2,…,N),βH,i(al)∈[βH,i−(al),βH,i+(al)]\left[\beta_{n, i}^{-}\left(a_l\right), \beta_{n, i}^{+}\left(a_l\right)\right](n=1,2, \ldots, N), \beta_{H, i}\left(a_l\right) \in\left[\beta_{H, i}^{-}\left(a_l\right), \beta_{H, i}^{+}\left(a_l\right)\right][βn,i−(al),βn,i+(al)](n=1,2,…,N),βH,i(al)∈[βH,i−(al),βH,i+(al)] and ∑n=1Nβn,i(al)+βH,i(al)=1\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}\left(a_l\right)+\beta_{H, i}\left(a_l\right)=1∑n=1Nβn,i(al)+βH,i(al)=1 [ 11 ]。则方程( 2 )成为IBD，从而方程( 6 )成为IBD矩阵.若∀n∈{1,2,…,N}\forall n \in\{1,2, \ldots, N\}∀n∈{1,2,…,N}, βn,i−(al)=βn,i+(al)\beta_{n, i}^{-}\left(a_l\right)=\beta_{n, i}^{+}\left(a_l\right)βn,i−(al)=βn,i+(al)，则IBD成为精确的信念分布。
Remark 3 ( [ 5 ] ) .假设一个IBD表示如下：
S(ei(al))={(Hn,[βn,i−(al),βn,i+(al)]),n=1,2,…,N;(H,[βH,i−(al),βH,i+(al)])}\begin{aligned} S\left(e_i\left(a_l\right)\right)= & \left\{\left(H_n,\left[\beta_{n, i}^{-}\left(a_l\right), \beta_{n, i}^{+}\left(a_l\right)\right]\right),\right. \\ & \left.n=1,2, \ldots, N ;\left(H,\left[\beta_{H, i}^{-}\left(a_l\right), \beta_{H, i}^{+}\left(a_l\right)\right]\right)\right\} \end{aligned} S(ei(al))={(Hn,[βn,i−(al),βn,i+(al)]),n=1,2,…,N;(H,[βH,i−(al),βH,i+(al)])}
where βH,i−(al)=Max⁡(0,1−∑n=1Nβn,i+(al)),βH,i+(al)=1−\beta_{H, i}^{-}\left(a_l\right)=\operatorname{Max}\left(0,1-\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}^{+}\left(a_l\right)\right), \beta_{H, i}^{+}\left(a_l\right)=1-βH,i−(al)=Max(0,1−∑n=1Nβn,i+(al)),βH,i+(al)=1− ∑n=1Nβn,i−(al).S(ei(al))\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}^{-}\left(a_l\right) . S\left(e_i\left(a_l\right)\right)∑n=1Nβn,i−(al).S(ei(al)) is said to be logical if ∑n=1Nβn,i−(al)≤1\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}^{-}\left(a_l\right) \leq 1∑n=1Nβn,i−(al)≤1. 否则，就是不合逻辑的。
不合逻辑的IBD不能用于ER算法或通过客观方法生成属性权重。在这种情况下，需要对DM的主观判断进行修正。
Remark4 ( [ 11 ] ) .假设一个IBD表示为( 23 )是合乎逻辑的。
若∑n=1Nβn,i(al)=1\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}\left(a_l\right)=1∑n=1Nβn,i(al)=1 ，其中βn,i(al)∈[βn,i−(al),βn,i+(al)]\beta_{n, i}\left(a_l\right) \in\left[\beta_{n, i}^{-}\left(a_l\right), \beta_{n, i}^{+}\left(a_l\right)\right]βn,i(al)∈[βn,i−(al),βn,i+(al)] (n=1,2,…,N)(n=1,2, \ldots, N)(n=1,2,…,N)，则称IBD是完备的。此时，βH,i−(al)=βH,i+(al)=0\beta_{H, i}^{-}\left(a_l\right)=\beta_{H, i}^{+}\left(a_l\right)=0βH,i−(al)=βH,i+(al)=0 .否则，称为不完全IBD或包含无知，使得∑n=1Nβn,i(al)<1\sum_{n=1}^N \beta_{n, i}\left(a_l\right)<1∑n=1Nβn,i(al)<1 and βH,i+(al)≥βH,i−(al)>0\beta_{H, i}^{+}\left(a_l\right) \geq \beta_{H, i}^{-}\left(a_l\right)>0βH,i+(al)≥βH,i−(al)>0。

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