升余弦滤波器的作用和产生

一直很想深入学习滤波器方面的知识，图书馆也去借了书然后准备看，结果就是：然后就没有然后了。DSP一直是自己的短板，因为这里面感觉小的技巧好多，而且都需要自己去琢磨，像滤波器这种东西，我脑海里也只有少的可怜点印象。比如什么FIR 和 IIR 之类的。理论尚且薄弱更不谈实践了，这也是制约自己进一步提高的重要方面。但是，现在的自己仿佛早已经没了以前那么耐心去啃书了，最多上网googling，再看点博文。所以，前今天看到导师改的msn签名：静心！觉得很有启发，确实啊现在这个急功近利的社会，要做到的确有难度。说到这，又不得不再次表达对杨鸿文老师的敬佩，我觉得他应该是真正做到了那点，现在是很难再找到这样热爱自己工作的老师了，除了敬佩只剩瞻仰！

貌似每次写正文前，我都要唠叨几句。哎，唠叨唠叨也就过去了，人一辈子也不就这样嘛。好了，言归正传，今天谈谈最常见的滤波器—-升余弦滤波器。先说说我们为什么这么喜欢这个滤波器，最主要的原因就是它的拖尾衰减的比Nyquist滤波器(sinc())快，这样的好处就是当我们出现了定时误差的时候，码间干扰尽可能降低了。另一方面，既然衰减快了，说明它的频率成分肯定是增加了，这就导致带宽的增加。所以，它是以带宽换取低ISI的典型应用。接下来给出升余弦滤波器时域和频域表达式：

接下来我们就实践下，我们从时域来产生滤波器，再验证频域图像是否正确。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Author : ZXY
% Email : zxy_ee@163.com
% Version : 1.0
% Date : 2012-2-16
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
看代码，直接点左上角view plain！
clear all
fs = 20;
%we define T = 1,so we ignore it!!
% defining the sinc filter
sincNum = sin(pi*[-fs:1/fs:fs]); % numerator of the sinc function
sincDen = (pi*[-fs:1/fs:fs]); % denominator of the sinc function
sincDenZero = find(abs(sincDen) < eps);%the eps is 2.2204e-016
sincOp = sincNum./sincDen;
sincOp(sincDenZero) = 1; % sin(pix/(pix) =1 for x =0 诺比达法则
alpha = 0;
cosNum = cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);
cosDen = (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);
cosDenZero = find(abs(cosDen)<eps);
cosOp = cosNum./cosDen;
cosOp(cosDenZero) = pi/4;
gt_alpha0 = sincOp.*cosOp;
N = length(gt_alpha0);
GF_alpha0 = fft(gt_alpha0,N);
alpha = 0.5;
cosNum = cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);
cosDen = (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);
cosDenZero = find(abs(cosDen)<eps);
cosOp = cosNum./cosDen;
cosOp(cosDenZero) = pi/4;%诺比达法则直接计算
gt_alpha5 = sincOp.*cosOp;
N = length(gt_alpha5);
GF_alpha5 = fft(gt_alpha5,N);
alpha = 1;
cosNum = cos(alpha*pi*[-fs:1/fs:fs]);
cosDen = (1-(2*alpha*[-fs:1/fs:fs]).^2);
cosDenZero = find(abs(cosDen)<eps);
cosOp = cosNum./cosDen;
cosOp(cosDenZero) = pi/4;
gt_alpha1 = sincOp.*cosOp;
N = length(gt_alpha5);
GF_alpha1 = fft(gt_alpha1,N);
close all
figure
plot([-fs:1/fs:fs],[gt_alpha0],'r','LineWidth',2)
hold on
plot([-fs:1/fs:fs],[gt_alpha5],'g','LineWidth',2)
plot([-fs:1/fs:fs],[gt_alpha1],'b','LineWidth',2)
legend('alpha=0','alpha=0.5','alpha=1');
grid on
xlabel('时间, t')
ylabel('幅度, g(t)')
title('时域图像')
figure
%除以fs的原因是因为采样导致幅度加权了。
plot([-N/2:N/2-1]/N*fs, abs(fftshift(GF_alpha0))/fs,'r','LineWidth',2);
hold on
plot([-N/2:N/2-1]/N*fs, abs(fftshift(GF_alpha5))/fs,'g','LineWidth',2);
plot([-N/2:N/2-1]/N*fs, abs(fftshift(GF_alpha1))/fs,'b','LineWidth',2);
legend('alpha=0','alpha=0.5','alpha=1');
axis([-2 2 0 1.2])
grid on
xlabel('频率, f')
ylabel('幅值, |G(f)|')
title('频域图像')

对于其中频域计算在前面一篇文章中有说明,利用FFT 及 IFFT实现傅立叶正反变换。

结果如图所示：

好了，我们可以看出与理论分析是一致的，由于我们用的是很粗暴的矩形窗，所以你能明显看见吉布斯现象。同样，当拖尾衰减更快时，它的频域也无情地展开了。这个仿真的难点还是写出它的时域表达式，其他的都还好说。原来仿真很少加窗，现在可以用上自己的升余弦了，不再去用自带的函数，参数不好记啊那些。关键是对原理更清楚了。比如：我们数据发送出去之前，要成形滤波，这样来抵抗ISI，那么我们就用数据与这里的滤波器(准确说是带根号，整体效果还是一个升余弦)做卷积运算。注意的是，这里的数据也要相应的过采样，关于采样，等自己弄明白来说，好多东西自己还没理解那么透彻。完！

本文转载自：https://blog.csdn.net/mike190267481/article/details/7264827

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