梯度锐化法

Roberts算子

Prewitt算子

Sobel算子

Laplacian增强算子

效果图

matlab代码

梯度锐化法

图像锐化最常用的是梯度法。对于图像f(x,y),在(x,y)处梯度定义为

$grad(x,y)=\begin{bmatrix} f_{x}'\\f_{y}' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{bmatrix}$

梯度是一个向量，其大小和方向分别为

$grad(x,y)=\sqrt{f_{x}'^{2}+f_{y}'^{2}}=\sqrt{(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x})^{2}+(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})^{2}}$

$\theta =\sqrt{f_{y}'/f_{x}'}=\sqrt{\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}/\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}$

梯度变换方向是f(x,y)在该点灰度变换率最大的方向。

离散图像处理常用到梯度的大小，因此把梯度的大小简称为"梯度"。并且一阶偏导数采用一阶差分近似表示，即

$f_{y}'=f(x,y+1)-f(x,y)$

$f_{x}'=f(x+1,y)-f(x,y)$

为简化梯度计算，常使用近似表达式

$grad(x,y)=max(\left | f_{x}' \right |,\left | f_{y}' \right |)$

或 $grad(x,y)=\left | f_{x}' \right |+\left | f_{y}' \right |$

对于一幅图像中突出的边缘区，其梯度值较大；对于平滑区，梯度值较小；对于灰度值为常数的区域，梯度为零。

除梯度算子外，还可以采用Roberts，Prewitt和Sobel算子计算梯度，来增强边缘。

Roberts算子

-1
	1

	-1
1

差分计算式：

$f_{x}'=|f(x+1,y+1)-f(x,y)|$

$f_{y}'=|f(x+1,y)-f(x,y+1)|$

Prewitt算子

在锐化边缘的同时减少噪声的影响，Prewitt从加大边缘增强算子的模板出发，由2*2扩大到3*3来计算差分

-1	0	1
-1	0	1
-1	0	1

-1	-1	-1
0	0	0
1	1	1

Sobel算子

Sobel在Prewitt算子的基础上，对4-邻域采用加权的方法计算差分，对应的模板如下

-1	0	1
-2	0	2
-1	0	1

-1	2	1
0	0	0
1	2	1

根据梯度计算近似表达式可以计算Roberts,Prewitt,Sobel梯度。一旦梯度算出就可以根据需要生成不同的增强图像。

第一种增强：（g(x,y)为各点灰度，下同）

g(x,y)=grad(x,y)

缺点：仅显示梯度变化比较陡的边缘轮廓，灰度变化平缓或均匀的地方呈现黑色。

第二种增强：

$g(x,y)=\left\{\begin{matrix} grad(x,y), &grad(x,y)\geq T \\ f(x,y), &others \end{matrix}\right.$

T是一个非负的阈值，适当性选取可以使边缘突出，且不会破坏灰度比较平缓的背景。

第三种增强：

$g(x,y)=\left\{\begin{matrix} L_{G}, &grad(x,y)\geq T \\ f(x,y), &others \end{matrix}\right.$

$L_{G}$ 使根据需要指定的一个灰度级，它将明显边缘用固定的灰度级 $L_{G}$ 表示。

第四种增强：

$g(x,y)=\left\{\begin{matrix} grad(x,y), &grad(x,y)\geq T \\ L_{B}, &others \end{matrix}\right.$

此方法用一个固定的灰度 $L_{B}$ 表示，便于研究边缘灰度的变化。

第五种增强：

$g(x,y)=\left\{\begin{matrix} L_{G}, &grad(x,y)\geq T \\ L_{B}, &others \end{matrix}\right.$

生成二值图像，便于研究边缘所在的位置。

Laplacian增强算子

Laplacian算子是线性二阶微分算子。

$\bigtriangledown ^{2}f(x,y)=\frac{\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}$

对于离散的数字图像而言，二阶偏导数与二阶差分近似，由此可以推导出Laplacian算子表达式为：

$\bigtriangledown ^{2}f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$

Laplacian增强算子为

$g(x,y)=f(x,y)-\bigtriangledown ^{2}f(x,y)$

$=5f(x,y)-[f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)]$

其特点如下：

（1）由于灰度均匀的区域或斜坡中间 $\bigtriangledown ^{2}f(x,y)$ 为0，Laplacian增强算子不起作用

（2）在斜坡底或低灰度侧形成“下冲”；而在斜坡顶或高灰度侧形成“上冲”，说明Laplacian增强算子具有突出边缘的特点、

0	-1	0
-1	5	-1
0	-1	0

效果图

matlab代码

I=imread('C:\Users\ASUS\Desktop\Digital image processing\photo\5ff2f784ee976a38221a0151c5a4e2a0.jpg');
I=rgb2gray(I);
I=im2double(I);
figure
subplot(3,2,1),imshow(I);title('原图片');%显示原图片
I=medfilt2(I);%第一次降噪滤波
subplot(3,2,2),imshow(I);title('3*3(默认)中值滤波');%显示中值滤波图像
I=histeq(I);%直方图均衡化以增加对比度
subplot(3,2,3),imshow(I);title('直方图均衡化后的图像');%显示直方图均衡化后的图像
I=medfilt2(I);%再进行一次滤波降噪
subplot(3,2,4),imshow(filter2(fspecial('sobel'),I,'same'));title('Sobel滤波图像');%显示Sobel滤波图像
subplot(3,2,5),imshow(filter2(fspecial('prewitt'),I,'same'));title('Prewitt滤波图像');%显示Prewitt滤波图像
subplot(3,2,6),imshow(filter2(fspecial('laplacian'),I,'same'));title('Laplacian滤波图像');%显示Laplacian滤波图像

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