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作者：冬至

来源：首席数据科学家

“ 统计学相关的知识，是数据科学的重要基础之一。”

之前咱们分享过很多数据应用相关的内容，从《用户画像》到《数据采集》、《BI系统》等等。今天开始系统分享一些和基础理论相关的内容，包括统计学、概率论等学科。

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总体、样本与抽样

统计学，其实本质就是研究样本与总体的学科。

（1）关于总体

首先，什么是总体呢？

总体，就是我们想研究的对象的全体。比如，我们要研究淘宝的所有用户，那淘宝的所有7亿用户就是总体。总体用户中的每一个人，就是一个个体。

如果总体是有限个，就是有限总体，无限个就是无限总体。

对于总体，我们给出一个随机变量X，随机变量的分布就是总体分布。

（2）关于样本

研究总体的过程中，我们就发现一个问题，总体的数量往往过多。比如针对淘宝网所有用户，想研究所有用户的满意度，咋办？要一个一个人全部调查一遍嘛？显然不现实。这时就有了抽样以及样本的价值。

什么是抽样？

简单来说，抽样就是将总体中取一部分。比如全部淘宝用户抽1000人，这1000人就是样本，抽取的过程就是抽样。1000人就是样本大小，也叫样本容量。

对于抽了n个样本X1，X2,……Xn，我们通常用以下表示样本变量：

如果发生了抽样，那每个样本都有一个具体的值，比如样本X1的取值是x1，那我们就把x1叫观测值，全部样本的观测值则用以下表示：

总结而言，大写表示的是变量，小写表示的是确定的数值（因为已经抽取出来并测量了）。

（3）关于抽样

关于抽样，我们要求的是简单随机抽样。有以下几个要求：

• 同分布。要求每个样本被抽到的机会都是均等的

• 相互独立。抽到某个个体对其他个体被抽到是没有影响的。

当然了，简单随机抽样是比较理想的情况，实际操作中比较困难。

（4）样本的分布

由于样本的抽取是独立的，所以样本的概率函数就等于每个样本的联合概率分布。

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统计量

了解了总体和样本，我们再看看看统计量。

（1）统计量的定义

首先看一下定义：不含任何未知参数的样本的函数，就叫统计量。

说白了，统计量就是由我们取的样本、构造的一个不含未知参数的函数。函数可以是任意的，随意构造，只要保证不含未知参数即可（可以含已知参数）。

比如，我们求样本的和，求样本平方之后的和，这些都是统计量。

（2）常见统计量

这里介绍一下常见的统计量。

样本均值：

样本方差（修正过的）：

注意，这里的样本方差是修正过的。细心的朋友应该也已经发现了，这里的系数分母是n-1（未修正的样本方差的分母是n，也是我们初中高中一直用的方差的定义）。修正的主要目的是为了使得样本方差是总体方差的无偏估计。关于无偏估计，后续再阐述。

样本标准差：

样本K阶原点矩：

当这里的k=1的时候，一阶原点矩就是均值。

样本K阶中心矩：

当这里的k=2的时候，就是未修正的样本方差。

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样本均值和方差的性质

上面讲到了很多统计量，用的比较多的，其实依旧是样本均值和方差。因此，针对样本均值和方差的一些性质，进行详细阐述。

（1）样本均值的期望是总体均值

啥意思呢，举例说明。

假设全体7亿淘宝用户对网站的平均满意度是80分（这个是未知的），抽样了1000个淘宝用户，统计了这1000个用户每个人的满意度，并求均值。那这个样本均值的期望就应该等于80分。

（2）样本均值的方差是总体方差的n分之一

从这里，我们可以看出来。样本均值的方差比总体方差变小了。而且样本数量越大，均值的方差越小。为啥呢？

其实是这样。方差反映的是数据的波动程度。当我们选样本的数量越多的时候，那么越接近总体的数量，人数越多数据的波动性越小。这个道理也是比较容易理解的。

（3）样本方差的期望等于总体方差

这里具体证明过程就不展开了。

关于总体、样本、统计量相关的内容，就先介绍到这。下回继续分享抽样分布相关的内容，欢迎继续关注。

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