0、前言

前期博文讲述了MFA相关理论及其可以改进的点，本期文章对MFA进行非线性改进，提出核边界Fisher分析（KMFA）方法，并将MFA与KMFA在相同数据集上进行验证对比分析。MFA理论介绍见前期博文，本文不再赘述。

1、核边界Fisher分析（KMFA）理论

核心思想：将原始数据集X通过核映射转换到无限维特征空间，使得无限维空间中的数据线性可分，然后在新的高维空间应用MFA进行特征提取。MFA理论

原始特征空间数据表达X，高维空间数据表达为 $\phi (X)$ , $K=\left [ k_{ij} \right ]$ 为核矩阵，其元素 $k_{ij}=k(x_{i},x_{j})$ ，k(.)为核函数。

核技巧： $k_{ij}=\phi (x_{i})*\phi (x_{j})^{T}$ ，解决高维空间向量内积计算问题。

最终特征映射： $Y=\phi (X)*A$ ,设 $A=\phi (X)^{T}*a$ ，即A可以由高维空间的特征 $\phi (X)$ 线性表达。应用核技巧，最终映射表达转换为： $Y=K*a$ 。

基于MFA理论，可以推导出KMFA的求解目标函数：

$_{a}^{argmax}\textrm{}\frac{tr(a'K(D^{b}-W^{b})Ka)}{tr(a'K(D^{w}-W^{w})Ka)}$

其中：K为非线性映射对应的核矩阵，最终特征表达 $Ynew=K(Xnew,X)*a$ ，其余数据矩阵的含义详见MFA的理论介绍MFA理论。需要注意的是近邻图构建应该在高维空间中完成，即在高维空间中计算样本距离即连接权重。

在高维空间中计算样本的欧式距离和近邻权重需要应用核技巧：

高维空间样本欧氏距离计算方式： $d_{i,j}=\left \| \phi (x_{i}) -\phi (x_{i})\right \|^{2} =k_{ii}+k_{jj}-2k_{ij}$ ，在该距离度量方式下求解连接权重。

2、代码实现

2、验证对比分析

（1）特征提取可视化效果图：左为MFA，右为KMFA

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边界Fisher分析（MFA）及其非线性改进核边界Fisher分析（KMFA）的验证对比

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2、代码实现

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